Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Действительно, (оь1 )т = 11 т 51 = Гс ~Я 1 = (Яо) Вычисляя детерминант обеих частей равенства (12), мы получим (с(е1 Я)9 = 1. Значит, для ортогональной матрицы с)вью = 1 или с!е1Я = — 1. Гл. 17й Евплидввы и унсстариые пространства Рекомендуем читателю проверить, что любая ортогональная матрица порядка 2 имеет один из двух видов сов а — в1п а вша сова сов ск вш а в1п а — сов а (16) П р ед л аж е н и е 4.
Ортогональное дополнение И-мерного подпространства в и;мерном пространстве есть (и — И)-мерное надпространство. Доказательство. Пусть ак, ....,аь — базис во'". Вектор х лежит в б" тогда и только тогда, когда кх,ак) = О,...,(а,аь) = О- 117) Действительно, если а 6 Б", то равенства (17), разумеется, выполнены. Обратно, при выполнении этих равенств а ортогонален любому а из в", поскольку (а,а) = (и, ~ Л'ас) = ~Л'(х,а;) = О. Выберем в суортонормированный базис и обозначим через а', ...
...,а," коллпоненты вектора а; (к = 1, ..., и) в атом базисе, а через ~, ... ..., ~" -- компоненты вектора а. Условия (17) запишутся тогда в ниде однородной системы из Й линейных уравнений с и неизвестными: а, с + ... + ак'с" = О, ск141 + + аиРи О Ранг матрицы системы равен й, поскольку ее строки строки из компонент нектаров ак, ..., аь — линейно независимы. Таким образом, множество о'~ определяется однородной системой линейных уравнений ранга Й, и потому является (и — Й)-ьсерныьс подпространством. Предложение доказано. Рассмотрим (в"~) — ортогональное дополнение ортогонального дополнения подпространства су .
Каждый вектор из су ортогонален каждому вектору из арса. Поэтому К' С (ссыл)л. Е1о сйпкф'л)л = тс— — си — Й) = Й. Итак, фс~-)~- = Г'. Очевидно, что св и е'"л не имеют общих ненулевых векторов, а сумма их размерностей равна и. Отсюда следует 6. Ортогональное дополнение надпространства. Пусть Г'-- Й-глерное подпространство в и-мерном евклидовом пространстве Г Определение. Ортогональным дополнением подпространства Г' называется множоство всех векторов, ортогональных каждому вектору из Г'. Это множество обозначается оп У1. Евклидввы лространства 221 Предложение 5. Евклидова пространство прямая сумма любого своего подпространства и вго ортогон льного дополнения.
Дна ПОдПрвотраиотна Р' И 4в' НаЗЫВаЮтея ОртогаяаЛЬНЬ1Ми, ЕС- ли б'в С б"'-. Тогда и Р' С бв'~-, так как (х,у) = О, если х Е в' и у с е"'. Т. ОРтогональные пРоекции. Так как л = б" Рд8'~., каждый вектор х Е б однозначно раскладывается в сумму векторов х1 Е б' и хг 6 б"". Вектор х1 называется ортогональной проекцией х на в". Легко видеть, что хг — ортогональная проекция х на в"~. Найдем ортогональную проекцию х на о в предположении, что в К задан некоторый ортогональный базис 61,...,6ы Дополним этот базис до ортогонального базиса в пространстве лв',. присоединив к нему произвольный ортогональный базис Ьь 1, ..., Ь„из б"т. Так как сумма е и е'"~ прямая, искомое разложение вектора х единственно, и мы, группируя слагаемые в формуле (10), получаеь1 ь (18) 1=1 Если Ь = 1, проекция имеет вид х1 = цх, 6)Д6~2)6, и мы видим, что правая часть формулы ~18) -- сумма проекций на ортогональные одномерные подпространства, натянутые на 61, ..., Ью Так же истолковывается формула (10), а значит, равенство Парсеваля (11) является обобщением теоремы Пифагора.
