ОТЦ лекции (1274753), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е., как и в случае LC-двухполюсников, справедливо разделительное свойство (нули и полюсы ZRC(p) и YRC(p) чередуются на вещественной оси), на-Основы теории цепей. Конспект лекций-389-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства входных функций RC-двухполюсниковклон графика входного сопротивления всегда отрицательный, а входной проводимости − положительный (рис. 38.1).YRC(p)ZRC(p)Z(0)0 σZ(∞)Y(0)Y(∞)а0σбРис. 38.1Обобщенную функцию сопротивления RC-цепи можно записать в видеZ RC ( p ) = H( p + σ2 )( p + σ4 )…( p + σn ) =( p + σ1 ) ( p + σ3 )…( p + σm )p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0,=H mp + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0где 0 ≤ σ1 < σ2 < σ3..., m = n или n = m – 1.Разложение ZRC(p) на простые дроби даетmk0kkZ RC ( p ) = + ∑+H,p k =1,3,5...
p + σ kгде k0 − вычет в полюсе p = 0;k0 = lim ⎡⎣ pZ RC ( p ) ⎤⎦ , H = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ⎤⎦ .p →0p →∞Вещественные положительные вычеты:kk = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ( p + σk ) ⎤⎦ .p →−σkОсновы теории цепей. Конспект лекций-390-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства входных функций RC-двухполюсниковИз полученного разложения ZRC(p) следует, что⎧∞Z RC ( 0 ) = ⎨ , Z RC ( ∞ ) = H ,⎩Rmkk, т.е.
Z RC ( 0 ) ≥ Z RC ( ∞ ) .k =1,3,5... σ kБлижайшая к началу координат критическая частота является полюсомфункции ZRC(p) (полюс может быть при p = 0).Ближайшая к бесконечности критическая частота является нулемфункции ZRC(p) (нуль может быть при p = ∞).Простейшая составляющая Zk = kk/(p + σk) представляет собой параллельное соединение двух ветвей.Действительно,где R = H +∑Yk =1p + σkp σ== + k,Zkkkkk kkYk = pCk +k11, Ck = , Rk = k .RkkkσkТаким образом, получаем схему Фостера первого типа (рис.
38.2).C1 =C0 =1k01k1Cm =1kmR=HZRC(p)R1 =k1σ1Rm =kmσmРис. 38.2Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников.Пример 1. Реализовать двухполюсник первой схемой Фостера пофункции входного сопротивленияОсновы теории цепей. Конспект лекций-391-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации входных функций RC-двухполюсниковZ ( p) =()( p + 5 ⋅10 ) .( p + 2 ⋅10 )( p + 4 ⋅10 )103 p + 3 ⋅ 103333Решение. Нули Z(p) при σ2 = –3·103, σ4 = –5·103, полюсы приσ1 = –2·103, σ3 = –4·103.ZRC(σ)Z(∞)3Z(0)σ03–4 · 10–2 · 10Рис. 38.3C1C3R=НZRC(σ)R3Рис. 38.4Зависимость ZRC(σ) показана на рис. 38.3.Поскольку нет полюса Z(p) при p = 0, то k0 = 0,()()(⎡103 p + 3 ⋅ 103 p + 5 ⋅ 103H = R = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ⎤⎦ = lim ⎢p →∞p →∞ ⎢p + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 103⎣()) ⎤⎥ = 10 Ом .3⎥⎦Разложение Z(p) на простые дроби даетZ ( p) = H +k1k3+,p + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 103Основы теории цепей.
Конспект лекций-392-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации входных функций RC-двухполюсниковгде()()k1 = lim 3 ⎡ Z ( p ) p + 2 ⋅ 103 ⎤ = 1,5 ⋅ 106 ,⎦p →−2⋅10 ⎣k3 = lim 3 ⎡ Z ( p ) p + 4 ⋅ 103 ⎤ = 0,5 ⋅ 106.⎣⎦p →−410⋅Соответствующая разложению Z(p) первая схема Фостера представленана рис. 38.4.Определим элементы цепиC1 =11= 0,667 ⋅ 10−6 Ф, C3 = = 2 ⋅ 10−6 Ф,k1k3k3 0,5 ⋅ 106k1 1,5 ⋅ 106R3 === 125 Ом, R1 = == 750 Ом.σ3σ1 2 ⋅ 1034 ⋅ 103Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дробифункции входной проводимости YRC(p).
