Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 59
Текст из файла (страница 59)
З з Предложение 3. Если налсдому базису мы сопоставим числа Т" "~, определяемые формулой (5), то этилз будет определен тензор типа (р+ г, у+ в). Доказательство мы проведем для случая тензоров типов (1,1) и (0,1). В общем случае доказательство отличается только более громоздкой записью. Выразим компоненты тснзоров А и В в базисе е' через их компоненты в базисе е: х 1,ь ~ ь о =г)а ою р =сг Вге Отсюда н оп! ~ ~ ь ьп ~ 1 ь„ь У",„, = сг",,л,'н = т„о'.а,„ог'Вь = т,'.ада' "ги„ т, е, величины тд, преобразуются при замене базиса как компоненты ь тензора типа (1,2).
Определение 1. Тензор, построенный в предложении 3, называется произведением тензора А на тензор В и обозначается А ен В. Пример 10. Рассгнотрим две линейные функции 1 и и на х" и сопоставим каждой паре векторов х и у число 1(х)6(у). Пусть в некотором базисе значения функций записываются как 1(х) = д,~' и Ь(у) = рьг1", где (' и уь -- компоненты векторов х и у.
Тогда Ь(х, У) = 1(х)Ь(У) = (,а,ЯГРьуь) = (,РьиЯ'г1ь, поскольку при перемножении многочленов каждый член одного сомножителя умножается на каждый член другого. Итак, построенная дав Гл. 1Х. Основы тензорной алгебры нами функция Ь произведение двух линейных функций билинейная функция, т. е. тензор типа (0,2). Он является тензорным произведением тензоров, соответствующих 1 и Ь. Мы можем напи- СатЬ Ь = 1 З Ь, ИЛИ, В КОМПОНЕНтаХ, 13щ = авил. Тензорное произведение не коммутативно. Это хорошо видно на предыдущем примере.
Пусть Ь* = Ь З К Тогда Ь (х,д) = п(х)1(д) = = Ь(р,х), т. е. это будет другая билинейная функция, если только функция Ь не симметричная. Посмотрим на то же самое с точки зрения компонент. Конечно, ~доил = рею,. Это значит, что,З,ь = д*,: матрицы билинейных функций отличаются на транспонирование, В' = = Вг. Они совпадают, если оьиь — дерь = 0 для всех г, Ь.
Равенство нулю всех этих детерминантов равносильно пропорциональности коэффициентов линейных функций 1 и Ь. И в общем слу'чае множество чисел, являющихся компонентами произведения тензоров, не зависит от порядка сомножителей, но упорядочиваются эти числа по-разному в зависимости от порядка сомножителей. Предоставим читателю самостоятельно убедиться, что умножение тензоров ассоциативно и дистрибутивцо по отношению к сложению. Легко заметить также, что произведение тензора на число совпадает с произведением на тензор типа (О., 0), имеющий это число в качестве компоненты. Предложение 4. Любой тензор типа (р,о) раскладывается в линейную комбинацию произведений, в каждое из которых входит р векторов и д ковекторов. Для доказательства покажем, что произведениями требуемого вида являются тензоры, из которых в предложении 2 был построен базис в пространстве тензоров типа )р,б).
Мы сделаем это для тензоров типа (2,1), поскольку в общем случае рассуждение аналогично. Пусть тснзор Я таков, что в базисе е ого компонента дзз = 1, а остальные компоненты равны нулю. Рассмотрим векторы базиса ез, ез и ковектор р', входящий в биортогональный базис. Векторы еа и ез имеют компоненты (0,1,0,...,0) и (0,0,1,0,...,0), а компоненты ковектора . - (1, О, ..., 0). Поэтому произведение Я = ез З ез З р' имеет только одну компопенту б~~з, равную 1, а все остальные его компоненты равны нулю. Точно так же утверждение доказывается и для остальных тензоров, составляющих базис в пространстве тензоров рассматриваемого типа. 6. Свертывание.
