Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пример 3. Пространство,.У', рассматриваелюе как подпространство, является инвариантным относительно любого преобразованин. П р и м е р 4. Каждое надпространство является инвариантцым относительно тождественного и нулевого преобразований. П р и мер 5. Ядро преобразования и множество его значений являются его инвариантными подпространствами. Пусть в и-мерном линейном пространстве 2' задано линейное преобразование А, и пусть й-мерное подпрострацство К инвариантно от/ носительно А.
Выберем в 2' базис еы ..., е„так, чтобы векторы еы ...,еь лежали в 2Ы. Матрица А преобразования А может быть 8Л. Задача о собственных век ~орах 181 разделена на четыре подматрицы, или, как говорят, клетки: А1 Аз Аз~ аз Клетки А1, Аьэ Аз и Ач имеют РазмеРы 1с х й, й х (Зь — к), (и — к) х й и 1п — 1с) х (н — 1) соответственно. Докажем, что Аз — — О, т, е, элементы сх' матрицы А равны нулю при 1 = 1, ..., к и 1 = к+ 1, ..., п. Действительно, первые Й столбцов матрицы А координатные столбцы векторов А(е1),...,А(еь). Так как .х' инвариантное надпространство, эти векторы лежат в х", и их компоненты по базисным векторам еь,.1, ..., е„равны нулю.
Легко видеть, что и, обратно, если в каком-либо базисе матрица линейного преобразования А имеет вид А= (2) то линейная оболочка векторов е1, ..., ех инвариантна относитольно А. В самом деле, в этом случае для всех 1 = 1, ..., 1; имеем 4(е ) = = сх~е1+ ... + о":еь, и потому образ линейной комбинации векторов е1, ..., еь есть линейная комбинация этих же векторов.
Матрицы вида (2) называют клеточно-треугольными. Получено Предложение 1. Матрица линейного преобразования клеточно- треугольная тогда и только тогда, когда линейная оболочка базисных векторов е,, ..., еь инвариантное надпространство. Если мы поместим в инвариантное надпространство не первые й базисных векторов, а базисные векторы с номерами р+ 1, ...,р+ й при каком-то р, то повторением тех же рассуждений мы получим для элементов матрицы А равенства о' = О при 1' = р+ 1, ...,р+ к и 1 ( р+ 1 или 1 ) р+ Й. Это значит, что в столбцах с номерами р+1,...,р+й ыожет быть отлична от нуля только квадратная клетка порядка Й в строках с теми же номерами, т. е. расположенная на главной диагонали.
Пусть теперь,2' разложено в прямую сумму ь инвариантных подпространств 2' = 2'1 82 ... й .2', размерностей д1,...,д,, и в качестве базиса выбрано объединение базисов этих подпространств. Тогда в матрице преобразования могут отличаться от нуля только элементы квадратных клеток порядков д1,...,д, на диагонали: А1 О (3) Такие матрицы называются клеточно-диагональнылнз или блочно-диагональнызки. Итак, имеет место Предложение 2.
Матрица линейного преобразования является клеточно-диагональной тогда и только тогда, когда базис есть Гл. У1. Линейные пространстве 182 объединение базисов инвариактных надпространств. Преобразование А каждому вектору из инвариантного подпространства К' сопоставляет вектор из .х". Этим определено преобразова! ние надпространства,'г', которое мы назовем ограничекиел1 А на и обозначим А'. Для векторов из г по определению А'(х) = А(х), а для векторов, не принадлежащих,2", преобразование А' не определено.
А' отличается от А только тем, что оно преобразует хл и х", а це 2' н ег' Если сохранить обозначения, введенные выше, то нетрудно заметить, что в базисе ез,...,еь подпространстэа У" матрицей ограничения А' является клетка .41 матрицы (2). Иннариантные подпространства преобразования А тесно связаны с преобразованиями, перестаноночпыми с А. Эту связь описывает Предложение 3.
Если преобразования А и В аерестаковочны, то ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого. Доказательство. 1'. Если х Е КегА, то 4(х) = о, и потому В(А(х)) = о. Тогда А(В(х)) = о, а значит, В(х) Е КегА. 2'. Если х Е 1га А, то существует вектор г такой, что х = А(г). Тогда В(х) = В(А(г)) = 4(В(г)).
Это означает, что В(х) Е 1шА. 4. Собственные подпространстна. 11ы найдем подпространстэо, инвариантное относительно заданного линейного преобразования А, если найдем преобразование, перестаноэочное с А и имеющее ненулевое ядро. Перестановочны с А прежде всего многочлсны от А и, и частности, простейшие из них линейные. С точностью до числового множителя линейному многочлену от А можно придать нид А — ЛЕ, где Л .-.
