Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В гл. М1 и гл. МП были изучены многомерные векторные пространства. Теперь мы можем дать аксиоматическое определение точечного пространства любой размерности. Рассмотрим и-мерное вещественное линейное пространство К и дадим следучощес Определение. Множество,5" называется и-мерным аффинным пространством, а его элементы точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упорядоченной паре его элементов А и В единственный вектор из .К (который мы обозначим АВ) так, что: 1) длн любой точки А из .У и любого вектора х Е К существует единственная точка В такая, что .4В = ш; эта точка будет обозначатьси Р(А,л); 2) для любых трех точек А, В и С выполнено .4В+ ВС = АС.
К называется пространством векторов пространства,х', а его элементы векторами из,у". Чтобы установить соответствие с привычными определениями, заметим, что первое требонание соответствует возможности отложить произвольный вектор от любой точки, а второе — . определению сложении векторов. Приведем простейшие следствия из определения аффинного пространства. а) Для любых двух точек А и В .4.4+ АВ = АВ. Поэтому вектор, соответствующий паре совпавших точек, является нулевым вектором.
Отсюда для любой точки .4 имеем Р(А, о) = Р(А, АА) = А. б) Второе требование для точек А, В, А дает АВ -~-ВА = А.4, откуда АВ = — ВА. в) Для любых четырех точек А, В, А', В' справедливо равенство А'А+ АВ = А'В'+ В'В. Поэтому равенство АВ = А'В' выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство ~АА = ~ВВ. Это свойство соответствует определению равенства векторов из ~) 1 гл.
1. Гл. уШ. Аффияные пространства Пример. Исходя из линейного пространства х' мол|но построить аффинное пространство. Для этого возьмем в качестве множества точек 5" множество векторов пространства К и сопоставим каждой паре векторов х и у вектор ху = у — х. Легко проверить, что оба условия из определения выполнены. Интуитивно это означает следующее: представим себе векторы из х' как направленные отрезки, исходящие из одной точки.
Тогда точками 5" мы будем считать концы наших векторов. Определение. Аффинные пространства Я' и,У' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение г;,У' -з,5'" и такой изоморфизм Г; ~~' -з х, что для любых двух точек выполнено 1(.4)1(В) = Г(4В). Могут быть изоморфны только аффинные пространства одной размерности. Для двух пространств разных размерностей не найдется изоморфизма Г. Если для изоморфизма 1 известен образ 1(А) какой-то одной точки А и задан изоморфизм Г, то отображение 1 однозначно определено. Действительно, образ любой точки В может быть найден по формуле |р(В) = Р(г(А), Г(АВ)). С другой стороны, как бы мы ни задали образ А* точки А и изоморфизм векторных пространств Г, этим путем ьлы получим изоморфизм Е: .К вЂ” |,9".
Действительно, если В и С произвольные точки, то.4'1(В) = Г(АВ) И.4*1(С) = Г(АС). Поэтому 1(В)1(С) =.4 1(С) -А*1(~) = Р(АС) — Р(4В) = Р(ВС). Отсюда вытекает Предложение 1. Любые два аффинных пространства одной размерности изоморфны. Изоморфизм однозначно определяется заданием образа одной точки и изоморфизма соответствующих пространств векторов.
Исследуем аффииные преобразования — изоморфизмы пространства,5" на то же пространство. Для этого предположим сначала, что изоморфизм Г тождественное преобразование. Зададимся образом А* некоторой точки А и рассмотрил| преобразование Г, определяемое равенством 1(В) = Р(А',АВ) для любой точки В. Если обозначить 1(В) = В*, то предыдущее равенство означает., что А" В' = АВ, а это эквивалентно равенству ВВ' = А.4'. Итак, образ каждой точки получается из нее сдвигом на один и тот же вектор А,4'. Такое преобразование естественно назвать параллельным переносом. Если мы предположим, что 1(А) = А для некоторой точки А, а Г--- невырожденнос линейное преобразование, то преобразование аффинного пространства будет задано формулой Г(В) = Р(.4, Г(АВ)).
Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между невырожденными линейными преобразованиями х' и аффинными у д Плоскости 247 преобразованиями, оставляющими неподвижной точку А. Нетрудно доказать, что произвольное аффинное преобразование есть произведение параллельного переноса и преобразования, имеющего неподвижную точку. Определение. Аффинное пространство называется точечным ввклидввым пространством, если его пространство векторов евклидова. В этом случае расстоянием между точками А и В называется длина вектора АВ.
Трехмерное точечное евклидова пространство совпадает с пространством, изучаемым в элементарной геометрии, если в последнем фиксировать единицу измерения длин. Декартовой системой координат в аффинпом пространстве называется совокупность точки О и базиса е пространства У. Если в,ьг задана система координат О, е, то каждой точке А из .9' взаимно однозначно сопоставляется упорядоченный набор из п чисел, а именно координаты вектора ОА в базисе е.
Эти числа называются декартовыми координатами точки, а столбец из них ее координатным сталбивлс Эти определения фактически повторяют определения из гл. 1, и потому основные утверждения и формулы оттуда справедливы и для любых аффинных пространств. В частности: координатный столбец вектора АВ равен разности координатных столбцов точек В и А; координатный столбец точки Р(А,х) равен сумме координатных столбцов точки А и вектора х.
