Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 54
Текст из файла (страница 54)
при перестановке сомножителей скалярное произведение заменяется на комплексно сопряженное число; 2) (ах,у) = а(х,у); 3) (х -Ь у,з) = (х,з) + (у,з); 4) (х,х) > О, осли х ф о. Заметим, что для любого вектора (х,х) = (х,х), и потому скалярный квадрат вектора вещественное число. В аксиоме 4) требуется, чтобы оно было положительным для х у'= о. Из аксиом 1) и 2) вытекает правило вынесения числового множителя от второго сомножителн в скалярном произведении. Как легко проверить, для любых комплексных чисел Л и р выполнены равенства (лр) = лр, (л+ р) = л+ Р. (1) В силу первого из этих равенств (х, ау) = (ау, т) = а(у, х) = а(у, х), и окончательно (х, ау) = а(х, у).
(2) Раскрытие скобок при сложении во втором сомножителе происходит без замены на сопряженное. Согласно второму из равенств (1) (х, у + з) = (у + с., х) = (у,х) + (з,х) = (у,х) + (з, х) = (х,, у) + (х, з). Это показывает, что унитарное пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в котором задана ноложительно определенная эрмитова форма. Длина вектора и угол между' векторами определяются теми же формулами, что и в евклидовом пространстве. Длина вектора вещественна, неотрицательна и ранна нулю только для нулевого вектора. Угол, вообще говоря, комплексный. Отметим, что неравенство Коши Буняковского пишется так: (х, х)(у, у) > (х, у)(у,х) = ~(х, у)~ .
П р и м е р 1. Комплексное линейное пространство комплексных столбцов высоты и становится п-мерным унитарным пространством, если определить скалярное произведение по формуле (с,з1) = с 41 = 'с з1' + ... + Е"з1н. у4. Понпспие об унитарных пространствах 241 Действительно, по этой формуле имеем также (41, () = г1'~1 + ... + П Рн. При помощи равенств (1) теперь можно получить (~, и) = (41,~). Аксиомы 2) и 3) следуют из свойств умнолеения матриц. Далее, Ы:6 = б'Г1+" ч-4"Г = ~4'Г +" + ~Сии а следовательно, скалярный квадрат неотрицателен и равен нулю только для нулевого столбца.
П р и мер 2. Одномерное унитарное пространство можно построить следующим образом. Рассмотрим в качестве множества векторов векторы обычной плоскости. Сложение векторов определим, как обычно, по правилу параллелограмма. Для того чтобы определить произведение вектора на комплексное число, выберем некоторый (пусть, дли определенности, ортонормированный) базис е1,ез. Произведением вектора х с координатами ~1,сз на число Л = о + 1Д мы назовем вектор с координатами о(~ — Яз и о~з + я1.
Смысл этого определения следующий; вектору х соответствует комплексное число 4~ + газ. Произведением Лх называется вектор, соответствующий произведению чисел Л(С~ + 1Сз). Заметим, что при сложении векторов складываются соответствующие комплексные числа. Проверим аксиомы линейного пространства. Аксиомы, относящиеся к сложению векторов, разумеется, выполнены, так как тут обычные векторы складываются обычным образом. Аксиомы, относящиеся к умножению вектора на число, вытекают из свойств сложения и умножения комплексных чисел.
Таким образом, лпы имеем комплексное линейное пространство. Размерность его равна 1, так как каждый вектор х равен (~1+1~а)е1, где ~1+ г~х .-- кон|плсксное число, определяемое вектором х. Базисом является вектор е1. Скалярным произведением векторов х = Ле1 и у = ре1 назовем число Лр. Не представляет труда проверить, что такое скалярное умножение удовлетворяет аксиомам унитарного пространства. Унитарная длина вектора (1 + 1)е, равна хГ2. Скалярное произведение (е1,ез) = (е1,1е,) = — 1, даже если по отношению к обычному скалярному произведению эти векторы и перпендикулярны.
2. Свойства унитарных пространств. Все доказанные выше свойства евклидовых пространств с небольшими изменениями переносятся на унитарные пространства. Скалярное произведение выражается через координаты сомножителей в базисе е по формуле (х,у) = д Гг4, где Г матрица Грама базиса е, или, иначе, матрица основной эрмитовой формы. Ее элементы .. скалярные произведения всевозможных 16 Д.В. Векпеыкшее 242 Гл. 171. эвклидовы и унитарние пространства пар базисных векторов. Поскольку (е,, е.) = (ез, е,), матрица Грама в унитарном пространстве удовлетворяет условию Гт = Г.
