АРУСТАМОВ (507835), страница 39
Текст из файла (страница 39)
964 — 982). 1ллва ХХр' ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Для того чтобы найти точки пересечения прямой с повертностью любого теча (прюма, пирамида, цилиндр, конус, шар и т д 1, поступают точно так:ке, как и при накоплении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно: 1) заданную пряьгую заключают во вспомогательную плоскость; 370 2) находят линию (прямую илн крна>ю) пересечению заданной поверхиостн со всполюгательной плоскостью; 3) на пересечении заданной прямой с лннией пересечешш получают исхомие точки. В частном случае прямая линия может быть ха,сательной х поверхности.
Указание. При заключении прямой ва всполгогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектироваласьсь на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой илн окружности, ПРИМЕРЫ Пример 318 4 Найти точки пересечения поверхности призмы с прямой АВ (фиг. 99б). Решение. Заключаем прямую АВ в вертикально- (или горизонтально-) проектируюшую плоскость и, которая пересекает поверхность призмы по четырех>тольипху. На пересечении горизонтальных проекций полученного четырехугольника и заданной прямой нахадилз горизонтальные проекции (ш) и (л) искомых точек; зная их, находим вертикальные проекции (мЗ и (л') точек на прямой а'Ь'г В данном случае исхомые точки можно найти и не вводя плоскость К (почемут).
371 Пример 319 Найти точки пересечения поверхности пирамиды с прямой АВ (фиг. 997). Решение. Заключаем прямую АВ в горизонтально-просктирующую плоскость и, которая пересекает поверхность пирамиды па четырехугольнику. На пересечении вертикальных проекций полученного четырекугольннка и заданной прямой находим вертикальные проекции (м') и (и') искомых точек; зная нх, находим горизонтальные проекции (ю) и (л) зочек на прямой аЬ. Пример 320 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью пирамиды (фиг. 998). Решение.
Заключаем прямую АВ в профильную плоскость и, которая пересекаез поверхность пирамиды по треугольнику СОЯ. На пересечении профильных проекций полученного треугольника и заданной прямой находим профильные проекц>н> (аб) н (л") искомых точек; зная нх, находим точки гл и л на прямой лЬ н точки я>' и л' на прямой а'Ь'. Пример 321 Пайп> точки пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра (фиг. 999). Р е ш е н и е. Заключаем прямую АВ в горнзонтально-проектирующую плоскость Н, ко>прая пересекает пояерхнос>ь цилиндра по двум образующим.
На перессче>ши вергнкальных проекций з>их образующих и заданной прямой нахо;шм вер>пкальные проекшш (М) и (л') искомьш тачек. Зная точки и' п л', нахо.>лм >очки т н л на прямой аЬ (прямую АВ можно было заключи>ь н в верзикальпо-проектируюшую плоскость). 372 Флг. 999 Фиг. 1000 Пример 322 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью наклонного цилиндра (фиг. 1000). Р е ш е и и е.
Заключаем прямую АВ в плоскость и, параллельную оси пилиндра; для эхо~о задаем на прямой (аЬ, а'Ь) произвольную точку (с, с) и проводим через нее прямую (гА, с'л'), параллельную оси цилиндра. Эта плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми, пересекает поверхность цилиндра по двум образующим. Находим горизонтальные следы (Ь, Ь') и (Ь„Ь',) прямых (аЬ, а'Ь') и (сг(, охи) и проводим через точки Ь и Ь, горизонтальный след (и„) плоскости (вертикальныуг след плоскости для решенйя данной задачи не нужен (почему?)). Плоскость И пересекает основание цилиндра по хорде (!2„!'2'). Через точки (1, !') и (2, 2') проводим образующие цилиндра.
На пересечении вертикальных проекций этих образующих с вертикальной проекцией (а'Ь') заданной прямой находим вертикальные проекции (лу) и (л') искомых тачек. Зная точки лу и л', находим точки т и л на прямой аЬ. (Заключенна прямой АВ в горизонтально- и ~и вертикально-проектирующую плоскость усложнило бы решение задачи (почему?) ) Указалле.
В частном случае (когда?) вспомогательную плоскость, проходящую через прямую АВ, у до б н ее задать двумя прямыми, параллельными оси цилиндра. Пример 323 Пай~и точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (фиг. 1001). Роше н ие. Заданная прямая пересекает боковую поверхность конуса в единственной точке (т, л1). Заключаем прямую АВ в вертикально-проеатирующую плоскость и, проходящую через вершину Я конуса; эта плоскость пересекает поверхность конуса по двум прямым — образующим (на эпюре показана только одна образу|ощая).
На пересечении горизонтальных проекций прямых — заданной и найденной — нахолилг горизонтальную проекцию (т) искомой точки. Зная точку лс находим точку лг, совпадающую с вертикальной проекцией (а'ь') заданной прямой (почему?). 373 Фнг. 1002 Прил~ар 324 Найти точки пересечения прямоп АВ с поверхностью конуса (фиг. 1002). Решение. Заключаем прилитую АВ а плоскость и, параллельную плоскости В; плоскость и пересекает поверхность конуса ло окружности. На пересечении горизонтальных проекций найденной окружности и заданной прямой находим горизонтальные проекции (ги) и (я) искомых точек.
Зная точки ш и л, находим гочки лу и л' на прямой иЬ'. Прямую АВ можно было заключить и в горизонтально-проектируюш>ю плоскость, но зго з н а ч и т е л ь н о усложнило бы решение задачи (почему 2), Пример 325 Наггги точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (фиг. 1003).
