И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы' (510774), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найденная ширина щели и равна диаметру человеческого волоса. Б 5.7. Дифракционная решетка Дифракционная решетка является важнейшим спектральным прибором, предназначенным для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которых нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации. 151 Дифракция света Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном зкране. Пусть ширина каждой щели равна Ь, а период решетки — д. В решетке реализуется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих из щелей решетки при ее освещении. Днфракционную (точнее дифракционно-интерференционную) картину наблюдают по методу Фраунгофера, т.
е. в параллельных лучах, а практически — в фокальной плоскости объектива (рис. 5.25, а). згпб Рис. 5л25 Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на решетку нормально. Каждая из щелей в отдельности давала бы в фокальной плоскости объектива дифракционную картину, показанную на рис. 5.24. И такие картины от всех щелей в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения.
Интенсивности при етом складывались бы, и мы получили бы при наличии Ф щелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную в Ю раз. При освещении же решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей ннтерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется. Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов. Главные максимумы.
В середину дифракционно-интерференционной картины* когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна А,, а число щелей в решетке тт', то результирующая * Далее мы будем зазывать ее по традиции просто дифраннионной. 152 Глава а амплитуда А и соответствующая ей интенсивность 1 будут опре- деляться формулами А А1)1г 1 11Я2 Такой же результат получается и при углах дифракции 3, для которых оптическая разность хода Ь колебаний от соседних щелей (см. рис.
5.25, б) равна целому числу длин волн: с(з(п9„=йтХ, т=О, 1, 2,..., (5.21) где знаки «+» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке (3 = 0): при знаке «+» угол 9 „> О, а при знаке «-» угол 9 < О. В направлениях 3 „, определяемых этим уравнением, возникают максимумы, интенсивность которых в Фз раз превосходят интенсивность от каждой щели в том же направлении. Их называют главными максимумами т-го порядка, а уравнение (5.21) — условием главных максимумов. Именно главные максимумы и представляют особый практический интерес.
Как мы увидим далее, они получаются тем более узкими и резкими, чем большее число 1«штрихов содержит решетка. При наклонном падении плоской волны на решетку — под углом 3, к нормали (рис. 5.26, а) разность хода соответствующих лучей от двух соседних штрихов (щелей) равна а = «1(е1п3 — е1п3«1 и направления 3 иа главные фраунгоферовы максимумы определяются условием «1(е1п 3„— е1п 3, ) = х т),.
(5.22) с учетом следующего правила знаков для углов 3„и 3,: они должны отсчитываться в одном направлении от нормали к решетке, например по часовой стрелке (см. рис. 5,26, а, где 3, и 3 >0). Ркс. 5.26 Дкфракция света 159 Это же условие (5.22) справедливо и для отражательной решетки, если углы 9 и 9, отсчитывать в противоположных направлениях от нормали (см. рис. 5.26, 5, где 9, и 9„>0). Отметим попутно, что форма штрихов решетки не влияет на положение главных фраунгоферовых максимумов, н условия (5.21) и (5.22) являются универсальными. Интерференционные минимумы. Для выяснения дальнейших деталей фраунгоферовой дифракционной картины воспользуемся векторной диаграммой, которая позволит легко найти и результирующую амплитуду А колебаний, приходящих в произвольную точку Р фокальной плоскости объектива (см.
рис. 5.25). а) Рис. 5.27 Векторная диаграмма в нашем случае представляет собой цепочку векторов-амплитуд когерентных колебаний, приходящих в точку Р от каждой из Ф щелей: .Аи А,..., Ал (рис. 5.27). По модулю зти векторы одинаковы, и каждый следующий отстает от предыдущего (или опережает, зто не существенно) по фазе на один и тот же угол у. Этот угол связан с оптической разностью хода о соответствующих лучей от соседних щелей известным соотношением (3.20), т. е.
в нашем случае — при нормальном падении света на решетку й с(в1п9 у =2х — =2х Л (5.23) где Н вЂ” период решетки (см. рис. 5.25, 5). Теперь проследим, как будет вести себя эта цепочка векторов (а значит и ее замыкающая А) при удалении точки Р от фокуса Р (см.
рис. 5.25, а), т. е. с ростом угла дифракции 9. Глава З Ясно, что при атом будет увеличиваться разность фаз у между колебаниями от соседних щелей, и цепочка векторов будет постепенно закручиваться. Первый раз она замкнется и вектор А обратится в нуль, когда угол Фу станет равным 2л — зто непосредственно видно из рнс, 5.27, б.
