ОТЦ лекции (1274753), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е.E11 ( p ) = E1 ( p ) , E22 ( p ) = E33 ( p ) = … = Enn ( p ) = 0.Δ11 ( p )E1 ( p ) , где Δ11(p) – алгебраическое дополнение,Δ( p)полученное из определителя Δ(p) вычеркиванием первой строки и первогостолбца.Δ( p)Δ ( p)Следовательно, Z ( p ) =, а Y ( p ) = 11.Δ11 ( p )Δ( p)Раскрывая определители Δ(p) и Δ11(p), получим входные функции Z(p)и Y(p) как отношение двух полиномов с целыми степенями р и вещественными коэффициентами:Тогда I1 ( p ) =Основы теории цепей. Конспект лекций-358-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙСвойства входных функций пассивных цепей1an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 M ( p )==.Z ( p) =mm −1bm p + bm−1 p + … + b1 p + b0 N ( p ) Y ( p )Корни полинома pk′ М(р) являются нулями, а корни pk полинома N(p) –полюсами функции Z(p).
Представляя числитель и знаменатель в виде произведения двучленов, можно записать Z(p) через нули и плюсы:n∏an ( p − p1′ )( p − p2′ )…( p − pn′ )= H ⋅ km=1Z ( p) =bm ( p − p1 )( p − p2 )…( p − pm )( p − pk′ )∏ ( p − pk ),k =1an– коэффициент нормирования.bmИз этого выражения следует, что функция цепи имеет полюсы при p = p1,p = p2, ..., p = pm.
Все они являются простыми при условии p1 ≠ p2 ≠ ... ≠ pm.Если k полюсов равны между собой, тогда это полюс k-го порядка(кратности).Функция цепи имеет нули при p = p1′ , p = p2′ , ..., p = pn′ . Они являютсяпростыми, если p1′ ≠ p2′ ≠ ... ≠ pn′ , если же k из нулей равны между собой, тотакой нуль имеет порядок k.Следует отметить, что функция цепи определяется полностью и однозначно расположением и порядком ее полюсов и нулей и величиной коэффициента Н.При рассмотрении гармонических процессов p = σ + jω заменяется наjω, и тогда получим Z(jω) и Y(jω) – частотные характеристики.Как и всякое комплексное число, Z(jω) и Y(jω) могут быть представлены в показательной форме:где H =Z(jω) = Z(ω)ejφ(ω), Y(jω) = Y(ω)e–jφ(ω),где Z(ω) и Y(ω) – амплитудно-частотные характеристики; φ(ω) – фазочастотная характеристика.В этом случае нули и полюсы функций Z(ω) и Y(ω) представляют собойсобственные частоты при замкнутых и разомкнутых зажимах.Основы теории цепей.
Конспект лекций-359-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙЭнергетические функции цепи.Если умножить каждое из уравнений системы контурных токов на со∗пряженный ток I k , то для k-го контура получимn∗∗1 n 1RII+pLII+II=EIkkk∑ ki i∑ ki i p ∑ C ki ikk k .i =1i =1i =1Просуммировав левые и правые части n уравнений, получимnn∗n∗n∗∗1 n n 1∑∑ Rki Ii I k + p∑∑ Lki Ii I k + p ∑∑ C ki Ii I k = ∑ Ekk I k .k =1 i =1k =1 i =1k =1 i =1k =1∗nn∗Правая часть последнего уравнения представляет собой полную мощность, отдаваемую источниками.Обозначив выраженияnn∗F0 = ∑∑ Rki I i I k ,k =1 i =1nn∗T0 = ∑∑ Lki I i I k ,k =1 i =1nn∗1Ii I k ,k =1 i =1 C kiV0 = ∑∑последнее уравнение можно записать в видеF0 + pT0 +1V0 = S ,pгде F0, T0, V0 – энергетические функции.В установившемся синусоидальном режиме (p = jω) правая часть этихуравнений представляет комплексную мощность, отдаваемую источниками.Энергетическая функция F0 приобретает значение удвоенной мощно⎛RI 2 ⎞сти потерь в сопротивлениях ⎜ F0 = 2⎟.2⎝⎠Основы теории цепей.
