Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В частности, для ортонормированного базиса е ИЯ, ..., г„) = )с)етГ!. Если евклидова пространство ориентировано (и. 6 2 1 гл.У1),мы определим обаелс гмлсерного ориентированного параллелепипеда как его объем со знаком плюс, если его ребра составляют положительно ориентированный базис, и со знаком минус в противном случае. Тогда длн положительно ориентированного ортопормированного базиса мы имееэ| 1'4(уы ..., 1я) = с)е1Г, а в общем случае 1'~(~ы ...,1„) = с)е1Г1'с(еы ...,е„).
(2Ц Формулы этого пункта были получены нами для н = 2,3 в 2 4 гл. 1. Упражнения 1. Проверьте, что в пространстве многочленов степени ( 2 скалярное произведение можно определить формулой 1 (р,ч) = /рП)чП)41 — 1 а) Составьте матрицу Грама базиса 1, й Г. б) С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, П вЂ” 1), (4 — 1). а) Найдите угол между многочленами 4 + 1 и 1+ 1. 2. Подпространство евклидова пространства задано в ортонормировапаом базисе уравнением 4' 4-Г 4-6з + 6с = О. Найдите ортонормированный базис в этом подпространстве. 3. Пусть ЙисЮ= 4 и о" С сз задано в ортонормированном базисе системой 41 ж гл -'- 43 = О, 4з 4. 43 4- бз = О Найдите: а) базис в сУ'~; б) ортогональную проекцию на о" вектора () 1 2 3 4 !)~ .
4. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка и равны между собой по абсолютной величине. 52. Линейные преобразования евклидовыз пространств а) Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы? б) Докажите, что такие матрицы существуют, если и = 2ь, где У натуральное число. б.
Найдите ОН-разложение матрицы: 1 3 1 а); б) 2 4 -3 1 1 — 1 6. В четырехмерном евклиловом пространстве трехмерный параллелепипел построен па векторах, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы 5 1 1 — 1 0'5 г, '51 1 1 — 1 5~ и 5 1 1 1 1 5~. Найдите объем параллелепипеда. 3 2. Линейные преобразования евклидовых пространств 1. Преобразование, сопряженное данному.
Все сказанное в предыдущей главе о линейных преобразованиях линейных пространств остается, конечно, в силе и для евклидовых пространств. С введением скалнрного произведения преобразования приобретают новые свойства подобно тому, как векторы приобретают длину. Определение. Линейное преобразование А' евклидова пространства называется сопрязкенныл1 преобразованию 4, если для любых векторов т и у имеет место равенство (4( ), у) = (т, 4" (у)).
Ж Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А'. Выясним, как связаны матрицы преобразований А и А' в некотором базисе е. Обозначим эти матрицы через А и А', а координатные столбцы векторов т и у через с и и. Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме (А~)тГЧ = ~тГА'Ч, гле Г - матрица Грама базиса е. Выполнив транспонирование, получаем РТАУГЧ = РтГА*Ч. (2) Это раненство показывает, что левая и праван части (1) являются билинейными функцинми, а АтГ и ГА* матрицы этих функций в базисе е.
Если значения функций равны при любых л и у, то матрицы этих функций равны. Поэтому Ат Г = ГА'. (3) Итак, матрицы преобразований 4 и А* связаны соотношением 13). В частности, если базис ортонормированный, А' = Аг. (4) Предложение 1. Каждое линейное преобразование евклидова пространства имеет единственное сопряженное преобразование. Для доказательства выберем ортонормированный базис е и рассмотрим линейное преобразование В, матрица которого в базисе е 15 Д.В.
Векземтвеь 226 Гл. УП. Явкладовы и уншпарные пространства равна Лт. Подставим В вместо А' в определение (1). Это приведет к очевидному равенству для матриц (Л~)тз1 = ~т(Лтз1). Таким образом, В является сопряженным для 4. Если бы имелось два преобразования, сопряженных одному и тому же А, то в силу (4) их матрицы совпадали бы. Предлогкение доказано. Поскольку (Л~ )т = .4, из формулы (4) вытекает, что (А')* = А. (5) Для любых двух преобразований А и В из (АВ)т = ВтЛт получаем (АВ)* = В*А*. (6) Из той же формулы (4) следует, что характеристические много- члены А и А* совпадают.
Следовательно, собственные значения преобразований и их кратности одинаковы. В качестве приложения понятия сопряженного преобразования дадим геометрическое истолкование теоремы Фредгольма для системы .4х = Ь из п, уравнений с и неизвестными. Для этого рассмотрим п-мерное евклидова пространство и ортонормированный базис в нем. Каждый столбец будет координатным столбцом некоторого вектора, а матрица Л матрицей линейного преобразования А.