Рассмотрим множество элементов з-мерной матрицы, для которых все индексы, кроме некоторых двух, имеют фиксированные значения. Это множество образует двумерный слой .. квадратную матрицу. Таким образом, вся матрица распадается на двумерные слои, соответствующие выбранной паре индексов. Всего таких слоев столько, сколько комбинаций значений могут принимать остальные з — 2 индексов, т. е, п' з. б1.
Тенэори в линейном пространстве 267 Пусть А тензор типа (р, д), причем р > О и у > О, т. е. тензор имеет как верхние, так и нижние индексы. Выберем какой-нибудь верхний (например, первый) индекс и какой-нибудь нижний (например, последний) и рассмотрим слои, соответствующие такой паре индексов. Напомним, что следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных злезиентов. Следы всех слоев образуют (р+ у — 2)- мерную матрицу, имеющую р — 1 верхних и д — 1 нижних индексов: Используя тензорное обозначение суммирования, мы можем написать гг...г, Ы, Л„ = а 1~ гд — г 31 ° ° гг — ~ь Предложение 5.
Сопоставим каждому оазису систему чисел, получаемую иэ колтонент тензора типа (р, д) вьгчислением следа каждого слоя, соответствующего одному верхнему и однолгу нижнему индексам. Такое соответствие определяет тензор типа (р — 1,о — 1). Для доказательства выясним, как преобразуется указанная система чисел при изменении базиса. Для случая, описанного формулой (6), мы имеем ,гггг.. г'„гыг ..а„ь ~ 6 Г Г~ ц пг ...ш„ ,3,", =а " „=т,,т,...т„," и ...оэ о а, ~ч ~г Но так как т,"„',о„' = б '„зто выражение равно б' т" ...т'" т'...о.' 'а пг~ тг "' т„ При сумзиировании по индексам 1ч и нм равны нулю все слагаемые, за исключением тех, для которых 1ч = ты Обозначив 1, = т~ = й, мы можем написать щ~2» гр гг О 1г ~г — 1 ьтг,.аппп Это и есть доказываемый закон преобразования. Определение.
Тензор, получаемый из тензора А по формулам (6), называется его сверткой по первому верхнему и последнему нижнему индексам. Аналогично определяется свертка по любому верхнему и любому нижнему индексам. Подчеркнем, что для двух верхних (или двух нижних) индексов свертка не определена. Свертка тензора типа (1,1) по единственной паре индексов есть инвариант --. уже упоминавшийся след линейного преобразования (сы. с. 185). Сверткой двух тенэоров называется свертка их произведения по верхнему индексу одного из сомножителей и нижнему индексу другого. Например, образ вектора х с компонентами ~' при линейном преобразовании с матрицей аь есть свертка соответствующих тензоров: 77~ = а~~'. Значение линейной функции 1 со строкой коэффициентов рь на векторе х с координатами ~' есть свертка р(х) = угь4ь.
Гл. 1Х. Основы тензорноа алгебры 288 11111 11121 О112 О122 азы О221 О212 О222 Транспонирование по двум первым индексам переводит эту мат- РиЦУ в,д, 1 = оз,й, или, в РазвеРнУтом виДе, 6111 1г121 12112 1 122 о1п 11112 11212 В211 6221 6212 6222 ог21 Оезз О222 О2П О221 Если пРи более сложном тРанспониРовании Уий, = оййп то 1п1 йщ 7112 и22 о111 сгпз озп ойп2 '1211 /221 7212 7222 11121 о122 о221 11222 П редлоя1 ение 6. Пусть каждому базису сопоставлена (р+ у)- мерная матрица, полученная из матрицы тензора А типа (р,д) транспонированиель, причем переставляются только верхние гали только нилгние) индексы. Этим определен пгензор В типа (р, у). Нам достаточно доказать это для трапспонирований по двум индексам, так как любое транспонирование результат последовательного выполнения таких транспонирований.