Из (х1, хг) = О следует (х)2 = (х1 + хг)2 = )х1)2 + ~ха~2 > )х1)2. Длина ~хг~ ортогональной проекции х на в"л обладает следующим свойством минимальности, обобщающим теорему о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии. Предложение 6. Пусть х1 ортогональная проекция х на Р'. Тогда для любого вектора у б б"', отличного от х1, выполнено )хг! = (х — х1! ( ~х — у!. Доказательство. Обозначив х1 — у через г, имеем ~х — у~г = ~х + х — у(2 = (г+ х ~2 = (г+ х, г+ х ) = = )г!2 + 2(хг, г) + (хг(2. Но (г, хг) = О, так как г Е е", и, следовательно, )х — у(2 = )хз)2 + )г(~. Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.
8. Метод ортогоналнзацнн. Формула (18) служит основой метода, позволяющего произвольный базис евклидова пространства преобразовать в ортогональный, а затем в ортонормированный. Этот метод называется методом ортвгвнализации Трама" Шмидта. Пусть в Рзадан некоторый базис 11, ...,1„. Положим 61 = 11. Затем из вектора 12 вычтем его ортогональную проекцию на линейную 222 Гл. 171. Евклидовы и унитарные пространства оболочку 1Ь и положим 62 равным полученной разности: Ьз =12 — ', Ьы 1зз:Ь ) !6| Р Отметим, что Ьз раскладывается по 11 — — 61 и 12, причем 62 у= о, так как в противном случае ~г и 72 были бы пропорциональны.
Будем продолжать таким же образом. Допустим, что построены попарно ортогональные ненулевые векторы Ьы ..., Ьь, причем для любого 1 < 6 вектор 6; раскладывается по 1ы ..., Д. Положим ь (19) ь=1 Вектор Ьез, проекция ~ь+1 на ортогональное дополнение линейной оболочки 6ы ..., 6ь, и потому ортогонален всем 6, при 1 < 6+ 1. Кроме того, он раскладывается по 1ы ...,1ь ы так как для любого 1 < Й вектор 6, раскладывается по ~ы ..., ~,. Отсюда следует, .что Ьь+1 у= о, поскольку иначе векторы Зы ..., азы оказались бы линейно зависимы.
После того как будет преобразован последний вектор 1„, мы получим ортогональную систему из и ненулевых векторов. Итак, нами построен ортогональный базис Ь. От него можно перейти к ортонормированному базису е из векторов е, = 6;/~6,~ (1 = = 1, ..., п), Это называется норлеироекой базиса Ь. Посмотрим на матрицу перехода Я от базиса Ь к базису Г.
Из равенства Р1 — — 6~ и формулы (19) видно, что )1 при любом з раскладывается по 6ы ...,6, причем его координата по 6 равна 1. Поэтому элементы матрицы перехода о' равны нулю, если они ниже главной диагонали (при 1 > з), и единице при 1 = зц Таким образом, эта матрица — — верхння треугольная (и. 3 2 1 гл. У) с единицами на главной диагонали. Пусть базис е получен нормировкой базиса Ь. Тогда Ь = еР, где Р диагональная матрица с положительными элементами на диагонали. Если Г = ЬЯ, то Т = еРЯ, причем, как легко видеть, матрица 77 = РЯ - треугольная, как и Я, и ее диагональные элементы положительны, хотя, возможно, и не равны единице.
Теперь мы можем сформулировать Предложение 7. Если ортогональный базис Ь полуеен ортогонализацией базиса Г, то леатрица перехода Я от Ь к Г верхняя треугольная с единицами на диагонали. Если базис е получен нормировкой базиса Ь, то матрица перехода Л от е к Г верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. 3 а м е ч а н и е. По существу, метод ортогонализации —. метод приведения положительно определенной квадратичной формы к диагональному виду. Метод, примененный при доказательстве теоремы 1 2 б гл. 171, в случае положительно определенной формы отличается только порядком выполнения элементарных операций.