Решение. Заключаем прямую АВ в профильную плоскость К, которая пересекает поверхность конуса по окружности. На пересечении профильных проекций найденной окру,кности и заданной прямой находим профильные проекции (и") и (и") искомых точек. Зная ах, находим горизонтальные и вертикальные проекции искомых точек на одноименных проекциях прямой (аЬ, а'Ь'). Пример 326 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью наклонного конуса (фиг.
1004). Решение. Заключаем прямую АВ в плоскость К, лроходяшую через вершину 5 конуса. Эта пчоскость, заданная прямой АВ и точкой 5, пересекает поверхность конуса по двум прямым — образующем. 374 Для того чтобы их найти, поступаем следующим образом. От задания вспомогательной плоскости прямой АВ н точкой Я переходим к заданию ео двумя пересекающимися прямыми АВ и 5С (точку С на прямой АВ берем произвольно]. Находим горизонтальные следы (Ь, Ь') и (Ь,„Ь;) прямых (еЬ, а'Ь') и (зс, з'с') и проводим через точки Ь и Ь, горизонтальный след (Вх) плоскости [вертикальный след плоскости для решешш данной задачи не нужен (почему?)).
Плоскость В пересекает основание конуса на корде ((2, В2'), а поверхность конуса по прямым— образующим (з), зсп) и (з2, з'2'). На пересечении вертикальных проекций этих образующих с вертикальной проекцией (а'Ь~ заданной прямой находим вертикальные проекции (м') и (л') искомых точек, Зная точки м' и и', находим точки м и и 375 Фиг. 1006 на прямой иЬ.
(Заклкзченис прямой ЛВ в горизонтально- илп вертикально-пооекзируюшую плоскость зиа ш!слыло услоипило бы рсшсиис задачи (почему?).) Укитгплы. В частном случае (ко!ла?) вспомогагсльпую плоскость, прололяшую через прямую ЛВ и !очку 5, удобнее задшь двумя прямымн, псресскшощимися в точке 5. Пример 327 Найти точки пересечения прямой ЛВ с поверхностью конуса (фиг.
!0()5). 1'с ш е и не. Звк:почнем прямую АВ в плоскость К, пролодяшую через вершину 5 конуса. Находим следы (Ь, Ь') и (г, е') прямой (аЬ, а'Ь') и проводим следы п юскосги: горизонтальный (Вм] — через точки Ь, з и вертикальный (К,.) — через точки й„с'. Находим гипппо нерсес ыния плоскости К с шюскостью основания конуса. Плоскость й пересекает основание конуса по хорде (12, 1'2'), а сто поверхность — по образующим (И, з'1') и (х2, У2'), На пересечении вертикальных проекций згих образуюших с вертикальной проекцией (а'Ь') заланпой прямой находим всрзикальныс проекции (ш) и (л) искомых точек. Зная томи лй и и', находим точки т и л нз прямой аЬ.
376 Пример 328 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара (Фиг 100б). Решение. Заключаем прямую АВ в плоскость К, параллельную плоскости Н, которая пересекает поверхность шара по окружности. На пересечении горизонтальных проекций найденной окружности н заданной прямой находим горизонтальпыс проекции (~н) н (и) искомых точек. Зная точки ш н а, находим точки лт и а' на прямой аЪ'. Пример 329 Найти точки пересечегпзя прямой АВ с поверхностью шара. Решение. Ь т'аособ совмещения (фиг. 1007). Зцключаелз прямую АВ в горизонтальиопроектнрующую плоскость и, которая пересекает поверхность шара по окружности радиуса г с центром в точке (с, с'). Для того чтобы избежать посз рое- Ь' нг. 377 Фиг.
1009 прямой Заключаем прямую (аЬ. а',Ь)) в плоскость К, парачлельную плоскости 10 плоскость )( пересекает шар па окружности, На пересечении вертикальных проекций прямой п окруя ности получаем точка т', и»'„. по ним находиьг нскомыс точки (т, т') и (л, »'). С»особ»сремеще»и» (фиг, 1009). Перемешаем заданную систему, например, параллельно горвзонтальнай плоскости проекций, и приводим ее в положение, когда прямая параллельна плоскости )'. Заключаем прямую (а,Ьь а',Ь',) в плоскость Я, параллельную плоскости Г; плоскость К пересегвет поверхность шара по окружности. На пересечении вертнкадьных проекций окружности и прямой находим точки т', и »',. По точкам »й я »', в обратном порядке находим точки ~»' н н' на прямой с'Ь', а па ним — точки т и » на прямой »Ь. Тачки (т, »У) и (», л')— искомые.
Пример 330 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью кольца (фиг. 1010). Р е ш е н и е. Заключаем прямую АВ в плоскость К. параллельную плоскости Г; плоскость й пересекает поверхность кольца па окружности. На пересеченяи вертикальных проекций окружности и заданной прямои находим вертикальные проекции (т') и (»') искомых точек.
Зная точки т' и»', находим точки т и» на прямой аЬ, (Прямую АВ можно было заключить и в вертикальна-проектируюшую плоскость, но это значительно усложнило бы решение задачи.) Прямер 331 Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью арап)ения (фнг. 1011). Решение. Заключаем прямую Ай в вертикально-проектируюшую плоскость Я и находим проекции линии пересечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