(3) Напоьлним, что при условии (3) матрица называется эрмтпвввй. В конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, векторы которого попарно ортогональны, а по длине равны 1. Такой базис можно получить из произвольного базиса методом ортогонализации. В ортонормированном базисе скалярное произведение выражается формулой ( у) =с'с1'+ "+с"цв Ортогональное дополнение подпространства и ортогональные проекции вектора в унитарном пространстве определяются так же, как в евклидовом, и имеют те же свойства.
Разумеется, нужно не забывать следить за порядком сомножителей в скалярном произведении. Матрипа перехода от одного ортонормированного базиса в унитарном пространстве к другому такому же базису должна удовлетворять авенств (4) Р ВтЯ-Š— с Это означает, что я = от, а отсюда следует ВВт О п редел е н и е. Матрица, удовлетворяющая равенству (4), называется унитарной.
Применяя равенства (1) ь форьсуле полного разложения детерминанта, мы получаем, что с1ес Я = де~ о. Теперь из (4) следует йе1(Я~Я) = с1ес В~ с1ес 5 = с1ес Яс1еС Л = ) с1еь Я) ' = 1. Таким образом, детерминант унитарной матрицы .-- комплексное число, по модулю ранное 1. В теореме 5 24 гл. Ъ" мы видели, что для каждого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис, в котором его матрица верхняя треугольнан. Легко видеть, что ортогонализация такого базиса не выводит его векторы из подпространств (11) 24 гл. У. Поэтому справедлива Теорема 2. Для каждого линейного преобразования унитарного пространства существует вртвнврмирвванный базис, в котором егв матрица верхняя треугольная.
3. Свмосопряжеиные и унитарные преобразовании. Преобразование унитарного пространства называется самосвпряженным, если для любых векторов х и у вьшолнено равенство (А(х), у) = (х, А(у)). Из этого определения вытекает, что преобразование является салсосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе зрмитона. 44. Понятие об унитарных пространствах 243 Собственные значения (а значит, и все характеристические числа) самосопряженного преобразонания ве~цественньь Действительно, если А(х) = Лх, то (А(х),х) = Л(х,х) и (х,А(х)) = Л(х,х). Следовательно, Л = Л.
На самосопряженные преобразования унитарных пространств без изменений переносятся теоремы 2 4 22. Заметим, однако, что обращение теоремы 4 22 - предложение 6 22 на унитарные преобразования не переносится: эрмитова матрица должна иметь вешественные числа на главной диагонали, а потому не всякая диагональная матрица эрмитова. Преобразование унитарного пространства такое, что (А(х),А(у)) = (х.,у) для любых векторов х и у, называется уяптарныж преобразованием.
Преобразование унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе унитарная. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице. Каждое унитарное преобразование имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Этим унитарные преобразования отличаются от ортогональных преобразований евклидова пространства. 4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве.
Рассмотрим в унитарном пространстве полуторалинейную форму Ь. Преобразование А этого пространства называется присоединенным к форме Ь, если Ь(х,д) = (х,А(у)) для любых векторов х и у. В ортонормированнолп базисе матрица присоединенного преобразования совпадает с матрицей, комплексно сопряженной матрице полуторалинейной формы Ь. Отсюда следует, что преобразование, присоединенное к эрмитовой форме, является самосопряжсцным. Теперь аналогично теореме 1 2 3 мы лложем заключить, что для эрллитовой формы в унитарном пространстве найдется ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид с вещественными числами на диагонали.
Для двух эрмитовых форм,из которых одна положительно определенная, найдется базис, в котором они обе имеют диагональный вид. Упражнения 1. В двумерном унитарном пространстве лан ортонормироваяный базис и векторы а и Ь, каордиааты которых в этом базисе соответственно 1 + г, 1 — 1 и — й2 — 21. а) Найдите их длины и косинусы углов между а и Ь и между Ь и а. б) Ортогонализуйте эту пару вектороа.
2. Напишите какую-нибудь эрмитоеу матрицу порядка 3 и какую- нибудь унитарную матрицу порядка 2. 16* Гл. ИХ. Евнлиоовы и унитарные нрострвнства 244 Является ли преобразонание самосопряженным., унитарным? 5. Найдите ортанормиронанный базис из собственных векторов унитарного преобразовании, заданвого в ортонормированном базисе матрицей — вга 1о сов 1о соз ~р в!н ус 3. Докажите, что корни характеристического уравнения вещественной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1. 4.
Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе для преобразования А, заданного в ортонормированном базисе матрицей Г11АВЛ Ъ'1П АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Плоскости 1. Аффинное пространство. В гл. 1 мы считали известным из школьного курса понятие обычного геометрического пространства и ввели определение вектора как упорядоченной пары точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