21. Евклидовы лрвстранства 223 9. ЯЯ-разложение. Так называется следующее разложение матрицы на множители, часто используемое в приложениях. Предложение 8. Если матрица А невьсрвждена, то она может быть пРедставлена в виде, пРоиэведенил А = сьСЛ, где Ц - вРтогвнальная, а Л верхняя треугольяал матрица, причем диагональные элементы Л положительны. Доказательство. Будем рассматривать столбцы А как координатные столбцы векторов ас, ..., а„в ортонормированном базисе и еислидова пространства. Так как А невырождена., эти векторы составлшот базис а. При этом А матрица перехода от и к а, т, е. а = яА.
Пусть е ортонормированный базис, полученный ортогонализацией и нормировкой базиса а. Тогда а = еЛ, и по предложению 7 матрица Л верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. Време того, так как базис е ортопормированный, е = ИЯ, где матрица Я ортогональная.
Из двух последних равенств следует а = ф~Л. Сравнивая это с равенством а = яА, получаем ЦЛ = А. 10. Объем параллелепипеда. Рассмотрим 1с линейно независимых векторов 1с,...,7ь в п-мерном евклидовом пространстве. Под к-мерным параллелепипедом 17с, ...,7ь), построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами оп 0 < о, < 1 (с = 1, ..., к). Векторы 7с, ..., 7ь назовем ребрами параллелепипеда. Если ребра упорядочены, параллелепипед называется вриентированныле Параллелепипед (7с,...,7ь с) естественно назвать основанием параллелепипеда (7с, ...,7ь), а вьшотой, соответствующей этому основанию, назовем ДлинУ ~йь~ оРтогональной пРоекЦии Ьь вектоРа 7ь на ортогональное дополнение линейной оболочки 7с,...,7ь Объем одномерного параллелепипеда 17") мы определим как длину его единственного ребра: 1'17) = ф, а объем 1-мерногв параллелепипеда г'(7с,...,7ь) определим по индукции как произведение объема основания на высоту.
При таком определении объем параллелепипеда может оказатьсл зависящим от порядка, в котором записаны ребра, но из полученной ниже формулы (20) для объема мы увидим, что в действительности такой зависимости нот. Если ребро 7ь ортогонально остальным ребрам, то йь = 7ь и 1'1эс " Уь) = 1'17с ",эь-с)сэь!. Отсюда легко заметить, что объем прямоугольного параллелепипеда (у которого ребра попарно ортогональпы) равняется произведению длин ребер. Рассмотрим и-мерный параллелепипед (7с,...,7"„). Применяя к 7с,...,7э пРопесс оРтогопализаЦии, мы заменлем очеРеДной вектоР его проекцией на ортогональное дополнение линейной оболочки предыдущих векторов и в результате строим и-мерный прямоугольный параллелепипед 16ы ..., Ь„), имеющий тот же объем.
Матрица Грама Гь системы векторов Ьс...., 6„. диагональная с Гл. ЪП. Евнлидовы и унспаарные пространства 224 элементами ~Ьс~з, ..., ~6 )~ на диагонали. Поэтому 1'(1ы ..., 1я) = И(6ы ...,6„) = )6с!...(6„,! = 17ЯесГн. Пусть Я матрица перехода от 6ы ..., 6„к Гы ..., 1ю Согласно предложению 7 с1е1 Я = 1, и гютому с1е1Гс = с)е1(ЯтГьЯ) = с)осГь. Итак, 14(Уы..., 1„) =,Л ТГ,. (20) Пусть е произвольный базис, а Г матрица из координатных столбцов векторов 7с, ...,)'„в этом базисе. Эта матрица --- матрица перехода от е к Г. Поэтому Гс = ГгГ,Г. Отсюда в силу (20) 1'(ус, ...,1о) = ) с1е1 Г)УЯе1Гг = ) с1етГ)1'(еы ...,е„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
