Васюков В.Н. - Теория электрическо связи - Часть 1. Теория сигналов (1275347), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Импульсная характеристика оптимального линейного устройства оценивания находится, как решение уравнения Винера – Хопфа.◄

1. Стационарные случайные процессы

В теории связи большую роль играют случайные процессы. Случайный процесс – это колебание, принимающее в любой момент времени значения, которые невозможно точно предсказать. Таким образом, можно понимать случайный процесс как упорядоченную последовательность случайных величин, следующих друг за другом в порядке возрастания некоторой переменной (времени). Перейти от описания случайной величины к описанию случайного процесса можно, рассматривая совместные распределения двух, трех и т.д. значений процесса в некоторые различные моменты времени. В частности, рассматривая процесс в временных сечениях, получаем -мерную совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ), определяемую выражением

.

Для -мерной ПРВ выполняется условия нормировки

.

Случайный процесс считается полностью определенным, если для любого можно записать его совместную ПРВ при любом выборе моментов времени . Следует отметить, что на практике эта ситуация встречается крайне редко⁹.

Случайный процесс можно также полностью охарактеризовать совокупностью всех смешанных начальных моментов

и смешанных центральных моментов

при всех целых неотрицательных и при любом . В эти выражения явно не входит время, а индексы обозначают номера временных сечений.

В общем случае моменты совместной ПРВ зависят от расположения сечений на оси времени и называются моментными функциями. Чаще всего используют второй смешанный центральный момент

,

называемый функцией автокорреляции или автокорреляционной функцией¹⁰ (АКФ).

Можно рассматривать совместно два случайных процесса и , которые в общем случае не являются независимыми в вероятностном смысле. Поэтому такое рассмотрение предполагает их совместное описание в виде совместной многомерной ПРВ, а также в виде совокупности всех моментов, в том числе смешанных. Наиболее часто используют второй смешанный центральный момент

,

называемый взаимно корреляционной функцией . И АКФ, и взаимно корреляционная функция (ВКФ), являются функциями двух переменных.

Среди всех случайных процессов выделяют СП, для которых совместная -мерная ПРВ не изменяется при одновременном сдвиге всех моментов времени на одну и ту же величину . Такие процессы называются стационарными в узком смысле.

Чаще всего на практике ограничивают рассмотрение случайными процессами с ослабленным условием стационарности. СП называется стационарным в широком смысле, если при одновременном сдвиге сечений не изменяются его моменты не выше второго порядка. Практически это означает, что СП стационарен в широком смысле, если он имеет постоянные среднее (математическое ожидание) и дисперсию, а АКФ зависит только от разности моментов времени, но не от их положения на временнóй оси:

1. ,

2. ,

3. .

Заметим, что .

Нетрудно видеть, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле. Обратное вообще неверно, хотя существуют процессы, для которых стационарность в широком смысле означает и стационарность в узком смысле.

Пример 28. Совместная -мерная ПРВ отсчетов гауссовского процесса, взятых в моменты времени , имеет вид

,

где – определитель квадратной матрицы, составленной из попарных коэффициентов корреляции отсчетов, – алгебраическое дополнение элемента этой матрицы.

Как видно из этого выражения, совместная ПРВ полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции отсчетов. Таким образом, зная момента не выше второго порядка, при любом можно записать совместную ПРВ. Если процесс стационарен в широком смысле, то все математические ожидания одинаковы, все дисперсии (а значит, СКО) равны друг другу, а коэффициенты корреляции определяются только тем, насколько моменты времени отстоят друг от друга. Тогда, очевидно, ПРВ не изменится, если все моменты сдвинуть влево или вправо на одну и ту же величину. Отсюда следует, что гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, стационарен и в узком смысле (строго стационарен). ◄

1. Корреляционно-спектральная теория случайных процессов

Точное решение задач, связанных с анализом случайных процессов и их воздействия на ЛИС-цепи, сопряжено с большими трудностями, так как предполагает отыскание совместной -мерной ПРВ для выходного процесса. Значительно проще решается задача анализа, если интересоваться только моментными характеристиками первого и второго порядка, которые определяют свойство стационарности в широком смысле. Учитывая, что большинство реально наблюдаемых процессов удовлетворительно описываются гауссовой моделью, а гауссовские процессы полностью определяются моментными характеристиками не выше второго порядка, во многих случаях ограничиваются анализом на уровне математических ожиданий (средних) и корреляционных функций.

