Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Эта теорема является обобщением основной теоремы об аффинных преобразованиях из гл. 1У, и даже доказательства этих теорем весьма сходны: центральным местом является построение ортонормированного базиса, который при данном преобразовании переходит в ортогональный. Т е о р е м а 7. Каждое линейное преобразование А евклидова пространства может быть представлено как произведение А = Я5, гдв 1г - - ортогональное, а 5 - самосопряжвняое преобразование с неотрицательными собственными значениялш. Доказательство. Согласно формулам (5) и (6) преобразование А*А самосопряженное.
Пусть еы ...,ев ортонормированный базис из его собственных векторов. Пронумеруем векторы так, чтобы собственные значения удовлетворяли неравенствам Л1 » ... Ло. Для любых 1 н д вьшолнено (А(е.,),А(е )) = (4'4(е,),е ) = Л;(с„е ). Так как базис е ортонормировап, отсюда следует, что векторы 4(е,) попарно ортогональиы; (А(е;),А(е,И = О при 1 ф зу Кроме того, (4(в,)(2 = Л„откуда, в частности, видно, что Л, > О (1 = 1, ...,и). Собственные значения пронумерованы так, что если только г из них З2.
Линейные преобразования евклидовыз прас ~ракете гзз отличны от нуля, они на первых местах, а Л„ез — — ... —— Л„= О. Числа о, = ч/Лп 1 = 1, ...,п, называются сингулярными числами преобразования А. Векторы Л = сь, 'А(е;), з' = 1, ..., г, составляют ортонормированную систему векторов. Если г < п, дополним произвольным образом эту систему до ортонормированного базиса векто- раМИ 7с ЬЫ ..., Зп. ПОСЛЕ ЭТОГО дпя ЛЮбОГО З МЫ МОЖЕМ НанИСатЬ А(сь) = см7в (При 1 > г обе части такого равенства равны нулю.) По предложению 10 найдется ортогональное преобразование Я такое, что фез) = Зь, для любого 1. Рассмотрим преобразование 5 = = Я А и докажем, что оно самосопряженное.
Действительно, — ! 5(е,') = Я 1А(е,) = Я ~~ссс7' ') = о,е,. (8) Таким образом, е ортонормированный базис из собственных векторов 5, и по предложению 6 преобразование 5 самосопряженное. Его собственные значения оы ...,оп неотрицательпы. Теорема доказана. Базисы е и К, построенные при доказательстве, называются сингулярными базисали преобразования А.
3 а м е ч а н и е. Если бы в конце доказательства теоремы 7 мы взяли не преобразование 5 = ьг 'А, а 5ь — — Аьг ', то получили бы разложение А = 51ьг, где 51 --. самосопряженное преобразование с собственными векторами 7ы ..., 7„. Укажем геометрический смысл сингулярных чисел. Для этого рассмотрим и-мерную единичную сферу множество векторов, по длине равных 1. 5 представлнет собой растяжение по г попарно перпендикулярным направлениям с коэффициентами оы ...,о„и проектирование вдоль линейной оболочки векторов е„ьы ...,еп, соответствующих нулевым сингулярным числам.
Поэтому 5 переводит единичную сферу в г-мерный эллипсоид с полуосями, равными оы ... ..., гз„. Преобразование ь1 не меннет длин векторов и только перемещает этот эллипсоид. Итак, на сингулярные числа преобразования А следует смотреть как на полуоси эллипсоида, в который А переводит единичную сферу. Приведем матричную формулировку теоремы 7. Предложение 13. Каледин квадратная матрица.4 может быть разложена в произоедение А = ьг5 ортогональной матрицы ьз и симметричной матрицы 5 с неотрицательными характеристическими шслали. По предложению 5 для симметричной матрицы 5 найдется ортогональная матрица Р такал, что Р '5Р "- диагональная матрица Р с характеристическими числами матрицы 5 на диагонали. Подставим 5 = РРР ' в разложение.4 = Ц5. Тогда А = ьгРРР '.
Матрицы ЯР и Р ~ ортогональные. Обозначив их Яз и Яа, получаем Предложение 14. Для каждой квадратной матрицы А найдутся такие оргпогональные матрицы Яь и ьгю что А = Я,РЯз, где Р диигональная лзатрица с сингуллрнь ми числали матрицы А на диаго- Гл. 17й Евнлидовы и унитарные пространства 234 пали. Полученное разложение матрицы называется Я~Р или сингулярнылс разложением. Аналогичное разложение можно получить и длн матрицы А размеров гп х п. В этом случае Яг и Я матрицы порядков т и и, а Р имеет такие же размеры, как и А, и состоит из нулей, за исключением квадратной диагональной подматрицы порядка НцА в левом верхнем углуп Сингулярное разложение имеет важные применения, на мы но можем на них останавливаться.
