Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Выражение для свободного члена Поо пам но потребуется. Формулы (2) и (3) выражают искомый закон преобразовании коэффициентов уравнения. Обсудим его. Члены второй степени в уравнении (1) образуют однородный многочлен второй степени. 51ы видим, что его коэффициенты нс меняются при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. Поэтому многочлен и аг С'Сг (4) С1=1 ,о ~ф 1 у2 1 О О ~о 51 52 ав а1 "2 1 1 1 2 2 2 120 121 о 2 Тут переменная ~о не меняется, а для 1' = 1, ..., и к С = ~~' о1С + ос (7) 1 — 1 Если положить дв = ~' = 1, а д1 (1 = 1, ..., ») интерпретировать как декартовы координаты точки и;мерного пространства, то в (7) записано самое общее преобразование декартовой системы координат.
Итак, мы доказали Предложение 2. Ранг и сигнатура большой квадратичной формы (5) не л1енлются при гамене декартовой системы координат. можно рассматривать как квадратичную форму. Назовем ее малой квадратичной формой. Из сказанного вытекает Предложение 1. Ранг и сигнатура малой квадратичной формы (4) не меняются при изменении декартовой системы координат. Получим закон преобразования в друтой форме, позволяющей доказать инвариантность еще двух чисел. Рассмотрим однородный многочлен нторой степени от и + 1 переменных и и и ~ о ~г~ч = ~ о, ~'~1+2~о,о5'~~+ооо5~5о.
(5) г,д=-в Ь1=1 ~=-1 Левая часть (1) получается из (5) при ~о = 1. 51ногочлен (5) можно рассматривать как координатную запись квадратичной формы при некотором выборе базиса в (и + 1)-л1ерном пространстве. Назовем эту квадратичную форму большой квадратичной формой. Ранг и сигнатура этой квадратичной формы не изменятсн, если перейти к другому базису с произвольной матрицей перехода Я порядка и + 1, но нам потребуютсн матрицы перехода, имеюшие специальный вид. Выпишем его при п = 2: Вх.
батая теория линий и поверхностей второго поргдка 251 Поверхность, определяемая уравнением (1), не изменится, если умножить левую часть уравнения на какой-либо отличный от нуля множитель. При этом ранги большой и малой квадратичных форм не изменятся, а сигнатуры могут изменить только знак 1если множитель отрицательный). Отсюда следует Теорема 1. Четыре числа - . ранги и модули сигнатур большой и л1алвй квадратичных форм являются инвариактами поверхности второго порядка. Обозначим ранг и модуль сигнатуры малой квадратичной формы соответственно через г и а, а ранг и модуль сигнатуры большой квадратичной формы - через Л и Х.
2. Линии второго порядка на плоскости. В теореме 1 5 1 гл. 111 мы показали, что любое уравнение второго порядка на плоскости за счет выбора декартовой прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из девяти канонических видов. В соответствии с этим имеется девять классов уравнений второго порядка.
Составляя матрицы большой и малой квадратичных форм для канонических уравнений, мы можем непосредственно усмотреть значения г, а, Л и Х, соответствующие каждому классу. Единственное затруднение нозникает в случае параболы. Матрица большой квадратичной формы для ее канонического уравнения имеет вид О -ро А= -р О О О О 1 Чтобы найти Л и Х, выберем матрицу перехода 1 — 1 О Я= 1 1 О О О 1 Мы получим — 2р О О ЯтАЯ = О 2р О О О 1 и обнаружим, что Л = 3 и Х = 1. Матрица Я не имеет вида (6), но Л и Х не меняются при произвольной замене базиса.
Выпишем канонические виды уравнений второго порядка на плоскости вместе со значениями рангов и модулей сигнатур в табл. 1. Из теоремы 1 видно, что уравнениям одного класса соответствует один и тот же набор инвариантов, а из табл. 1, что наборы инвариантов, соответствуюшие уравнениям разных классов, различны. Таким образом, имеет место Теорема 2. Аффикный класс уравнения второго порядка с двумя переменными однозначна впределяетсл числалш г, Л, в и Е. Гл.
