Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. матрицы равны. Вводится следу|ощее новое обозначение суммирования. Пусть написан адкочлен, состоящий из букв с индексами, причем какой-тв ин- ") У нас в качестве буквенных индексов, как правило, будут применяться буквы и З, к, й возможно, снабженные своими индексами. Вуква в всегда обозначает финсированное число размерность пространства. З1. Тензвры в линейном пространстве 26! )зы —— ~ 1л! а!а! 1'(х) =~у 1': ю=а будем писать в виде 1'( ) = дХ: Дь! = 11 за!а!'. 3.
Определение и примеры. Мы рассматриваем п-мерное вещественное линейное пространство .К. Определение. В пространстве х' задан текзор типа (р,д), если каждому базису сопоставлена (р+ у)-ь!ерная матрица порядка и. При этом, каковы бы ни были базисы е и е', соответствующие им матрицы о,' ',' и о',' ",' должны быть связаны следующими соотношениями: (1) где а! элементы матрицы перехода от е к е'. а т' элементы ее обратной матрицы.
Элементы матрицы, соответствующей некоторому базису,. называются компонентами тензора в этом базисе. Число р+ у называется валектностью тензора, а д и р соответственно ковариактной и контр- вариантной валентностыо. Подчеркнем, что, несмотря на сложность суммы в правой части формулы (1), в каждое слагаемое входит единственная компонента тензора. Это означает, что новые компоненты являются ликейкылш однородными мкогочленами относительно старых компонент. Сложность формулы (1) связана с выражением коэффициентов этих многочленов через элементы матрицы перехода.
Два тензора ривны., если они одного типа и имеют одинаковые компоненты в некотором базисе. Тогда из закона преобразования вьпскает, что равны их компоненты в любом базисе. Для любой (р+ д)-ы!ерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (р, у), который в базисе е имеет эту матрицу компонент. Его компоненты в остальных базисах могут быть найдены с помощью формулы (1). Пример 1. Вектор является тензором типа (1, 0). Действительно, если задан вектор, то каждому базису соответствует одномерная матрица .. столбец. При этом компоненты, соответствующие разным деке встречается дважды: один раз вверху, а другой раз внизу.
Это ойозначает сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса так, как если йы перед ним стоял знак ~, а индекс йыл индексом суммирования, принимающим значения от 1 до и. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Раньше мы постоянно сталкивались с подобными суммами, но писали знак суммирования. Теперь мы этого делать не будем.
Например, формулы в 2б2 Гл. 1Х. Основы тензорноа алгебры базисам, связаны формулой ( = Я' или г.' = Я =т~Е . Это закон преобразования компонент тензора типа (1,0). Пример 2. Линейная функция на пространстве.К является тензором типа (О, 1). Действительно, если задана линейная функция, то каждому базису соответствует одномерная матрица - строка козффиционтов этой функции. При изменении базиса коэффициенты линейной функции преобразуются по формуле ~р' = ~рВ, т.
е. ь ~рг аг ~рь. Тензоры типа (0,1) - нектары сопряженного пространства .2'* .- называют новеягяоралги. П р имер 3. Линейное преобразование пространства .2' является тензором типа (1,1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой А' = Я 'АЯ: и г ~ Ь об =т;',во,. Пример 4. Билинейная функция на пространстве.К тензор типа (0,2).
Если дана такая функция, то каждому базису сопоставляется ее матрица, и матрицы билинейной функции в разных базисах связаны формулой В' = $ ВВ: Следует заметить, что симметричнан билинейная функция и соответствующая квадратичная форма --- один и тот же тензор, поскольку их матрицы в любом базисе совпадают. Пример 5. Пусть  — матрица билинейной функции ранга тг в базисе е. Сопоставим атому базису матрицу В '. Сделав зто для всех базисов, мы получим тензор типа (2, О). Действительно, из В' = ЯтВВ следует В' = Я 'В '(Ят) ' = В 'В '(о ')т, или д'" = ть'т,'~3"'. П р и м е р 6. Число, не зависящее от выбора базиса, — инвариант можно считать тензором типа (0,0). Пример 7. Важным тензором типа (1, 1) является так называемый символ Кронекера, компоненты которого в некотором базисе составляют единичную матрицу: 5 (2) Формула (2) — принятое обозначение, и мы будем им ниже пользоваться.
Если интерпретировать символ Кронекера как линейное преобразование, то это будет тождественное преобразование Е, и потому З1. Тензоры в линейном пространстве 263 в любом другом базисе этот тензор имеет те же компоненты, составляющие единичную матрицу.. Для примера проверим это, используя тензорную символику.
Согласно закону преобразования (3) Если дь определяется формулой (2), то из пз слагаемых в правой части (3) равны нулю все, кроме тех, для которых й = Е Поэтому й' = т,'аь, а т'аь элементы произведения 5 '5. Значит, д' = й'. П р и м е р 8. Рассмотрим обобщение билинейной фугиеции функцию Г(лы ..., ле) от д векторов, линейную по каждому из них, если остальные фиксированы.