Упрагннения 1. В базисе е с матрицей Грама Г преобразование А имеет матрицу А; — 1 — 2 1 1 3 4 ' 1 2 и напишите матрицу А' преобразования в найденном базисе. 6. Ортогональное преобразование, заданное матрицей ΠΠΠ— 1 1 О О О О 1 О О О О 1 О в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух нрашений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах. Т. Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормнрованном базисе матрицей: у2 1 О у?2 О 1 а) ОО 8. Получите снвгулярпое разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей из упр. 7, б). а) Найдите матрицу сопряженного преобразования.
Найдите собственные надпространства: б) преобразования А; в) преобразования А*. 2. Докажите, что собственные надпространства преобразований А и А", принадаежащие разным собственным значениям, ортоганальны. Пронерьте этот результат для упр. 1. 3. Найдите все линейные преобразования, которые являются как ортогональными, так и самосопряженными. 4.
Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопрнжен ного преобразовании, если у его характеристического многочлена: а) нет кратных корней; б) есть кратные корни? в) Возлгожен ли неортогональпый базис из собственных векторов само- сопряженного преобразования? б. Найдите матрицу перехода Я к ортонармированному базису из собственных векторов преобразованин, заданного в ортонормированном базисе матрицсй 2 1 1 А= 1 2 1 1 1 2 ГЗ. Функции на ввклидовых пространствах 3 3. Функции на евклидовых пространствах 1.
Линейные функции. Выбор базиса в линейном пространстве У устанавливает изоморфизм между .У и его сопряженным .2' . В этом пункте мы покажем, что для п-мерного евклидова пространства ~" существует такой изоморфизм, не зависящий от базиса. О и р е д е л е н и е. Если для линейной функции 1 на евклидовом и ространстве найдется вектор а такой, что 1(х) = (а, х) для любого х, то функция называется регулярной, а вектор а ее присоединенным вектором.
Говорят также, что функция присоединена к вектору а. Как легко видеть, каждому вектору присоединена некоторая регулярная линейная функция (сьь пример 2 ~ 5 гл. Ъ'1). Выберем в евклидовом пространстве базис е и выразим в нем связь координатного сто.тбца сх вектора а, и строки коэффициентов ьо его присоединенной функции Е По определению Ф, =11е,) =(а,е,) =сх Ге,, (1=1,...,п), где в; --1-й столбец единичной матрицы -- координатный столбец е;.
Последнее произведение равно 1-му элементу строки сх~Г, и потому 1 = о~ Г, или 1 = Гсх. В ортонормированном базисе зта формула выглядит особенно просто: 1 = сх, .т. е. коэффициенты регулярной функции равны коордит натам ее присоединенного вектора.
Вспомним, что коэффициенты линейной функции в базисе е это ее координаты в базисе р, биортогональном базису е. Отсюда следует, что равенство (1) можно рассматривать как координатную запись линейного отображения Г пространства Ь'в его сопряженное о"' в паре базисов е и р. Так как à — квадратная невырожденная матрица, это отображение взаимно однозначно. В пространстве Р* пока нс введено скалнрного умножения. Но мы можем ввести его по формуле 11, я) = (Г '11), Г '(й)). Тогда отображение Г будет изоморфизмом евклидовых пространств.
Этот изоморфизм не зависит от базиса, так как соответствие, сопоставляющее вектору его присоединенную функцию, записывается формулой 1(х) = (оп х) в не зависящем от базиса виде. Как следствие мы получаем Предложение 1. В конвчномврном евклидовом пространстве каждая линейная функция является регулярной. 3 а м е ч а н и е. В бесконеч номерном пространстве подобное предложение было оы неверно. В примере 3 у 1 введено скалярное произведение в пространстве функций, определенных и непрерывных ка отрезке [О,. Ц. По отношению к этому скалярному произведению из двух линейных функционалов, рассмотренных в примере 4 ~5 гл.
У1, первый является регулярным, а второй, как можно доказать, нет. Гл. 1 Ьй Яввлидовы и унитармие пространства Не зависящий от выбора базиса изоморфизм между пространствами о' и 5" позволяет отождествить эти пространства. С подобным обстоятельством мы встречались, когда отождествляли пространство 2' и его второе сопряженное.2' . Отождествление евклидова пространства с его сопряженным (или линейной функции с ее присоединенным вектором) является общепринятым.
Рассмотрим векторы р', ....р", отождествляемые с элементами рз, ..., р" базиса, биортогонального базису е. Из формулы (5) 3 5 гл. У1 следует, что они удовлетворяют условию Отсюда нетрудно вывести, что при п = 3 биортогопальный базис, определенный нами в 34 гл. 1, совпадает с биортогональным базисам, определенным в 3 5 гл, е'1. Это же выясняет происхождение термина "биортогональный". 2. Преобразование, присоединенное к билинейной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