УШ. Аффппние пространства зб2 Кроме того, мы видим, что значение г = 2 характеризует центральные линии, а их разделение на линии эллиптического и гиперболического типов определяется значением о. Значение Л ( 3 соответствует "распаншимсяе линиям, в состав которых входят вещественные или мниглые прямые. Это было установлено в 2 3 гл.
111 в связи с геометрическим смыслом определителей б и 11. Сейчас мы в состоянии посмотреть на них с более общей точки зрения. Таблица 1 Каноническое уравнение Название о Ю-"1ае+ (12)-'Ф =1 Эллипс 2 2 (1~) 'ае -ь (бе) !ье 1 а (1') + Ь (4 ) = О Мнимый эллипс Пара мнимых пересекаю- шихся прямых (1~)~/а — (б ) /Ье = 1 Гипербола 2 О Пара пересекающихся прямых а(1) — Ь(б) =О (бе) = 2рб' 2 О Парабола 1 1 Юе =ае Пара параллельных прямых 1 1 Пара мнимых параллель- вых прямых (бе)е = — " 1 1 (б) =О Две совпавшие прямые 1 1 СС11 О12 1э =вы+наг, 12 = Ош О22 12 —..
зто знакомый нам детерминант д. При произвольных заменах координат его величина меняется, но знак (или обращение в 0) остается инвариантным. Об 1, речь шла в упр. 6 2 1 гл. П1. Замена базиса (6) имеет специальный вид, но если прямоугольная 3. Ортогональные инварианты. Вместе с малой квадратичной формой мы можем рассматривать ее присоединенное преобразование. Если пользоваться только прямоугольными системами координат, то матрица малой квадратичной формы совпадает с матрицей присоединенного преобразования. Поэтому коэффициенты ее характеристического многочлена не меняются при замене одной декартовой прямоугольной системы координат другой такой гке системой. Определение. Величины, не меняющиеся при замене одной декартовой прямоугольной системы координат на другую декартову прямоугольную систему, называются ортогональнымп (или евклидовылщ) инвариантами.
Итак, с линией связаны два ортогональных инварианта ге. Ойииая теория линий и поверхностей второго порядка 253 ГЛОО ГЛ10 Ого Лз = Ош Оы 111г Ого О12 П22 Легко видеть, что матрица перехода в формуле (6) ортогональна тогда и только тогда, когда ортогональна матрица ~8) и а01 — — аог = О, т. е. ортонормированный базис заменнется на ортонормированный, а перенос начала координат не производится.
При этом коэффициенты характеристического многочлена матрицы большой квадратичной формы це изменятся. Итак, коэффициенты при Лг и — Л (9) ооо -Ь гл11 + ою, оы ош о21 пг + ооо 1110 + поо елго (10) О10 О11 ого огг не меняются при ортогональной замене базиса и, возможно, меняются при переносе начала координат. Величины такого типа называются семиинвариантами (т. е. полуинвариантами). Вычитая из (9) и (10) соответственно 11 и 12, мы получаем семиинварианты елоо и ооо ого + ооо ого ЕЛ10 '-111 Ого '-122 Впрочем, то, что аоо семиинвариант, видно и из формул (2).
Значения полученных здесь инвариантов и семиинвариантов позволяют найти коэффициенты в канонических уравнениях, и потому опродоллют линию второго порлдка с точностью до пололгспия па плоскости. Следует, однако, помнить, что эти величины связаны с многочленом второго порядка, а не с линией.
Онн меняются очевидным образом, если уравнение умножить на отличное от нуля число. 4. Поверхности второго порядка. Пусть уравнение (1) связывает координаты точки в трехмерном пространстве. В этом пункте мы покажем, что существует такая декартова прямоугольная система координат, при переходе к которой уравнение принимает один из 17 канонических видов. В качестве базиса такой системы координат выберем тот ортонормированный базис., в котором малая квадратичная форма имеет система координат меннется на прямоугольную, то матрица а1 1т1 (8) П1 О..; ортогональная, и ее детерминант равен 1 или — 1.