Система совместна, если существует такой вектор х, что 4(х) = Ь, т. е. Ь принадлежит множеству значений 1гп А преобразовании А. С другой стороны, сопряженная однородная система Лту = о равносильна условию А'(у) = о, т. е. ивляется системой уравнений для Кег А*. Таким образом, теорема Фредгольма эквивалентна следующему утверждению: Ь е 1т А тогда и только тогда, когда (Ь, у) = О для любого у Е КегА*. Мы приходим к такой ее формулировке: Предложение 2. Мнозкество значений преобразования А совпадает с ортогональным дополнением ядра его сопряженного преобразования: 1гпА = (КсгА')~. В гл.
Ъ' мы доказали теорему Фредгольма (для более общего случая), но и эта ее формулировка легко проверяется. Действительно, для любого х и любого у Е Кег А' (А(х),у) = (х.А'(у)) = (х,о) = О. Следовательно, !га А С ( Кег А*)" . Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают. 2. Самосоприженные преобразовании. Линейное преобразование 4 евклидова пространства называется самосопряженньем, если А = А*.
Это равносильно тому, что (4(х), у) = (х, А(у)) для любых х и у. Из формулы (4) следует Предложение 3. Преобразование является самосопряжвнным тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична. 42. Линейные преобразования евклидовых прас ~ракете 227 Собственные значения и собственные подпространства самосопряженных преобразований обладают рядом важных свойств, к изучению которых мы переходим. Ниже нам дважды придется воспользоваться следующими замечаниями: ограничение А самосопряжонного преобразования А на любом инвариантном подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собственным и для преобразования. Оба утверждения очевидны.
Опи сразу следуют из соответствующих определений и того, что А'(х) = А(х) для тех векторов, для которых определено А'. Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественньь Д о к а з а т е л ь с т во. Допустим, что самосопряженное преобразование А имеет не вещественный корень характеристического много- члена. Тогда согласно предложению 8 2 4 гл. Л'1 существует двумерное инвариантное подпространство Р', це содержащее собственных векторов А. Обозначим через А' ограничение А на б".
Поскольку А' -- самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу ;3 Т Характеристический многочлен этой матрицы Лг — (о+ у)Л+ + (оу — Дз) имеет дискриминант (о + Т)г — 4(сгу — 32). Последнее легко преобразуется в (сг — Т)2 + 4772. Следовательно, дискримицацт неотрицателсн, характеристический многочлсн имеет вещественный корень, а преобразование А' собственный вектор, что противоречит выбору надпространства 6"'.
Теорема доказана. Доказанное утверждение допускает следующую матричную формулировку. Предложение 4. Если А — вещественная симл~етричная матрица, то все корни уравнения Деь(А — ЛЕ) = О вещеапвенны. Т е о р с м а 2. Собственные надпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны. Теорема равносильна следующему утверждению. Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным зничениям, то они ортогональны.
Докажем его. Пусть А(х) = Лх и А(у) = ру, причем Л ф р. Тогда (А(х), у) = Л(х, у). Но иначе можно получить (А(х), у) = (х, А(у)) = р(х, у). Из этих двух равенств следует (Л вЂ” р)(х, .у) = О, откуда (х, у) = О, как и требовалось. Теорема 3. Если подпространство 6" инвариантно относительно самосопряженного преобразования А, то ортогональное дополне- 228 Гл.
УП. Кеклидовы и унитарные пространства ние Ксь э пого подпространства также инвариантно относительно А. Доказательство. Нам дано, что для каждого х из бе образ А(х) также лежит в Р'. Поэтому (А(х), у) = О для любого д й еу'"-. Но длн самосопряжеццого А это равносильно (х, 4(у)) = О, и, следовательно, А(у) е Х'-', как и требовалось.
Теперь мы можем доказать основную теорел~у о самосопряженных преобразованиях. Теорема 4. Пусть А — самосопряженное преобразование евклидова пространства 4'. Тогда в Р существует ортонормированный базис из собственных векторов А. Доказательство. Обозначим через х" сумму собственных надпространств преобразования А и докажем, что она совпадает с А'. Су мма собственных надпространств --. инвариантное подпространство.
Действительно, если вектор х раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащих каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же. Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение .,К также инвариантно. Допустим, что подпространство .К ненулевое и рассмотрим ограничение А преобразования А на.К . Это самосопряжепное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для А и должен лежать в х". Так как он ненулевой, в К он лежать не может.
Полученное противоречие показывает, что К . нулевое надпространство, и К совпадает с Р. Поскольку сумма собственных надпространств . прямая сумма, требуемый базис в бл можно выбрать как объединение ортонормированных базисов собственных подпространств. Этот базис будет ортонормированным, так как векторы базиса, лежащие в разных собственных подпространствах, ортогональны по теореме 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