Конспект лекций-360-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙЭнергетические функции цепиT0 – удвоенное значение энергии, запасаемой в индуктивностях⎛⎞LI 2= 2WL ⎟ .⎜ T0 = 22⎝⎠V0 – умноженное на ω2 удвоенное значение энергии, запасаемой в ем2⎛⎞I22 CU= 2ω= 2ω2WC ⎟ .костях ⎜ V0 =2C⎝⎠Таким образом, последние уравнения выражают баланс мощностей вцепи – в левой части имеем активную и реактивную мощность, потребляемую цепью, в правой – полную мощность, отдаваемую источникамиV ⎞⎛F0 + jω ⎜ T0 − 02 ⎟ = S .ω ⎠⎝Из физического смысла энергетических функций следует, что они могут принимать только вещественные положительные значения F0, T0, V0 ≥ 0.Для пассивного двухполюсника матрицы (E) и (I) содержат по одномуэлементу Е(р) и I(p). Тогда уравнение баланса мощностей принимает видF0 + pT0 +∗V0= EI.p∗2Если разделить обе части этого уравнения на I ⋅ I = I , то получимF0 + pT0 +I2V0p∗=E⋅I∗I ⋅I=E ( p)= Z ( p) .I ( p)Деление на |I|2 можно считать нормированием.
При возбуждении двухполюсника током |I| = 1⎛V ⎞Z ( p ) = ⎜ F0 + pT0 + 0 ⎟.p ⎠ I 2 =1⎝Поскольку F0, T0, V0 – вещественные неотрицательные при всех возможных р, |I|2 положительна, то:а) Z(p) вещественно при вещественном р.Основы теории цепей. Конспект лекций-361-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙЭнергетические функции цепиДействительно,Re Z ( p ) = F0 + T0 Re p + V0 Re1=p∗⎛∗⎞= F0 + T0 Re p + 2 Re p, ⎜ p = σ − jω, Re p = Re p ⎟ ;⎝⎠pV0∗б) ReZ(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0.Аналогично для Y(p) = 1/Z(p):а) Y(p) вещественна при вещественном р,б) ReY(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0.Действительно,Y ( p) ==111===Z ( p ) Z ( σ + jω) R ( σ, ω) + jX ( σ, ω)R ( σ, ω)X ( σ, ω)−j.R 2 ( σ, ω) + X 2 ( σ, ω)R 2 ( σ, ω) + X 2 ( σ, ω)По определению, R(σ,ω) ≥ 0 при σ > 0, поэтому ReY(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0.Функции, удовлетворяющие требованиям пп.
(а) и (б), называются положительными вещественными функциями (ПВФ).Таким образом, входные функции пассивных двухполюсников положительны и вещественны.Нулями функций двухполюсника являются значения р, при которых2⎛ F ⎞ VFp1,2 = − 0 ± ⎜ 0 ⎟ − 0 .2T0⎝ 2T0 ⎠ T0Из этого выражения нельзя непосредственно получить значения p1,2,так как F0, T0, V0 сами являются функциями р.
Однако можно сделать следующие выводы.1. Так как F0, T0, V0 – вещественные неотрицательные, то из выражения для p1,2 следует, что все нули Z(p) расположены в левой полуплоскости(рис. 36.2).V2. Для двухполюсников без потерь (LC-цепей) F0 = 0 и p1,2 = ± j 0 ,T0т. е.
все нули расположены на мнимой оси (границе левой полуплоскости)(рис. 36.2, а).VZ(p) = 0, откуда Z ( p ) = F0 + pT0 + 0 = 0 иpОсновы теории цепей. Конспект лекций-362-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙЭнергетические функции цепиImImImImр1р1p=Re0F0T0p=0ReV0F0Re0Reр2р2а0бвгРис. 36.2V0,T0т. е. все нули расположены на мнимой оси (границе левой полуплоскости)(рис. 36.2, а).F4.
