И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы' (510774), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для большинства задач вопрос о фазе не имеет значения, ибо нас интересует интенсивность результирующей волны, которая пропорциональна квадрату амплитуды. Значение же последней метод Френеля дает правильное. Итак, несмотря на некоторые недостатки, метод Френеля в вопросах расчета интенсивности волн для многих случаев является весьма плодотворным .
Э 5.3, Дифракция Фреиеля иа полуплоскости и щели В предыдущем параграфе мы рассматривали с помощью принципа Гюйгенса — Френеля дифракцию сферической волны от круглого отверстия. Осевая симметрия задачи подсказывала выбор конфигурации зон, на которые мы разбивали открытую часть волновой поверхности — в виде круговых колец. Теперь перейдем к случаю, когда волновая поверхность плоская и характер препятствия (полуплоскость, щель) предписывает разбивать открытую часть волновой поверхности на зоны в виде прямолинейных полосок.
* Впоследствии Кпрхгоф дзл более строгую формулировку принципу Гюйгенсз — Френеля, устраняющую формально почти все педостатокп теории Фрепеля. Глава 5 Р, Р а) Рис. 5,11 Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Пусть на экран Э падает нормально плоская монохроматическая волна длины )с. Расположим перед экраном на расстоянии ( от него непрозрачную полуплоскость гв' с прямолинейным краем (рис. 5.11). Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране Э мы наблюдали резкую тень от края этой полуплоскости (точка Рс на рисунке). В действительности же из-за волнового характера света на экране Э образуется сложная дифракционная картина. Для расчета этой картины воспользуемся принципом Гюйгенса — Френеля. В данном случае в качестве интересующей нас волновой поверхности 8 возьмем ту открытую ее часть, которая продолжает непрозрачную полуплоскость.
Соответствующие расчеты были проведены аналитически Френелем, получены результаты в виде так называемых интегралов Френеля, и задача, таким образом, была решена. Мы не будем воспроизводить здесь этот расчет и ограничимся лишь интерпретацией его и полученного результата с помощью векторной диаграммы. Это наиболее простой и наглядный метод, открывающий к тому же весьма эффективные практические применения. Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина на экране Э будет зависеть только от расстояния до границы геометрической тени — точки Рс на рис. 5.11, т.
е. светлые и темные полосы должны быть параллельны прямолинейному краю К непрозрачной полуплоскости )в'. Говоря далее об амплитуде колебаний в точке Р на экране, мы будем иметь в виду, что зто относится ко всем точкам прямой, проходящей через точку Р и параллельной краю полуплоскости. Дифвакциа света 135 Сначала найдем амплитуду колебаний в точке Рэ, которая находится на краю геометрической тени (рис.
5.11, а). Для этой точки (и только для нее) мы могли бы использовать разбиение открытой части волновой поверхности на полукольца — полузоны Френеля. Но поскольку нам предстоит определять амплитуду колебаний и в других точках экрана, то в соответствии с симметрией данной задачи разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности Я на весьма узкие одинаковой ширины прямолинейные полоски (зоны), параллельные краю полуплоскости. Амплитуду колебаний, приходящих в точку Рэ от первой зоны-полоски изобразим вектором с(А, (рис. 5.12).
Амплитуду колебаний от следующей полоски — вектором ЙАз, повернутым на очень небольшой угол против часовой стрелки, так как эти колебания проходят до точки Рэ несколько большее расстояние н, значит, отстают по фазе. В дальнейшем угол между соседними векторами-амплитудами становится все больше, поскольку запаздывание по фазе колебаний, приходящих в точку Рэ от по- О следующих зон-полосок растет все боль- с)А,с(4 ше. Модули же векторов с)А,.
будут умень- Рис. 5.12 шаться (нз-за увеличения расстояния до Р„и угла Э между нормалью к полоске и направлением на точку Рс). Результирующая амплитуда колебаний в точке Рэ от достаточно широкой полосы волновой поверхности Я изобразится суммой (цепочкой) векторов ЙА, от всех укладывающихся на этой полосе элементарных зон-полосок. Это вектор А на рис. 5.12. Спираль Корню. В пределе, когда ширина полосы стремится к бесконечности, т. е. превращается в полуплоскость, и ширина каждой элементарной зоны-полоски стремится к нулю, цепочка векторов превращается в плавную кривую, являющуюся правой половиной спирали Корню (рис.