При дальнейшем росте угла 9, а значит, разности фаз у и Ху, цепочка будет периодически то распрямляться (главные максимумы, А = макс), то замыкаться (интерференционные минимумы, А = О). Последнее будет происходить при значениях угла Фу кратных 2ти (5.
24) где т' принимает целочисленные значения, кроме О, Х, 2Х,..., при которых цепочка распрямляется, и мы получаем главные максимумы. Подставив в (5.24) значение у из формулы (5.23), получим: 9 = à — ~. Ю (5. 25) Это выражение представляет собой условие длл интерференНионных минимумов (при целочисленных значениях т', кроме О, гУ, 2Ф, ). Оно же содержит и условие (5.21) для главных максимумов (при лт' = О, Х, 2Х, ...). Между двумя соседними главными максимумами расположены 1У-1 интерференционных минимумов. А между последними, в свою очередь, — добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом числе )У штрихов решетки пренебрежимо мала (как мы увидим далее, она составляет не более 5% от интенсивности главных максимумов).
В отличие от условия (5.21), которое дает только изложения главных максимумов, соотношение (5.25) позволяет определить и их угловую ширину. В самом деле, при переходе от главного максимума к соседнему минимуму (рис. 5. 28) ла' меняется на единицу, например от Х до Х + 1. Тогда при достаточно большом Ф угловую полуширину 89 главного максимума 1-го порядка можно найти, взяв дифференциал уравнения (5.25) с Дяфракция света 155 б т'= Ю-1 М И+1 Рис. 5.28 учетом того, что лт' при этом меняется на единицу (5лт' = 1). Тогда дсозЭ 53 = ХIИ, откуда Х Х 59 = Мс( соз 9 Ь соз 3 (5.
26) Обращает на себя внимание тот факт, что 53 зависит не от с( и Х в отдельности, а от их произведения, которое есть не что иное как ширина решетки Ь = Мсс. С ростом угла дифракции Э ширина главных максимумов увеличивается. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки )т и меньше угол дифракцин 3.
Теперь выясним, что означает утверждение, например, «угловая ширина главного максимума 53 малас. По сравнению с чем? Ответ достаточно очевидный: величину 53 надо сравнивать с угловой шиной ЬЭ между соседними главными максимумами. Если 59 «ЛЭ, мы говорим, что главные максимумы узкие (резкие). Оценим отношение этих двух величин. Значение 53 соответствует изменению т' в (5.25) на единицу, но таких значений ги' между двумя соседними главными максимумами оказывается Х. Считая, что на каждый интервал блт' = 1 приходится одно и то же значение 59 (для оценки), приходим к выводу, что 59 в )т' раз меньше, чем ЛЭ .
Итак, резкость главных максимумов пропорциональна числу штрихов решетки (более точный расчет приводит к тому же результату). Таким образом, с помощью условий (5.21) и (5.25) мы можем установить не только положения главных максимумов, но и их угловую ширину (резкость).
Остается решить вопрос об их интенсивности. Рассмотрим его сначала качественно. Глава 5 Прослеживая с помощью рис. 5.27, как будет вести себя векторная диаграмма по мере увеличения угла дифракции 9, мы оставили без внимания тот факт, что при этом каждый вектор цепочки по модулю будет уменьшаться, ибо он определяется дифракцией от каждой щели. В соответствии же с рис. 5.23 результирующий вектор при закручивании цепочки будет сначала уменьшаться и в дальнейшем вести себя аналогично тому, как показано на рис. 5.24. Следовательно, кроме интерференционных минимумов, необходимо иметь в виду и дифракционные минимумы, определяемые условием (5.16), т.
е. Ьв1п9 =хтЛ, т = 1,2, где 6 — ширина каждой щели. При этом условии все векторы цепочки обращаются в нуль, значит и результирующая интенсивность в этих направлениях всегда должна быть равна нулю. Даже в том случае, если этому направлению соответствует главный максимум т-го порядка. Пример. Найдем отношение периода решетки к ширине щели, д/Ь, прн котором пропадает главный максимум 3-го порядка. В этом направлении — под углом днфракцнн 9„— должны выполняться два условия: дэ1п9,=ЬЗЛ, Ьэ1п9,=ЬЛ. Из отношения этих двух равенств находим: д/Ь = 3. Это значит„что в пределах основного днфракцнонного максимума мы будем наблюдать два главных максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