Кроме того, для любой пары верхних или нижних индексов доказательство одинаково. Число и расположение индексов, не участвующих в транспонировании, роли не играет. Поэтому мы проведем доказательство для трапспонирования по первой паре верхних индексов, записанного в формуле (7). Транспонируем матрицу новых компонент тензора А: = тг тг г опоЗ' 'й' = тЗ т' тй а1'0 'З' 1 =~з~~стй1~! ~11 ="11 и й~ 7.
Транспонирование. Транспонированием в-мерной матрицы по каким-либо двум индексам называется такая перестановка ее элементов, при которой транспонируется каждый слой, получаемый фиксированием всех индексов, кроме двух выбранных. Например, при 11й транспонировании матрицы о11 по двум первым верхним индексам она переходит в матрицу д,з ', связанную с ней равенством ой дгзй зьй (7) Вообще, под транспонированием матршгы по множеству индексов понимается результат ее последовательных транспонирований по различным парам индексов из этого множества. По множеству из 1 индексов может быть осуществлено И транспонирований.
Транспонирование иногда называют перестановкой индексов, хотя, например, записи о~ и от определяют одну и ту же матрицу: в обоих случаях все индексы независимо друг от друга принимают значения от 1 доя. П р и мер 11. Пусть и = 2. Рассмотрим трехмерную матрицу обй. Значениям 1 и 2 последнего индекса соответствуют два слоя. Выпишем их рядом: 41. Теневри в линейпон пространстве 269 Это отличается от обычной записи закона преобразования компонент тензора типа (3, 1) только порядком сомножителей. Определение.
Тензор В, построенный в предложении 6, называется результатом транспвиирввания тензора А. Тензоры, являющиеся произведениями двух данных тензоров в разном порядке, получаются один из другого транспонированием. 8. Снмметрнрованне н альтерннрованне. Рассмотрим тензор А, коптрвариантная валентность которого не меньше заданного числа в > 2. Выберем какие-нибудь в верхних индексов. Эти индексы можно переставить е! способами, и потому существуют в! тензоров, получающихся из А транспонированием по этим индексам. Сложим все эти тензоры и разделим результат на число в!. Полученный тензор называется результатом симлсетрирвваиия А по выбранным индексам.
Его компоненты обозначаются заключением в крутлыс скобки этой группы индексов у компонент тензора А. Аналогично определяется симметрирование по нижним индексам. Пример 12. Симмстрировапие тензора типа (3,0) по первому и третьему индексам: (ййь) ( езл + ьн) 2 Обратите внимание, что второй индекс, не участвующий в симметрировании, выделен прямыми чертами. П р и мер 13.
Симмстрирование тонзора типа (1, 3) по всем нижниеи индексам: Айьб = 6 Узы+ Аль+ ~ьб+~~ьд+3)ь1+ Ьь). Снова рассмотрим тензор А типа (р,д), где р > е > 2. Выберем группу из в верхних индексов и пронумеруем выбранные индексы числами 1, ...,в. Тогда каждому тензору, получаемому из А транспонированием по этим индексам, будет сопоставлена некоторая перестановка 1ы ...,1, номеров 1, ..., ж Обозначим через Х(гы ....1л) число нарушений порядка в ней (см. и. 6 9 3 гл.
Ъ'). Напомним, что перестановка называется четной, если число нарушений порядка в ней четное, и нечетной в противном случае. Транспонируя А по выбранным индексам, мы, как и выше, получим в! тензоров. Сложим все эти тензоры, предварительно умножив каждый из них на ( — 1)~~ч'"Л'~, где зы...,1, перестановка, ему соответствующая. Сумму разделим на число в!. Так построенный тензор называется результатом альтернирввания тензора А по выбранным индексам. Его компоненты обозначаются заключением в квадратные скобки тех индексов, по которым производится альтернирование. Пример 14. Альтернирование тензора типа (3,0) по первому и третьему индексам: 0~де~ ( оь ьн) 2 270 1"л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
