Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Пусть Ь вЂ” — билинейная функция на евклидовом пространстве Х С помощью скалярного произведения ей может быть сопоставлено не зависящим от выбора базиса образом некоторое линейное преобразование. Определение. Линейное преобразование А называется присоединенным к билинейной функции Ь, если для любых векторов х и у из 6'выполнено равенство Ь(х,у) = (х.,А(у)). (2) Предложение 2. Каждая билинейная функция имеет одно- единственное присоединенное преобразование.

Доказательство. Пусть А матрица преобразования А в некотором базисе е. Тогда (х, А(у)) = отГАхй где Г матрица Грама базиса е, а г и т1 —. координатные столбцы х и у. Отсюда видно, что (х, А(у)) - — билинейная функция с матрицей ГА. Если значения двух билинейных функций равны для любых х и у, то их матрицы совпадают. Поэтому если у функции Ь существует присоединенное преобразование, ее матрица В равна Г.4. Отсюда А=Г 'В. (3) Это означает, что билинейная функция не может иметь больше одного присоединенного преобразования: если оно существует, то его матрица равна Г 'В. Докажем существование присоединенного преобразования.

Для этого достаточно проверить, что преобразование с матрипей (3) является присоединенным. Подставим А = Г 'В в (х, А(у)) = РтГАг1. Мы получим (х, А(у)) = ЬтВт1 = Ь(х, у). Предложение доказано. Одновременно мы получили связь (3) между матрицами билинейной функции ее присоединенного преобразования. Для ортонормиро- ЗЗ. Функции на ееклидоеых пространствах 237 ванного базиса связь особенно проста А=В. эти матрицы сонпадают (41 Отсюда и из предложения 3 ~ 2 мы получаем Предложение 3. Для симметричных билинейных функций и только для них присоединенное преобразование лв яется самосопряженным. Преобразование, присоединенное к симметричной билинейной функции, называют присоединенным также к соответствующей квадратичной форме.

3. Ортоиормироваииый базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Установленная выше связь между квадратичными формами и самосопряженными преобразованиями позволяет доказать две важные теоремы. Теорема 1. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в наторел~ она имеет диагональный вид. Теорема почти очевидна: базисом, существование которого утверждается, является ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к квадратичной форме. В нем В = А и А -.- диагональная матрица.

Следующая теорема янляется по существу другой формулировкой теоремы 1. Теорема 2. Пусть в линейном пространстве.2' заданы две квадрапщчные формы к и и, причем и положительно определенная. Тогда в 2' существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид. Для доказательства введем в К скалярное произведение, .приняв о за основную квадратичную форму. По отношению к этому скалярному произведению ортонормировацпыми будут те базисы, в которых о имеет канонический вид. По теореме 1 для формы к существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид. Это и есть базис, существование которого мы доказываем. Замечание.

Если пространство Кевклидово, то теореьиа 2 остается, конечно, справедливой. Уже существующее скалярное произведение оставляется без внимания, а для доказательства вводится новое скалярное произведение при помощи формы и. Найденный базис, но- обще говоря, не будет ортонормированным по отношению к старому скалярному произведению.

Чтобы привести две квадратичные формы к диагональному виду в одном и том же базисе, можно сначала привести к каноническому виду форму и и найти матрицу 1ь' формы к в полученном базисе. Этим будет осуществлен переход к базису, ортонормированному по отношению к вспомогательному скалярному произведению. Линейное преобразование, имеющее ту же матрицу Л', является присоединенным к форме к. Следует найти его ортонормированный базис из соб- Гл.

ЪН. Явклидавн и унитарные пространства 288 ственных векторов, вычисляя скалярное произведение по формуле (9) 81. В этом базисе матрица формы и будет по-прежнему единичной, а матрица К" формы к будет диагональной. Тот же результат можно получить и иначе. Пусть К и Н матрицы квадратичных форм в исходном базисе е. Матрица Н является матрицей Грама базиса е для вспомогательного скалнрного произведения. Поэтому преооразование, присоединенное к форме к в базисе е, имеет матрицу А = Н ~К. Напишем его характеристический многочлен г)е1(Н 'К вЂ” ЛЕ) в виде ММН !(К вЂ” ЛН)) Так как бе1Н ' ~0, характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение ~Ы(К вЂ” ЛН) = О, (б) называемое обоби1енныж характеристическим уравнениель Для каждого из его корней система уравнений собственного надпространства (Н 'К вЂ” ЛЕ)с = о эквивалентна система (К вЂ” ЛН)6 = о.