некоторый коэффициент. Определение. Если для числа Л подпространстно Кег(4 — ЛЕ) ненулевое, то Л называется свбстввккым значением преобразования, а подпространство собственным подарос аранством, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению Л. Отметим один важный частный случай. Если преобразование А имеет ненулевое ядро, то это ядро собственное подпространстэо, соответствующее собственному значению Л = бч Ограничение А на этом инвариантном подпространстне нулевое преобразование. Если вектор х лежит в собственном подпространстве, то для него (А — ЛЕ)(х) = о или А(х) — ЛЕ(х) = А(х) — Лх = о и, окончательно, (4) А(х) = Лх. Отсюда следует Предложение 4. Ограничение преобразования яа собственном подпрвстранстве является или нулевым преобразоваяиелй или гомотетией: вно умножает каждый вектор этого пвдпространства на собственное значение.
гг. Задача о собсп1венкых век ~орах 183 Пусть нам каким-то образом удалось найти собственные значения преобразованин А. Тогда для нахождения собственных подпространств нужно для каждого собственного значения Л составить систему линейных уравнений (А — ЛЕ)ц = о, (5) где А матрица преобразования в некотором базисе е. Фундаментальная система решений системы (5) состоит из координатных столбцов векторов, составляющих базис собственного подпространства. В развернутом виде система (5) записывается так: (о11 — Л)51+ ог1~2 + ... + о1,5п = О, 11'-„15' + (о. '— Л) Ез + ...
+ о'„5" = О, (6) оп(1 + оп~2 + + (оп Л)чхп О Определение. Вектор х пазьлвается собственным вектором преобразования А, соответствующим (или принадлежащим) собственноьлу значению Л, если: 1) х ~ о: 2) А(х) = Лх. Определение означает, что собственные векторы "-- это ненулевые векторы собственных подпространств. Предложение 5.
Собственные векторы и только они являются базиснь1ми векторами одномерных подпространств., инвариантных относ1лтельно А. Доказательство. 1'. Пусть вектор х собственный, а у принадлежит одномерному подпространству .У с базисом х. Тогда у = глх и А(у) = оА(х) = оЛх. Значит, А(у) лежит в х . 2'. Пусть х -- базис инвариантного надпространства .х". Тогда А(х) лежит в К' и раскладывается по базису: А(х) = Лх. Так как х ~ о, он собственный.
Следствие. В собственном подяространстве через каждый вектор проходит одномерное инвариантное подпространство. Предложение 6. Вл-м столбце матрицы линейного преобразования все элементы еке главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда 1'-й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца . собственное значение. Действительно, если базисный вектор ел собственный, то А(е1) = = Лел, и поэтому 1-й элемент координатного столбца вектора А(е,) равен Л, а остальные элементы равны нулю.
Остается вспомнить, что координатный столбец А(е,) есть 1-й столбец ллатрицы преобразования. Обратное утверждение доказывается аналогично. 5. Характеристическое уравнение. Выберем базис и обозначим через А матрицу линейного преобразования А в этом базисе. Тогда преобразование А — ЛЕ имеет матрицу А — ЛЕ, и согласно пред- 1л.
ьЛ. Линейные пространство 184 ложению 5 '8 3 его ядро отлично от нуля тогда и только тогда, когда а — Л ь ь 2 ь ! сь22 Л 1 сгп сьп = О. (7) с1еь(А — ЛЕ) = с1ес ь 2 '" и Равенство (7), рассматриваемое как условие на Л, называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни характеристическими числами матрицы А.
Разумеется, в вешественном пространстве в качестве множите.чей допускаются только вешественные числа, и собственные значения должны быть вещественными. В соответствии с этим имеет место Теорема 1. В комплексном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями. В веосественном пространстве то же справедливо для веиьественнььх корней характеристического уравнения. Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени и. Действительно, согласно формуле полного разложения (10) 84 гл.
з' детерминант равен алгебраической сумме произведений, в каждое из которых входит по и элементов матрипы. Содержат Л только элементы, стоящие на главной диагонали. Существует одно произведение (аз — Л) 1сь2 — Л)... (о'„' — Л), ь8) в котором все сомножители содержат Л. Если н какое-нибудь другое произведение вошел сомножитель сь,' (з ф ь), то в него не могут войти сомножители (сь', — Л) и (оз — Л). Поэтому каждый член суммы, кроме (8), содержит Л в степени не выше, чем и — 2.
Раскрывая скобки в выражении (8), выпишем два члена со старшими степенями Л; 1-1)" Л" + 1-1) и-ь « ', + .', + ... +,",) Л"-' Эти же члены будут старшими ьзо всем многочлене. Сьзободный член многочлена равен его значению при Л = О, а это значение равно с1еЬЬА — ОЕ) — с1ес А. Таким образом, с1сьЬА — ЛЕ) = Ь' — 1)пЛп -ь ( — 1)" 'Лп ' ~ ~о', + ... +с1ссА, (9) Этот многочлен называется характеристическиль многочленом матрицы А. Остальные его коэффициенты находить не будем, так как они нам не потребуются. ьь1ногочлен степени и, как известно, не может иметь больше, чем и различных корней и всегда имеет хотя бы один комплексный корень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