Из характера кривой YRC(σ) (рис. 38.1, б)видно, что ближайшей к началу координат критической точкой является нуль(нуль может быть и при p = 0), кроме того, YRC(0)p ≤ YRC(∞).Если разлагать на простые дроби непосредственно YRC(p), то получаются отрицательные вычеты, что является специфическим свойством функцииYRC(p).Чтобы получить простые дроби с положительными вычетами, следуетразлагать функцию YRC(p)/p, степень числителя которой равна или на единицу меньше степени знаменателя.mYRC ( p ) k0kk= + ∑+H.pp k =2,4,6... p + σkУмножив обе части разложения на p, получимYRC ( p ) = k0 +mkk p+ H ⋅ p,k = 2,4,6...
p + σ k∑⎡Y ( p )( p + σ k ) ⎤⎡Y ( p ) ⎤где k0 = YRC ( 0 ) , H = lim ⎢ RC, kk = lim ⎢ RC⎥.⎥p →∞p →−σ kpp⎣⎦⎣⎦Очевидно, k0 = 1/R0 − постоянная проводимость; H·p − величина, характеризующая полюс при p = ∞, H = C.Основы теории цепей. Конспект лекций-393-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации входных функций RC-двухполюсниковПростейшая составляющая Yk =kk pпредставляет собой последоваp + σkтельное соединение Rk и Ck.Действительно,Zk =σ1 p + σk 11k== + k , Rk = , Ck = k .σkYkkk pkk kk pkkR1RmCY(p) R0C1CmРис. 38.5Таким образом, вторая схема Фостера имеет вид, представленный нарис.
38.5.При реализации RC-цепей применяется также и метод разложениявходной функции в цепную дробь. Деление начиная со старших степенейприменяется для функций входного сопротивления, имеющего одинаковыестепени числителя и знаменателя.Если степень числителя ZRC(p) меньше степени знаменателя, то в схемеКауэра первого типа отсутствует сопротивление R1 и реализацию цепи следует начинать с обратной величины YRC(p) =1/ZRC(p).Цепь Кауэра второго типа получается при делении начиная с младшихстепеней выражения YRC с одинаковыми показателями степеней числителя изнаменателя, а также к функции, обратной входной проводимости, если степень числителя входной проводимости больше степени знаменателя.Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников.Функция входного сопротивления RL-двухполюсниковZ RL ( p ) = F0 + pT0 = F0 + ( σ + jω) T0 .Z RL ( p ) = F0 + F0σ + jωT0 = R ( σ, ω) + jX ( σ, ω) .Пользуясь одним из условий Коши – Римана, получимОсновы теории цепей.
Конспект лекций-394-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций RL-двухполюсников∂R ∂X ∂Z RL ( σ )=== T0 > 0 .∂σ ∂ω∂σ ω=0Аналогично для проводимостиYRL ( p ) =1Z RL ( p ), YRC ( σ, ω) = g ( σ, ω) − jb ( σ, ω) ,∂YRL ( σ )∂bT0==−< 0,∂σ ω=0 ∂ω ω=0F0 + σT0YRL ( σ, ω) = g ( σ, ω) + jb ( σ, ω) .F0− вещественные и отрицательные, следоваT0тельно, нули и полюсы входных функций RL-цепей лежат на отрицательнойвещественной полуоси и, учитывая, что наклон графиков ZRL(σ) всегда положительный, а YRL(σ) − отрицательный, можно утверждать справедливостьразделительного чередования нулей и полюсов.Типичные зависимости ZRL(p) и YRL(σ) аналогичны зависимостям YRC(σ)и ZRC(σ), приведенным на рис. 38.1.