Для каждого корин фундаментальную систему решений такой системы уравнений надо ортогонализовать и нормировать, находя скалярное произведение по формуле (7) 81 с матрнцей Грама Н. Объединяя все так полученные ортонормированные базисы собственных подпространств, мы получаем базис е'. Он ортонормирован относительно вспомогательного скалярного произведении, и потому форма П в пем имеет канонический вид. Так как он состоит из собственных векторов преобразования, присоединенного к к, эта форма будет иметь диагональный вид в базисе е'. Упражнения 1.

В пространстве маогочленов степени ( 3 скалярное произведение зададим так же, как в упр. 1 8 1. Линейная функция 1 сопоставляет многочлену р(1) его свободный член р(0). Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции. 2. Линейное преобразование А присоединеао к билинейной функции Ь. К какой билинейной фуакции присоединено его сопряженное преобразование А*7 3.

В белиссе билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если Г матрица Грама балиеве; 2 1 1 1 4. Докажите, что значение квадратичной формы н(х) на векторе х длины 1 заключено менаду наименьшим и наибольшим собственными значениями ое присоедиаенного преобразования, и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.

б. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочленом 3(б')а -Ь 3(ба)а + 3(са)а — 2б'~ — 2б'б~ — 2б"б'. Найдите матрицу перехода к ортонормированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и ее вид в этом базисе. уо. Понятие об унитарных пространствах 239 6.

Пусть н и 8 квадратичные формы и Ь положительна определена. Существует лн базис, в котором н имеет канонический, а Ь диагональный аид? 7. Приведите пример двух ввадратичных фарм, которые: а) ае приводятся к диагоаальному виду в одном и том же базисе; б) приводятся н диагональному виду в одном и там же базиса, яо ии одна из них не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной. 8. Найдите ыат)зилу перехода к базису, в котором квадратичные формы н(э) = (б') — 2с 8 ж (с ) и а(э) = 17(с') -ь 89'с ж (с ) обе имеют диагональный эид, а также их вид в этом базисе.

9. Докажите, что для того, чтобы для двух непропорциональных нвадратичиых форм в двумерном пространстве существовал базис, в котором они обе имеют диагональный аид, необходимо и достаточно, чтобы среди их линейных комбинаций нашлась положительно определенная форма. Насколько здесь существеано предположение о размерности пространства? 8 4. Понятие об унитарных пространствах 1. Определение. В этом параграфе мы покажем., как определяется скалярное произведение в комплексных линейных пространствах. При этом мы нс приводим доказательств, поскольку их можно получить незначительным видоизгиенением доказательств соответствующих предложений а евклидоных пространствах. Договоримся, что черта над буквой, обозначающей матрицу, означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженцыс.

Рассмотригн комплексное линейное пространство х' и предположим, что мы каким-то образом сопоставили каждой упорядоченной паре векторов х и у число (щ,у), Оказывается, что естественные аксиомы, определяющие скалярное произведение в евклидовых пространствах, выполнены быть не могут. Действительно, пусть х ненулевой нектар. В нашем пространстве определено умножение на комплексное число, и мы можем взять вектор гш, где ( .- мнимая единица.

Коли скалярное произведение линейно по каждому сомножителю, то имеет место равенство (сш,ид) = -(щ,.с). При положительном произведении справа произведение слева отрицательно. Таким образом, выбирая в качестве скалярного произведения векторов значение билинейной функции, мзп пе можем рассчитывать, что длина вектора будет вещественна. Поэтому в комплексном пространстве вводятся другие определения скалярного произведения. В одном из них заглепяют аксиому 4 более слабыгд требованием: из того, что (х,у) = 0 для всех э, вытекает у = о (иначе говоря, ортогональное дополнение пространства 2о есть нулевое подпрастранство). Комплексное линейное пространство, 240 Гл.

й71. Явнлидовы и унитарные пространства в котором так определено скалярное произведение, называется комплексным евнлидовым пространством. Такие пространства используются сравнительно редко. Гораздо чаще в приложениях встречаются так называемые унитарные пространства. Определение. Комплексное линейное пространство 2' называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если залан закон, сопоставляюший каждым двум векторам х и у из 2" комплексное число (х, у), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следу юшим аксиомам, каковы бы ни были векторы х, у и з и число а: 1) (х,у) = (у,х), т. е.

Характеристики

Список файлов книги