Форлзулы замены координат точки при изменении системы координат выводятся и выглядят так же, как и соответствующие формулы из ~3 гл. 1. 2. Плоскости в аффннном пространстве. Пусть в аффинном пространстве ,/ заданы точка Ао и к-мерное (к ) 0) надпространство .У' в его пространстве векторов У. Множество 5~' всех точек вида Р(Ао.,х), где х с ..х", называется к-мерной плоскостью в .9'. Точка Ао, разумеется, лежит в плоскости. Мы назовем ее начальной точкой, а надпространство.К' направляющим пвдпрвстракстввм. Любая точка плоскости А = Р(Ао,:а) манжет быть приннта за ее начальную точку. Пействительно, лкзбая точка В = Р(.4о, у) предста- вима в виде В = Р(А, у — х), так как АВ = .4о — АоА.
Наоборот, Р(А, г) = Р(Ао,г+ х). Не представлнет труда доказать, что к-мерная плоскость является й-мерным аффинным пространством. П ред логи ение 2. Если в,У выбрана декартова система координат, та *к-мврнал плоскость мажет быть задана системой линейных уравнений ранга п — к. Обратно, множество точек, координаты которых удовлетворяют совместной системе ранга и — к, являетсл И-меркой плоскостью. Гж УШ. Аффинные пространства 248 До к а з а тел ь с т во.
Если до координатный столбец начальной точки, то по опРеделению столбец Д = т? + До Явллетсн кооРдинатным столбцом точки плоскости тогда и только тогда, когда т1 координатный столбец вектора из направляющего подпространства. По предложению 4 8 2 гл. У1 в атом случае т1 должен удовлетворять однородной системе ранга п — й вида Сгт? = О. Следовательно, столбец д удовлетворяет системе иг. = )3, где )3 = Г(е. Вторая часть предложения следует из теоремы 3 8 6 гл.
1С Общее решение системы линейных уравнений дает параметрические уравнения (и — г)-мерной плоскости, в которых фундаментальная система решений базис в направлиющем подпространстве, а частное решение неоднородной системы -- начальная точка. (п — 1)-мерная плоскость называется гиперплоскостью. Она задается одним линейным уравненном сгг~~ + ... + о„~" =,3. Одномерная плоскость называется прямой линией. Она может быть задана параметРическими УРавнениЯми вида 4 = ~о + 1г1. Упражнения 1. В некоторой декартовой системе координат четырехмерного аффипного пространства плоскость задана системой уравнений 8' -~- 8' -~- 6' †; — 8' = 1, 28 -ь 38 -ь 48 + 58 = — 1.
Напишите ее параметрические уравнения (найдите вачальную точку и базис в направляющем подпространстае). 2. а) Что может представлять собой пересечение двух плоскостей? б) В и-мерном аффиппом пространстве оцените размерность плоскости, получаемой как пересечение плоскостей размерностей Й~ и Йа. 3. Докажите, что в аффинном пространстве любые две прямые лежат в некоторой трехмерной плоскости. 8 2.
Общая теория линий и поверхностей второго порядка В атом параграфе мы возвращаемся к геометрии трехмерного точечного пространства, которой были посвящены первые главы книги. Настоящий параграф может изучаться независимо от 8 1. Он содержит применение результатов, полученных для квадратичных форм евклидова пространства, к исследованию произвольной линии или поверхности второго порядка. 1. Закон преобразования коэффициентов.
Мы начинаем с рассуждений., одинаково пригодных для линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго поридка, и потому пе будем фиксировать размерность и — оца равна 2 или 3 в зависимости от того, какой случай иметь в виду. (В действительности читатель сможет заметить, что многое здесь справедливо для любых размерностей.) 99. 0йщая теория линий и поверхностей второго порядна 249 И линии, и поверхности мы будем называть поверхностялли, чтобы не делать большого числа оговорок. Рассмотрим произвольное ураннение второго порядка п и огХ1~ + 2 ~ сх1о4 + иоо = О, (1) Ьй=г 1=1 связывающее координаты точек на плоскости или в пространстве, причем о точках, которые ему удовлетворяют, не будем предполагать ничего, даже того, что такие точки существуют.
Если мы изменим систему координат и подставим в (1) выражение старых координат через новые, то мы получим новое уравнение (также второго порядка согласно теоремам 1 и 2 9 1 гл. П), Мы будем говорить, что уравнение перешло в новое уравнение, или, что то жс самое, что преобразовались его коэффициенты. Получим закон., по которому преобразуются коэффициенты уравнения. Напомним, что замена системы координат распадается на перенос начала координат и изменение базиса. Если мы изменим базис при неизменном начале координат, то старые координаты выразятся через новые по формуле оьс я=1 где о'„, элементы матрицы перехода от старого базиса к новому.
Подставляя это в уравнение (1), получаем Е л~ьд х, Ф сгц,оьа;4 ~ +2~ сл,ооьг +слое =О ,длд ьь с коэффициентами иы — — х сгбоьо(, гльо = х о,ооь, глоо = слоо. (2) ьл Е Если мы перенесем начало координат в точку с координатами Р' (1 < 1 < п), оставив базис без изменения, то старые координаты выразятся через новые по формуле б' = с' ж Р'. Подстановка в уравнение (Ц дает ел„((е + Р')((1 + Р') + 2 ~~' сцо Ц' + р') + глоо = О или ело~'~1 + ~~ глО(4'Рг + ~'Р') + 2 ~~~ ел.о~' + Ноо = О. Отсюда об = гам~ оно = ~ се~ар + ел~о ь 1л. Ъ'1П. Аффинные пространства зао так как суммы ~ о,гЩ и ~ сг,г(гр1 отличаются только обозначением индексов суммирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
