Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Определение. Пусть К~ ~ -- надпространство максимальной размерности среди всех надпространств, на которых квадратичная форма отрицательно определена. Число сйпг.К~ ~ называется отрицательным индексом или просто индексом квадратичной формы. Аналогично определяется положительный индекс как максимальная из размерностей надпространств, на которых квадратичная форма положительно определена.
Доказкем так назынаемый закон инерции квадратичных форм. Теорема 4. Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной фарлафы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду. Докажем сначала, что если в каком-либо базисе форма к приведена к каноническому виду, то число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу формы к. Пусть в базисе еы ...,еп форма к ранга г с индексом з имеет канонический вид -(с')2 —" — (сз)2+ (01~')'+ "+ (с")'.
Обозначим через х"1 линейную оболочку векторов ее, ..., е ч а через .х'2 линейную оболочку остальных базисных векторов. Для любого Х Е Х" ИМЕЕМ ~ЗЧс = ... = ~п = О, И й(Х) = — (~')2 — ... — (~З)2 < О, ЕСЛИ только х ф о. Значит, к отрицательно определена на У~ и в > зц На Ьоз фОРМа К ПОЛОжИтЕЛЬНО ПОЛУОПРЕДЕЛСННан, ПОТОМУ Чта = ~з = О для любого х Е .У и к(х) = ((зл' ) ' + ... + (С с) 2. (Фореиа может равняться нулю на ненулевом векторе, если г < п.) йт х."2 = и — 1 Пусть существует надпространство К размерности в > з, на котором к отрицательно определена.
Тогда, поскольку сумма размерностей .Кз и хп ~ больше п, эти надпространства имеют ненулевой вектор з в пересечении. Имеем к(з) < О, так как з Е х'~ ~ и к(з) > О, так как з С Кз. Полученное противоречие показывает, что з = в. Число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу, и потому не зависит от базиса. Число коэффициентов, равных +1, также не зависит от базиса, так как оно равно г — з, а ранг г и индекс з от базиса не зависят.
Теорема доказана. Следствие. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагон льном виде квадратичной формы не зависят от базиса. Положительно определенные квадратичные формы имеют ранг и и индекс О и приводятся к каноническому ниду Ы')2+ — + Ю' (12) Отрицательно определенные квадратичные формы имеют ранг п и Эб. Квадратичные формы гоз индекс п и приводятся к каноническому виду (~')г — ... — (~п)з. Положительно и отрицательно полуопределенные квадратичные формы ранга г приводятся соответственно к каноническим видам Ы')з+ - + Ы")'-', -Ы')з — - — Ю' В вещественном пространстве квадратичная форма характеризуется двумя числами в том смысле, что все квадратичные форьиы, .у которых эти пары чисел одинаковы, приводятся к одному и тому же каноническому виду.
В качестве таких чисел можно взять положительный и отрицательный индексы или же ранг, который равен их сумме, и отрицательный индекс. Часто вместе с рангом используют разность положительного и отрицательного индексов. Эта разность называется сигнатурой квадратичной формы. Условие положительной определенности квадратичной формы дает следующая теорема, называемая критерием С львестра. Теорема 5. Для положигпельной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтойье миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам Д11 " Дел <1З) > 0 (к = 1,...,п).
Ды ".,Зьь Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы. примененные при доказательстве теоремы 1. 1'. Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратичная форма к положительно определена, то диагональные элементы ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию Д„= й(е,) > О, и, следовательно, при приведении матрицы к диагональногиу виду.
особый случай не встретится. В основном случае к любой строке ьюжет быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу толы о расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменятся. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы. '2'. Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы В положительны.
В частности, ЛХ1 = Ды > О, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с г1 > О. Допустим, что после й шагов мы получили матрицу Вь с положительными сы...,гь, причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы Сь имеем вь.ь1 = Мь.ье/Мь, так как главные миноры не менялись.
Поэтому вь.ь1 > О, на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положи- 204 Гл. е1. Линейные пространства тельные элееиенты ез, ..., вьчл. рассуждая так для всех Й, мы придем к доказываемому утверждению. 4. Полуторвлинейные функции. В комплексных пространствах квадратичные формы используются сравнительно редко. В приложениях чаще встречаются так называемые эрмитовы формы. О и р е д ел е н и е. Функция Ь от двух векторов на комплексном линейном пространстве .х' называется полутораликейкой или эрлеитовой билинейной функцией, если для любых векторов х, у и х и любого комплексного числа н Ь(х + у, з) = Ь(х, з) + Ь1у, х), Ь(ох, у) = оЬ(х, у), Ь~х, у + з) = Ь(х, у) + Ь(х, з), Ь(х,оу) = оЬ(х, у).
Отличие полуторалинейной функции от билинейной в том, что она не линсйна по второму аргументу: при его умножении на число се значение функции умножается на комплексно сопряженное число о. Перечислим основные свойства этих функций. Доказываются они так же, как соответствующие свойства билинейных функций. Ниже черта над буквой, обозначающей матрицу, будет обозначать замену нсех элементов матрицы комплексно сопряженными числами.