Очевидно, что функция входного сопротивление RL-цепи может иметь полюс при p = ∞, выделение которого даетиндуктивность и не может иметь полюс при p = 0, поскольку выделение егодало бы емкость. Таким образом, ZRL(p) имеет степень числителя, равную илина единицу большую степени знаменателя.Аналогично, функция входной проводимости может иметь степеньчислителя, равную или на единицу меньшую степени знаменателя.
Следуеттакже отметить, что критическая точка, ближайшая к началу координатфункции ZRL(p), является нулем, а YRL(p) − полюсом, и наоборот, ближайшаяк бесконечности критическая точка ZRL(p) является полюсом, а YRL(p) − нулем. Кроме того, ZRL(∞) ≥ ZRL(0), YRL(∞) ≤ YRL(0).Обобщенные формы функций ZRL(p) и YRL(p) имеют вид, аналогичныйфункциям YRC(p) и ZRC(p), следовательно, методы синтеза RL-двухполюсников полностью аналогичны методам синтеза RC-двухполюсников.Выражение для входной проводимости ZRL(p) и разложение его на простые дроби аналогично разложению ZRC(p):Нули ZRL(p) при p = −YRL ( p ) =mk0kk+ ∑+H.p k =1,3,5...
p + σ kОсновы теории цепей. Конспект лекций-395-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций RL-двухполюсниковСоответствующая данному разложению вторая схема Фостера приведена на рис. 38.6.RmR1YRL(p)H=1RL0 =LmL11k0Рис. 38.6k0 = lim ⎡⎣ pYRL ( p ) ⎤⎦ , H = lim ⎡⎣YRL ( p ) ⎤⎦ .p →0p →∞Вещественные положительные вычетыkk = lim ⎡⎣YRL ( p ) ( p + σ k ) ⎤⎦ .p →−σk1kk=представляет собой послеZ k p + σk1σи Rk = k .довательное соединение Lk =kkkkp + σk p σk+= pLk + Rk .Действительно, Z k =kk kk kkПервую схему Фостера можно получить разложением на простые дроби функции ZRL(p)/p, которое аналогично разложению функции YRC(p)/p:Простейшая составляющая Yk =Z RL ( p ) = k0 +mkk p+ H ⋅ p,p+σk = 2,4,6...k∑⎡ Z RL ( p ) ( p + σ k ) ⎤⎡ Z ( p) ⎤где k0 = Z RL ( 0 ) , H = lim ⎢ RL,limk=⎢⎥.k⎥p →∞p →−σkp⎣ p ⎦⎣⎦Очевидно, k0 = R0 = ZRL(0) − постоянное сопротивление: H·p = L·p − величина, характеризующая полюс при p = ∞.k pпредставляет собой параллельПростейшая составляющая Z k = kp + σkное соединение Rk и Lk.Действительно,Основы теории цепей.
Конспект лекций-396-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций RL-двухполюсниковYk =1p + σk 1σk== + k , Rk = kk , Lk = k .Zkkk pkk kk pσkТаким образом, первая схема Фостера имеет вид (рис. 38.7).LmL=HZRL(p)R0 = k0R2RmРис. 38.7Реализация лестничных цепей Кауэра первого и второго типа аналогична реализации RC-цепей, если поменять местами функции ZRL(p) и YRC(p).Для получения схемы Кауэра первого типа осуществляют последовательное деление начиная со старших степеней функции ZRL(p), степень числителя которой на единицу больше степени знаменателя, а также функцииYRL(p), имеющей одинаковые степени числителя и знаменателя.Для получения схемы Кауэра второго типа осуществляют поочередноеделение начиная с младших степеней функции ZRL(p) с одинаковыми степенями числителя и знаменателя, а также функции YRL(p), степень числителякоторой меньше степени знаменателя.Контрольные вопросы1.
Где на комплексной плоскости лежат нули и полюсы входныхфункций RC-цепей?2. Чем является ближайшая к началу координат критическая частотавходных функций RC-цепей?3. Чем является ближайшая к началу координат критическая частотавходных функций RL-цепей?Основы теории цепей. Конспект лекций-397-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