В этом случае детерминант матрицы перехода Я в формуле (6) также равен т1. При замене базиса (6) детерминант матрицы большой квадратичной формы умножается на (асс л)г, т. е. остается неизменным. Мы получили еще один ортогопальный инвариант уравнония второго порядка известный нам детерминант лг, записанный несколько иначе: зь4 2л. У11Е Аффинные пространства диагональный вид.
Таким образом, мы будем исходить из уравнения Лз(~') + Л (са)2+ Лз(с' ) + 2о2еС~ + 2озосз+ 2озосз+ осе =О (11) и запомним, что уже выбран определенный ортормированный базис. На коэффициенты уравнения не накладывается никаких ограничений, за исключением того, что Л„Л и Лз не обращаются в нуль одновременно. Дальнейшие упрощения определяются следующим вспомогательным предложением. Предложение 3.
Если в уравнение (11) входит с ненулевым коэфу2иииентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси мозкно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты. Это доказывается так же, как и предложение 1 3 1 гл. П1. Нам будет удобно рассмотреть отделыю несколько случаев, соответствующих различным зпаченинм инвариантов г, о, Н и Е. 1. Пусть 2 = 3. Это равносильно тому, что ни одно из Лы Лз и Лз не равно нулю. Тогда в силу предложения 3 начало координат можно перенести в такую точку, что уравнение (11) примет вид Л,(~')' + Л,<Е')' + Л,ьб')2 + р = О. (12) 1А.
Условие Л = 4 равносильно тому, что свободный член р в (12) не равен нулю. Разделив на него, получим — 'Ы')2 — — '-Юз- — '"Ы')' =1 (13) р р 12 1Аа. Пусть Е = 4. Это означает, что Л2, Лх, Лз и р одного знака, коэффициенты в уравнении (13) отрицательны, и оно приводится к каноническому виду Ы')' Ю' Юз Это уравнение называется уравнением мнимого эллипсоида. Ему не удовлетворяет ни одна точка. 1Аб. Если Е = 2, а о = 3, то общий знак Лы Лз, Лз противоположен знаку р.
Ноэффициенты в (13) положительны, и уравнение приводится к каноническому виду Ы')2 Ы')' „ Ы")2 а2 Ь2 с2 Поверхность эллипсоид. 1Ав. При Х = О и и = 1 знак одного из собственных значений (можно считать, при необходимости изменян нумерацию базисных векторов, что это Лз) противоположен знаку двух других (Ль и Лз) и совпадает со знаком р.
В уравнении (13) два положительных и один отрицательный коэффициент. Поверхность — однополостнь2й гиперболоид с каноническим уравнением Ю , 42) (б ) оз Ьь сз 22. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 255 ооо О О озо О Л, О О О О Лз О озо ΠΠΠ— '"зв'1 "2. 2 (15) Условие П = 4 в силу равенства (15) равносильно озо Ф О. 2А. Пусть Л = 4. Сгруппируем члены в уравнении (14): Л1Ы ) + Лг(4 ) + 2озо(С' + — ) = О2озо Отсюда видно, что переносом начала координат вдоль оси ~з. ~1 с1 ~2 ~2 спЗ ~З + ОЕЕ 2оге ' уравнение можно преобразовать в Л (~1)2 + Лз(~2)2 + 2озо~з О Далее есть две возмо'кности в соответствии со значением т.
1Аг. Пусть теперь Е = 2, о = 1. Знак одного из собственных зна- чений (считаем, что Л1) противоположен знаку двух других и про- тивоположен знаку р. Теперь в уравнении (13) два отрицательных и один положительный коэффициент. Оно приводится к виду Ы')2 Ыг)' Ы')2 аг 62 се и определлет двуполостный гиперболоид. 1Б. Пусть Л = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