Рассмотрим вещественный стационарный случайный процесс с нулевым средним. Его реализация, как детерминированная функция, может быть представлена обратным преобразованием Фурье

,

где – её спектральная плотность. Тогда случайный процесс также можно записать в виде

,

где – также случайный процесс (в соответствии с природой преобразования Фурье – это тот же процесс, представленный в другом «базисе»). Выясним, что это за процесс.

Поскольку – случайный процесс с нулевым средним, то также имеет нулевое среднее:

.

Автокорреляционная функция процесса

.

Последнее равенство записано на том основании, что АКФ не зависит от переменной , а это может быть только при том условии, что , т.е.

.

С учетом стробирующего свойства -функции можно записать

,

а следовательно,

.

Выражения – составляют запись теоремы Винера – Хинчина.

При из выражения следует

,

а поскольку – мощность случайного процесса (с нулевым средним), то функция называется спектральной плотностью мощности (СПМ). Очевидно, СПМ – неотрицательная функция. Если процесс имеет ненулевое математическое ожидание , то к СПМ добавляется слагаемое .

Для вещественного процесса АКФ четная вещественная функция, тогда СПМ – тоже четная вещественная. Поэтому иногда используется односторонняя СПМ:

.

Очевидно, .

Иногда нет необходимости знать точный вид АКФ и СПМ, и можно ограничиться числовыми характеристиками, в роли которых выступают интервал корреляции и эффективная ширина спектра. Интервал корреляции определяют по-разному, в частности, известны следующие определения.

1. Интервалом корреляции считают абсциссу первого перехода АКФ через нуль, Рис. 15,а.

2. Если АКФ не пересекает ось абсцисс, то первое определение не годится. Тогда можно определить интервал корреляции, как такое значение , при котором АКФ спадает до заданного уровня, например, до 1/10 максимального значения, Рис. 15,б.

3. Интервалом корреляции считают ширину основания прямоугольника, имеющего площадь, равную площади под АКФ, Рис. 15,в.

Эффективную ширину спектра определяют по спектральной плотности мощности способами, показанными на рис. Рис. 15,б и Рис. 15,в. Способ (а) неприменим ввиду неотрицательности СПМ.

Очень часто используют следующие две модели стационарных случайных процессов.

Пример 29. Белый шум. Так называется ССП, имеющий АКФ вида

.

Очевидно, в этом случае СПМ постоянна на всех частотах от до

.

(Выбрано обозначение для двусторонней СПМ; односторонняя тогда будет равна ).

Легко видеть, что никакой реальный случайный процесс не может быть белым шумом, т.к. белый шум имеет бесконечную дисперсию (мощность). Однако эта модель чрезвычайно удобна в анализе вследствие -образности АКФ.◄

Пример 30. Квазибелый шум (шум, белый в ограниченной полосе частот от до ), Рис. 16,а. Такой процесс имеет СПМ вида

АКФ квазибелого шума согласно теореме Винера – Хинчина имеет вид

,

показанную на Рис. 16,б. Интервал корреляции, определяемый по пересечению нулевой линии, равен .◄

1. Воздействие ССП на ЛИС-цепи

Рассматривая воздействие стационарного случайного процесса на ЛИС-цепь в рамках корреляционно-спектральной теории, можно интересоваться только моментами не выше второго порядка. Отсюда следует, что при воздействии ССП на ЛИС-цепь с КЧХ и импульсной характеристикой можно ставить задачу найти среднее и АКФ выходного процесса , а также взаимно корреляционной функции процессов и .

Пусть на вход цепи с КЧХ воздействует стационарный ( здесь и далее – в широком смысле) процесс с АКФ . Среднее процесса постоянно в силу предположения о стационарности, поэтому его прохождение через цепь описывается умножением на . В дальнейшем считаем, что среднее равно 0 (т.к. в силу принципа суперпозиции можно отдельно рассматривать отклики на среднее и флюктуационную составляющую, т.е. центрированный процесс).

Каждая реализация процесса получается сверткой реализации процесса с импульсной характеристикой ЛИС-цепи, или, что то же, обратным преобразованием Фурье произведения КЧХ цепи на спектральную плотность входной реализации

.

Характеристики

Список файлов книги