5.13). Эта спираль состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов Рт и Гэ. Ее левая половина описывает действие колебаний, приходящих в точку Р„от участков волновой поверхности (если бы 1ЗО Глава 5 1,5 они были открыты), лежащих левее края К не- 1 прозрачной полуплоско- 1,О сти (см. рис. 5.11, а). з,о Амплитуда колебаний в точке Ро от вол- О,о новой поверхности, лео жащей правее края К 20 непрозрачной полуплоскости, изобразится вектором, проведенным из точки О в фокус Рз 6 1,5 спирали Корню. Амплитуда же колебаний в Рвс. 5.13 точке Ро от полностью открытой волновой поверхности — вектором, проведенным из фокуса Р1 в фокус Рз.
Для нахождения вектора-амплитуды колебаний в точке Р, лежащей, например, правее точки Ро (см. рис. 5,11, б), от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между координатами х и х, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали Корню. Это делается так. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра з (он пропорционален длине дуги спирали, отсчитываемой от точки О на рис. 5.13).
Значения параметра указаны вдоль кривой. Из аналитического расчета следует, что параметр з связан с расстоянием х, отсчитываемым от точки С до интересующей нас точки Х) волновой поверхности 8 (рис. 5.14) формулой 1,О з = х,)2,/1Х, (5.9) с  ††††††††††††— — — — 8 ! !! ! э где Х вЂ” длина волны света, 1 — расстояние между экраном Э и волновой поверхностью 8, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.
Рвс. 5.14 Дифракция света Обратим внимание на то, что параметр з пропорционален расстоянию х. Значит, и се з ся длине дуги спирали Корню, отсчитываемой от точки О (см. рис. 5.13) в соответствующую сторону (вправо или влево). Теперь покажем как с помощью спирали Корню получить распределение интенсивности света на экране вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости Ф. Если точка Р находится правее точки Рс (см.
рис. 5.11, 6), то правая часть волновой поверхности Я (от точки С) полностью открыта, и на спирали Корню амплитуда колебаний в точке Р соответствует вектору ОРз. Конец этого вектора находится в фокусе Рз, а начало — точка 1) — в зависимости от положения точки Р. Когда Р находится на краю геометрической тени (в точке Р„), точка В совпадает с точкой О на спирали Корню (см. рис.
5.13), и вектор-амплитуда соответствующих колебаний изобразится вектором ОРз, равным половине вектора Р~Рз — от полностью открытой волновой поверхности Я. Поэтому интенсивность света в точке Рс в четыре раза меньше интенсивности 1 в отсутствие непрозрачной полуплоскости. При перемещении точки Р вправо от точки Рс точка В на спирали Корню (начало вектора РУз) будет перемещаться по левой ветви спирали, так как слева от точки С будут открываться все новые зоны-полоски. Это приводит к тому, что амплитуда и интенсивность в точке Р при удалении ее от Рс будут последовательно проходить через максимумы и минимумы, различие между которыми постепенно уменьшается и интенсивность приближается к значению 1е (рис.
5,15). При перемещении точки Р влево от точки Рс — в область геометрической тени, точка .0 на спирали Корню перемещается Рис. 5.15 133 Глава 5 вправо от точки О. Легко видеть, что длина вектора ВРз, а значит и интенсивность, будет монотонно уменьшаться до нуля (см. рис. 5.15). Теперь покажем на конкретном примере как просто с помощью спирали Корню и формулы (5.9) решаются вопросы, связанные с распределением интенсивности при дифракции света от края непрозрачной полуплоскости. Пример.
Дифракцию плоской волны от края непрозрачной полуплоскости наблюдают на экране Э, отстоящем от полуплоскости г( на расстояние ) = 100 см. Длина волны света Х = 500 нм, Найдем расстояние ох между первыми двумя максимумами на экране Э и интенсивность первого максимума, если интенсивность падающего света равна 1,, Согласно формуле (5.9) ох = х, — х, = (э, — з,)ЧБ~2 = = (2,3 — г 2ЪД ЭОО 10 !2 = .Ь О = О.М С помощью рис.
5.13 и линейки находим, что отношение амплитуды 1-го максимума, т. е, расстояния между точками С и Рм к амплитуде падающего света Р,Р, равно Ч = 1,175 Следовательно, интенсивность 1-го максимума 1, = Ч'1о = 1 371е. Следует отметить, что обычно точка наблюдения Р в лабораторных установках находится за непрозрачной полуплоскостью на расстоянии, не превышающем порядка одного метра. При атом для определения амплитуды результирующего колебания играет роль сравнительно небольшой участок волновой поверхности Я, лежащий вблизи края полуплоскости. В таких условиях край практически любого препятствия можно считать прямолинейным и для расчета дифракционной картины успешно пользоваться спиралью Корню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