Если в У' выбран базис, то значение полуторалинейной функции на паре векторов х и у может быть выражено через координаты этих векторов формулой Ь(х, У) = ~'РоГлгР = Ст В41. В называется леатрицей полутараликейнай функции. Ее элементы равны значениям Ь на парах базисных векторов: р,з = Ь(е„ей). При замене базиса с матрицей перехода Я матрица В заменяется на матрицу В' = Ят ВЯ. Полуторалицейная функция Ь называется эрмитово силелеетричной, если для любой пары векторов Ь(х,у) = Ь(у,х). Для этого необходилю и достаточно, чтобы в любом базисе элементы гпатрицы этой функции удовлетворяли условиям Вн ††,Вн. Это равносильно условию Вт = В ца матрицу полуторалинейной функции.
Определение. Матрица В, для которой В = В, называется эржитовой матрицей. Элементы эрмитовой матрицы, симметри ~ные относительно главной диагонали, комплексно сопряжены; Вб = В1 в частности, элементы на главной диагонали вещественные: Дп = Ди. Определение. Функция к на комплексном линейном пространстве называется эрлеитовой формой, если К(х) = Ь1х, х) для некоторой эрмптовой симметричной полуторалинейной функции Ь.
Для заданной эрмитовой формы к можно так выбрать базис, что ес матрица будет иметь канонический вид: диагональная матрица с элеелентами 1, — 1 или 0 на диагонали. При этом для эрмитовых форм справедлив закон инерции: в матрице канонического вида число д 7. Теорема Жердина 205 элементов иа диагонали, равных О, 1 и — 1, не зависит от базиса, в котором форма имеет канонический вид. Таким образом, эрмитовы формы по свойствам ближе к квадратичныы формахл в всшсственном пространстве, чем к квадратичныы формам в комплекснол| пространстве.
Упранлненнн 1. Значевие билинейной функции Ь в некотором базиса записано как многочлен от координат 5' и 0' векторов х и у: Ьфт,у) =5 |? +5 |? — 25 л? +4( г| +35 |? +5 || . Напишите матрицу этой билинейной функции, если вростравство: а) трехмерное; б) четырехмерное. 2. Как изменится матрица билинейвой функции из увр. 1, а), если перейти к базису: е~| —— е| + г; ег = ел + ем ег? — — ез? 3. напишите матрицу квадратичной формы ль ) -ь с с "; ль ) . 4.
Приведите к каноническому виду квадратичную форму с матрицей: 1 2 3 1 2 3 а) 2 4 5; б) 2 4 5 3 5 8 3 5 9 и найдите матрицу перехода к каноническому базису. 5. Нуль-ирос|иранством симметричной билинейной функции Ь называется мно|кество векторов х таких, что для всех у выполнено Ь(с, у) = О. Проверьте, что это линейное надпространство. Как связана его размерность г с рангам Ь? Какой будет матрица функции Ь в базисе, васледние г векторов которого лежат а нуль-пространстве'? 6. В и-мерном пространстве заданы а| квадратичных форм. При каком условии сушествует базис, в котором они все могут быть представлены как многочлсны от первых?л < и координат вектора? 7.
Пусть.4 квадратная матрица порядка и и ранга г. У квадратичной формы с матрицей А .4 определите: а) ранг; б) индекс. 8. Квадратичная форма с матрицей В положительно определена тогда и талька тогда,когла найдстсн верхняя треугольная матрица Л, до| В ~ О, такая, что В = Й~Л. Докажите это. 9. Дава квадратичвая форма х.
Прн какам условии найдется ненулевой вектор к, для которого клх) = О? 10. Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять главные миноры отрицательно оиределеннай квадратичной формыз 11. у|ожет ли матрица воложительно определенной квадратичной формы иметь неположительный диагональный минор'? (51инор называется диагональным, если главная диагональ его яодматрицы находится на главной диагонали матрицы.) '3 7. Теорема Жордниа 1.
Теорема Гамильтона — Кали. Так называется следующая теорема, справедливая как для комплексных, так и для вещественных матриц. Гл. У1. Пикейные пространства 206 Теорема 1. Если р(Л) = г1е((А — ЛЕ) лногочлен л<атрицгн А, то р(.4) = О. Д о к а з а т е л ь с т во. Если Л не является характеристическим числом матрицы А, то матрица (А — ЛЕ) имеет обратную, элементы которой можно вычислить по формулам (4) ~ 5 гл. У, Следовательно, характеристическии где В(Л) матрица с элементами Ьи(Л) = ( — 1)' 'д',(Л), а множители с(эг являются минорами порядка и — 1 матрицы (А — ЛЕ) и, следовательно, многочленами от Л степени, не большей и — 1. Поэтому ) ( э о + Л о ч + + Так как линейные операции с матрицами определены поэлементно, В(Л) = Во + ЛВ1 + ...
+ Л" 'В„ где Вь матрица с элегиептами Ь~ (к = (), ...,и — 1). Равенство (1) можно переписать в виде (А — ЛЕ)В(Л) = с(еб(А — ЛЕ)Е, или (А — ЛЕ)(Во + ЛВ1 +" + Л 1Вн-1) = р(Л)Е (2) Обозначим коэффициенты характеристического мпогочлена через ао, аы ..., а„. Тогда р(Л)Е = асЕ+ Ли~ Е+ ...
+ Л" а Е. Раскроем скобки в левой части равенства (2) и приравняем матрицы, стоящие при одинаковых степенях Л. Это законно, так как равенство (2) имеет место для всех Л и по существу означает, что равны друг другу две матрицы, а значит, равны все их соответствующие элементы, являющиеся многочленами от Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
