Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

.

Переходя от реализаций к процессам, можно записать

,

где – случайная функция частоты (тот же случайный процесс, представленный в другом «базисе»). Заметим, что из следует и далее .

Автокорреляционная функция процесса

.

Учитывая , запишем

.

Из последнего выражения следует, что отклик ЛИС-цепи на стационарный случайный процесс имеет спектральную плотность мощности, равную входной СПМ, умноженной на квадрат модуля КЧХ (то есть на квадрат АЧХ) цепи:

.

Это выражение описывает спектральный метод анализа ЛИС-цепей при случайных стационарных воздействиях.

Поскольку частотные функции в умножаются, то соответствующие временные функции взаимодействуют путем свертки

.

Спектральной плотности мощности входного процесса соответствует временнáя функция , а функцию, с которой она свёртывается, обозначим :

,

откуда

,

поэтому функцию можно назвать АКФ импульсной характеристики.

АКФ импульсной характеристики может быть измерена при помощи коррелометра, если на вход цепи подать белый шум с единичной спектральной плотностью мощности, т.к. при этом и .

Взаимно корреляционная функция входного и выходного процессов

.

характеризуется свойством

.

Анализ распределения шума на выходе цепи в общем случае весьма сложен, однако во многих случаях выходной процесс можно считать гауссовским. Это предположение оправдано, когда

1. Эффективная ширина спектра входного процесса намного шире, чем полоса пропускания цепи (при этом происходит нормализация процесса, так как интеграл Дюамеля можно приближенно представить суммой независимых «прошлых» отсчетов входного процесса с весовыми коэффициентами, равными соответствующим отсчетам импульсной характеристики, причем количество этих независимых отсчетов равно отношению длины ИХ к интервалу корреляции входного процесса, или, что то же самое, отношению полосы частот входного процесса к полосе пропускания цепи; согласно центральной предельной теореме Ляпунова распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением числа слагаемых).

2. На входе ЛИС-цепи гауссовский процесс, причем необязательно широкополосный (при этом значение выходного процесса равно сумме гауссовских случайных величин, которая имеет гауссово распределение независимо от числа слагаемых) .

1. Безынерционные нелинейные преобразования случайных процессов

Анализ многомерного распределения шума на выходе нелинейной цепи в общем случае представляет собой крайне сложную задачу, однако иногда рассматриваемая нелинейная цепь является безынерционной, то есть значение выходного процесса зависит только от значения входного процесса в этот же момент времени. Кроме того, во многих практически важных задачах можно ограничиться нахождением распределения только мгновенного значения случайного процесса, то есть его одномерного распределения. Таким образом, фактически при этом рассматривается нелинейное преобразование случайной величины, что представляет собой сравнительно простую задачу.

Нелинейная безынерционная цепь описывается характеристикой , указывающей зависимость мгновенного значения выходного процесса от мгновенного значения входного процесса . Предположим, что эта зависимость монотонна, Рис. 17,а. Обозначим одномерную ПРВ мгновенного значения входного процесса , а аналогичную функцию для выходного процесса – . Исходя из того, что вероятность попадания случайной величины с плотностью в бесконечно узкий интервал равна и при этом с такой же вероятностью случайная величина попадает в интервал , откуда следует, что при любом и соответствующем выполняется равенство

.

Формально отсюда следует равенство

,

но следует учесть, во-первых, что правая часть, как и левая, должна зависеть только от , и, во-вторых, что ПРВ не может быть отрицательной. С учетом сказанного можно записать

,

где – функция, обратная по отношению к характеристике нелинейной безынерционной цепи.

Если характеристика цепи не является монотонной и содержит участков монотонности, Рис. 17,б ( ), то формула приобретает вид

,

где – функция, обратная к характеристике нелинейности на -м участке монотонности.

