Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Очевидно, , .

Комплексная огибающая представляет собой сумму двух медленно меняющихся слагаемых , поэтому исходный сигнал можно представить в виде

.

Колебание называется синфазной, а колебание – квадратурной составляющей (компонентой) узкополосного сигнала . Вместе эти две функции называются квадратурными компонентами.

Заметим, что

.

Аналогично

.

Для узкополосного сигнала вводится понятие мгновенной частоты. Эта частота (круговая) определяется, как производная полной фазы колебания

.

Тогда мгновенная частота

.

Преимущество модели аналитического сигнала состоит в том, что представляемый с ее помощью узкополосный сигнал описывается гармоническим колебанием, промодулированным медленно меняющимся сигналом. Такое описание является более экономным: в частности, дискретизация узкополосного сигнала может производиться с частотой, вдвое превышающей верхнюю частоту в спектре комплексной огибающей, а не самого сигнала. Например, если сигнал занимает полосу частот от 990 кГц до 1 МГц, то частота дискретизации огибающей должна быть 10 кГц, а частота дискретизации сигнала – 2 МГц. Требования к частоте дискретизации имеют жизненно важное значение при разработке систем, так как этим определяются сложность и стоимость системы, а иногда и ее реализуемость.

На практике часто вместо аналитического сигнала, имеющего комплексный характер (что не всегда удобно), используют представление узкополосного сигнала его квадратурными компонентами (вещественными медленно меняющимися функциями), которые получаются из сигнала при помощи схемы, показанной на Рис. 23.

Покажем, что приведенная схема действительно выделяет квадратурные компоненты. В соответствии с выражением

.

Аналогично

.

1. Комплексный случайный процесс

Представление, аналогичное аналитическому сигналу, существует и для случайных процессов. Оно особенно удобно для описания узкополосных случайных процессов. Узкополосные СП играют чрезвычайно важную роль в теории связи, так как они описывают модулированные сигналы, переносящие информацию, а также узкополосные помехи, практически всегда имеющие место в каналах связи.

Предположим, что на вход цепи, изображенной на рис. Рис. 18,б поступает стационарный в широком смысле случайный процесс со спектральной плотностью мощности . Поскольку АЧХ фильтра Гильберта тождественно равна 1, то СПМ сопряженного процесса , которую обозначим , равна . Значит, равны и автокорреляционные функции этих процессов:

= ;

.

Рассмотрим комплексный СП . Поскольку он формируется фильтром с КЧХ , то его СПМ должна быть равна

Согласно теореме Винера – Хинчина АКФ комплексного СП

.

Заметим, что в силу четности СПМ вещественного процесса его АКФ

.

Тогда

,

где по аналогии введено обозначение .

Вспомним, что для аналитического сигнала спектральная плотность является правосторонней (равна 0 при отрицательных частотах). Поскольку АКФ и СПМ также связаны парой преобразований Фурье, то, очевидно, правосторонней СПМ должна соответствовать АКФ, имеющая вид аналитического сигнала, причем её вещественная и мнимая части связаны парой преобразований Гильберта

.

Сравнивая и , видим, что – четная вещественная функция (это видно и из , т.к. это сумма косинусоид). Аналогично – вещественная нечетная функция, как сумма синусоид, каждая из которых сопряжена по Гильберту соответствующей косинусоиде в .

Запишем АКФ комплексного СП

.

Найдем слагаемые мнимой части:

.

Полученное выражение представляет функцию, сопряженную по Гильберту к АКФ исходного процесса.

.

Таким образом, слагаемые мнимой части отличаются только знаком; учитывая это, а также тот факт, что (см. ) , запишем на основании

.

Еще раз отметим, что вещественная часть АКФ комплексного СП является четной, а мнимая – нечетной функциями. В частности, отсюда следует, что случайные процессы. сопряженные по Гильберту, некоррелированны в совпадающие моменты времени (при ).

Все сказанное справедливо для любого комплексного случайного процесса (необязательно узкополосного). Если же процесс является узкополосным, то для него характерно наличие некоторой средней частоты и медленно меняющейся огибающей (комплексной).

Типичный вид мнимой и вещественной частей АКФ комплексного узкополосного СП приведен на Рис. 24. Характерными особенностями являются их колебательный характер, симметрия огибающих, а также одинаковая частота заполнения

Значительный практический интерес представляет вероятностное описание огибающей и фазы узкополосного случайного процесса (в частности, эта задача возникает при анализе процессов, протекающих в приемных устройствах при детектировании модулированных сигналов на фоне шума).