Такие функции называются д-линейными или полилинебнылш, если число аргументов не уточняется. Разлозким каждый из векторов по некоторому базису е. Тогда в силу полилинейности Г(хы...,л ) = Г©ен,...,С"ез ) = =43'" 4ч'р(е1 "е.) =~1'" бч"~~ "и где коэффициенты ссн л, = Г(ен,.,.,еч) играют ту же роль, что и элементы матрицы билинейной функции. Докажем, что при замене базиса они преобразуются как компоненты тензора типа (О, д). Для этого рассмотрим базис е,' = алел и снова воспользуемся полилинейностью; или и; ; = о, .а, пь, е,как и требовалось. рн ь, 1" я 1 П р и мер 9. Таким же способом можно построить пример тензо- ра любого типа (р,д).
При этом полилинейпая функция должна за- висеть от д векторов и р ковекторов. Значение такой функции на векторах ты ..., хе и ковекторах 1, ...,1Р можно вычислить, разложив векторы по базису е, а ковекторы .. по его биортогональному бази- су р в пространстве К*. Напомним, что базис р~,...,р" называется биортовональным базису еы ..., е„, если р'(еь) = дь. Если Яз = ~,нек, а Р =:Рз, Р', то аналогично пРедыдУщемУ полУчаем А, р рн ь, 1 р нл, Г(згы р., ве, Е, ..., 1 ) = ~; ...
~е' ун ... со, он. " ь, где Вспомним, что базис р преобразуетсн матрицей (Я ~)г, когда базис е преобразуется матрицей Я. В тензорных обозначениях это записывается как р'з = тору и проверяется так: р~~(е~) тз р~(а~с ) тьзасбь бз 264 3"л. 1Х. Основы тензорноб алгебры Теперь подставим в а',.'"," = Г(е,'1,,.1е',р' ', ...,р' ") выраже- ния новых базисных векторов через старые (для обоих базисов е и р) и, как и в примере 8, получим закон преобразования коэффициентов, который будет совпадать с законом преобразованил (1).
Этот пример показывает, что для любой р+ д-мерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (рч у), который в базисе е имеет такую матрицу компонент. 4. Линейные операции. Линейные операции определены для тен- зоров одного и того же типа. Именно, определим для пространствен- ных матриц одной размерности слогкение и умножение на число по- злементно: суммой матриц сг,.' ",.' и 333' ',' назовем матрицу 31 3 31 ''31 (4) а произведением матрицы о,' ",.' на число Л вЂ . матрицу 31. 31 В'" "= Ли""'.
31 " 31' Предложение 1. Пусть А и  —. тензоры типа (рЧу). Сопо- ставим каждому базису сумму их матриц в этол базисе.. Этим будет определен тензор типа чрч д). Сопоставим каждому базису произведе- ние матрицы тензора А на число Л. Этим будетп определен тензор того же типа (р, у). Обе части предложения доказываются одинаково и по существу вытекают из того, что правая часть формулы (1) линейный одно- родный многочлен относительно старых компонент тензора.
Приве- делч цоказательство для первой части. При замене базиса 111..1р 1, ф 31 31 ЬЧ...Ьр )3".'"'ы = т" ,... т" о'...о 'д '"' ". 31 М 31' 31 Складывая почленно эти равенства, мы получаем О"'"лр + )4'""'" = т" ... т 'О'... 13" (Ср '"' ' + В '"' р), 31 .31 31" 31 Я1' ЬР 31 зч Ь, гр ЬЧ .гр т. е. тензорный закон преобразования для чз, ' ', ' +,Э, Тензоры1 определенные в предложении 1, мы назовем, соответ- ственно суммой тензоров А и В и произведениел3 А на число Л. Свойст- ва линейных операций описываются следующим предложением. Предложение 2.
По отношению к операциям сложения и умно- жения на число множество всех тензоров одного и того же типа (рч у) является линейным пространством размерности пуч ч. Предоставим читателю проверить все аксиомы в определении ли- нейного пространства и займемся размерностью. Выберем в Рг' какой- нибудь базис и рассмотрим тензоры, у которых одна из компонент в данном базисе равна 1, а остальные компоненты равны нулю. Су щест- вует ровно пгь' таких тензоровч так как тензор типа (р, д) имеет плач З1.
Твнзоры в линейном пространстве компонент. Каждый тензор данного типа раскладывается, и притом однозначно, по выбранным нами тензорам (коэффициенты разложения равны компонентам данного тензора). Таким образом, размерность пространства тензоров типа (р, у) ранна пр л, и предложение доказано. Более того, мы построили базис в пространстве тензоров типа (р,у), естественным образом связанный с базисом в пространстве .зл. Напомним, что как раз таким способом мы построили базис в сопрюкенном пространстве х' пространстве тензоров типа (0,1) .. и назвали его биортогональным исходному базису в У'. Теперь для пространства К мы имеем бесконечную последовательность линейных пространств, связанных с ним так же, как х':как только выбран базис в .зл, во всех этих пространствах также появляются базисы.
5. Умножение тензоров. Пусть А тепзор типа 1р,у), а В тензор типа (г,в). Произвольному базису е мы можем сопоставить (р+ у + г + в)-мерную матрицу, составленную из произведений каждой компоненты А на каягдую компоненту В. Эти произведения упорядочим, записав сначала индексы, относящиеся к А, а затем индексы, отпоснщиеся к В, так, как показывает формула н .л„гн мь = о (г) зей .3 з~" зв 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