1. Аналитический сигнал

В теории электрических цепей используется метод представления гармонических колебаний комплексными векторами (метод комплексных амплитуд), состоящий в том, что колебание рассматривается как вещественная часть комплексной функции . Аналогичное представление можно ввести для сигнала произвольной формы

,

при этом аналитический сигнал , где мнимая часть должна однозначно определяться исходным сигналом .

Заметим, что для гармонического колебания справедливо

,

то есть переход от гармонического колебания к его комплексному представлению сводится к отбрасыванию составляющей с отрицательной частотой и умножению оставшегося слагаемого на 2. Поскольку колебание произвольной формы можно представить суперпозицией гармонических колебаний, следовательно, для любого сигнала такой переход должен сводиться к тем же операциям.

Таким образом, преобразование произвольного сигнала в комплексный сигнал эквивалентно его прохождению через ЛИС-цепь с комплексной частотной характеристикой, Рис. 18,а

.

Поскольку вещественная часть аналитического сигнала есть исходный сигнал , то это преобразование реализуется схемой Рис. 18,б.

Перейдя к спектральному представлению сигналов , видим, что для спектральных плотностей должны выполняться условия

которые можно переписать в форме

Таким образом, мнимая часть может быть получена воздействием сигнала на фильтр с характеристикой

.

АЧХ такого фильтра постоянна и равна 1 при всех значениях частоты, а его ФЧХ равна в области положительных частот и при отрицательных частотах.

Найдем импульсную характеристику этого фильтра, для чего представим АЧХ спадающей при увеличении модуля частоты экспоненциально с параметром и рассмотрим предел при :

,

Поскольку преобразуется в ЛИС-цепью, то можно записать свертку

, или

.

Сравнивая и , можно видеть, что , или

.

Выражения и представляют собой прямое и обратное преобразования Гильберта. Очевидно, эти преобразования линейны, поэтому можно рассматривать как интегральное представление сигнала спектральной плотностью относительно ядра и записать в виде

.

Прямое преобразование можно переписать в виде

,

откуда видно, что ядро является самосопряженным (т.к. ядра прямого и обратного преобразований являются комплексно сопряженными¹¹).

Напомним, что самосопряженное ядро является непрерывным аналогом ортонормального базиса, поэтому выполняется обобщенная формула Рэлея

1. ,

и, в частности равенство Парсеваля

1. .

Преобразование Гильберта, таким образом, сохраняет энергию сигнала (что естественно, поскольку фильтр Гильберта имеет АЧХ, тождественно равную 1). Более того, сохраняется и энергетический спектр сигнала, а значит, и АКФ:

1. ,

3. Если =const, то в силу нечетности функции .

4. Если вещественный сигнал, то и ортогональны. Действительно,

в соответствии с

_,

поскольку подынтегральное выражение представляет собой энергетический спектр сигнала, четный в силу его вещественности.

Запишем аналитический сигнал через обратное преобразование Фурье

.

Умножим обе части равенства на комплексную экспоненту :

.

Таким образом, умножение сигнала на эквивалентно сдвигу его спектральной плотности вправо на величину .

Далее рассматриваются узкополосные сигналы, для которых спектральная плотность аналитического сигнала в основном сосредоточена около некоторой центральной частоты , Рис. 20.

Тогда можно считать, что , где фаза складывается из линейно растущего со временем слагаемого и медленно меняющейся начальной фазы . Сдвинем спектральную плотность влево на величину , в качестве которой примем координату «центра тяжести», тогда получим сигнал

.

Поскольку , то можно считать гармоническим колебанием

с частотой , которое промодулировано комплексным колебанием . Поэтому называется комплексной огибающей. Комплексная огибающая имеет спектральную плотность , Рис. 21. Геометрическая интерпретация введенной комплексной огибающей приведена на Рис. 22.

Длина вектора комплексной огибающей и угол между ним и вещественной осью плоскости медленно меняются в соответствии с функциями и . Аналогичное представление аналитического сигнала отличается тем, что вектор дополнительно вращается против часовой стрелки со скоростью (круговой частотой) .

Характеристики

Список файлов книги