Предположим, что – гауссовский узкополосный СП с нулевым средним (это предположение обоснованно, так как случайный процесс на детекторе обычно представляет собой результат полосовой фильтрации входного широкополосного шума, при этом происходит его нормализация [7])/

В совпадающие моменты времени значения процессов и некоррелированны, следовательно, в силу гауссовости, и независимы. Кроме того, они имеют одинаковую дисперсию, поэтому можно записать совместную плотность распределения вероятностей отсчетов и процессов и :

.

Рассматривая и как декартовы координаты точки на плоскости, введем элементарную площадку , которая в полярных координатах выражается, как , где – длина радиуса, – угол. Вероятность того, что точка с координатами и попадает в элементарную площадку равна

,

где – совместная плотность распределения огибающей и начальной фазы комплексного случайного процесса в некоторый момент времени. Исходя из этого очевидного выражения, можно записать

(здесь – обратные функции, описывающие преобразование полярных координат в декартовы)

.

Из полученного выражения видно, что огибающая и начальная фаза в некоторый фиксированный момент времени представляют собой независимые случайные величины с плотностями распределения вероятностей

и

.

Плотность называется рэлеевской (Рис. 25, кривая 1), а начальная фаза имеет равномерное в интервале распределение.

Если случайный процесс имеет ненулевое математическое ожидание (что соответствует присутствию полезного сигнала), то плотность распределения огибающей становится более сложной и принимает вид обобщенного распределения Рэлея, или распределения Рэлея – Райса:

,

где – амплитуда сигнала, – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Обобщенное распределение Рэлея показано на Рис. 25, кривые 2, 3. ( ).

Распределение начальной фазы для этого случая не является равномерным; его точный вид достаточно сложен и здесь не рассматривается.

1. Принципы модуляции и демодуляции

Модуляция – это изменение одного или нескольких параметров колебания, называемого несущим колебанием (переносчиком), в соответствии с изменениями первичного (информационного) сигнала. При этом спектр (спектральная плотность) получаемого модулированного сигнала отличается от спектров как первичного сигнала, так и переносчика. Можно сказать, что такое изменение спектра является целью модуляции: например, речевой сигнал в системах телефонии занимает полосу частот от 300 до 3400 Гц и его непосредственная передача по каналу радиосвязи невозможна, т.к. размеры антенны, эффективно излучающей колебания столь низких частот, были бы слишком велики для практического применения. В результате амплитудной модуляции таким сигналом гармонического несущего колебания с частотой, например, 1 МГц, получается амплитудно-модулированный (АМ) сигнал, занимающий полосу частот от 996600 до 1003400 Гц, излучение которого не составляет проблемы.

Важно отметить, что при модуляции (а также демодуляции) происходит такое преобразование первичного сигнала, которое сопровождается появлением новых частотных составляющих, отсутствовавших в спектре исходного сигнала. Практически во всех случаях после такого обогащения спектра (ОС) производится частотная фильтрация (ЧФ) при помощи подходящей ЛИС-цепи для подавления ненужных или вредных спектральных составляющих, Рис. 26. Отсюда следует, что при помощи ЛИС-цепей модуляцию осуществить невозможно. То же относится к демодуляции¹².

Действительно, предположим, что на вход ЛИС-цепи поступает периодический сигнал . Действие ЛИС-цепи на комплексную экспоненту сводится к ее умножению на комплексное число, равное значению КЧХ цепи на частоте данной экспоненты. Ясно, что спектральные составляющие исходного сигнала могут исчезать в результате такой фильтрации, но не появляться, если их изначально не было. Очевидно, что и для непериодических сигналов справедливо то же самое. Обогащение спектра сигнала новыми частотами возможно при использовании нелинейных или линейных нестационарных (параметрических) цепей. Напомним, что нелинейными называются цепи, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Для линейных нестационарных цепей указанный принцип выполняется, однако оператор цепи зависит от времени, вследствие чего в спектре сигнала могут появляться новые частоты.

1. Воздействие гармонического колебания на параметрическую цепь

Простейшая линейная параметрическая цепь представляет собой активное сопротивление, меняющееся во времени по некоторому периодическому закону. Физически удобнее рассмотреть переменную проводимость , так что под воздействием напряжения через параметрический элемент протекает ток , Рис. 27,а. Проводимость можно трактовать, как переменную крутизну вольт-амперной характеристики параметрического элемента, Рис. 27,б.

Рассмотрим простейшую ситуацию, когда напряжение и крутизна изменяются по гармоническому закону с разными периодами

Характеристики

Список файлов книги