Для RL-цепей V0 = 0 и p = − 0 все нули лежат на отрицательнойT0вещественной оси (рис. 36.2, б).V5. Для RС-цепей T0 = 0 и p = − 0 и все нули также лежат на отрицаF0тельной вещественной оси (рис. 36.2, в).3. Для двухполюсников без потерь (LC-цепей) F0 = 0 и p1,2 = ± jКритерии реализуемости двухполюсникапо заданной входной функции.Выше было показано, что входные функции цепи являются положительными вещественными функциями, следовательно, можно утверждать,что если какая-либо функция имеет подобные свойства, то она может бытьреализована в качестве входной функции пассивного двухполюсника.Для проверки функций используют ряд критериев, основанных насвойствах положительных вещественных функций и связанных:а) с внешним видом функции;б) с расположением нулей и полюсов;в) со свойствами полюсов на мнимой оси и вычетов в них;г) с поведением вещественной части функции.Критерии приведены в порядке возрастающей сложности проверки.Если в последовательном процессе проверки функция не удовлетворяет хотяОсновы теории цепей.
Конспект лекций-363-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функциибы одному из критериев, то проверку следует прекратить, поскольку функция уже не является положительной вещественной.Проверка по внешнему виду функции. Поскольку рациональнаяфункция F(p) видаan p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 M ( p )=F ( p) =bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 N ( p )должна принимать вещественные значения при вещественном Р, то все коэффициенты an, an–1, ... a0, bm, bm–1, ... b0 должны быть вещественными.Выше было показано, что F(p) (Z(p) или Y(p) представляют собой отношение определителей, порядок которых отличается не более чем на единицу.
Следовательно, высшие степени полиномов M(p) и N(p) так же, как и ихнизшие степени, не могут отличаться более чем на единицу.Действительно, при неограниченном возрастании частоты: ω → ∞(p → ∞) пассивный двухполюсник ведет себя либо как эквивалентная индук1, либотивность, т.
е. Z(p) → pL, либо как эквивалентная емкость Z ( p ) →pCкак сопротивление Z(p) → R.aС другой стороны, F ( p ) = Z ( p ) → n p n−m при p → ∞.bmСледовательно, случай Z(p) → pL соответствует n – m = 1, случай1m – n = 1 и случай Z(p) → R соответствует m = n.Z ( p) →pCВыше было показано, что все нули и полюсы входных функций лежат влевой полуплоскости, т. е. в M(p) и N(p) допустимы сомножители типа(p + α), (p + α ± jβ) или p 2 + α k2 , где α, β, αk неотрицательны. Отсюда следу-()ет, что все коэффициенты an, an–1, ... a0, bm, bm–1, ... b0 должны быть неотрицательны. Кроме того, при перемножении указанных сомножителей никакиечлены не могут быть исключены путем вычитания, а значит, в полиномахM(p) и N(p) никакие степени не могут быть пропущены между высшей инизшей степенями, кроме случая, когда отсутствуют все четные или все нечетные степени (LC-цепи).Условие положительности и вещественности коэффициентов полиномов является необходимым, но не достаточным, чтобы функция F(p) былаположительной вещественной.
Необходимо также, чтобы нули функций M(p)и N(p) лежали в левой полуплоскости (в крайнем случае, на мнимой оси).Основы теории цепей. Конспект лекций-364-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функцииПолиномы с вещественными коэффициентами, все нули которых находятся в левой полуплоскости, называются строгими полиномами Гурвица.Если полином имеет простые нули на мнимой оси, то он называется модифицированным полиномом Гурвица. Таким образом, положительная вещественная функция должна представлять собой отношение полиномов Гурвица.Для того чтобы установить, является ли заданный полином полиномом Гурвица, существует несколько критериев, например, Рауса, Найквиста. Чащевсего используется критерий Гурвица.Пусть полином L(p) является числителем или знаменателем функцииF(p).
Представим L(p) в виде суммы двух частей: L(p) = m(p) + n(p), где m(p) –четная часть от L(p) содержащая все четные степени p: p0, p2, p4, ..., а n(p) −нечетная часть от L(p) со всеми нечетными степенями p: p, p3, p5, ... Показано[5], что полином L(p) является полиномом Гурвица, если при разложении отношения его четной части к нечетной (или обратное ему со старшей степенью в числителе) в цепную дробь получаются только положительные коэффициенты.Пример 1. Проверить, является ли полиномL(p) = 36p5 + 12p4 + 48p3 + 10p2 + 15p + 1полиномом Гурвица.Решение. Образуем отношение нечетной части полинома к четной, поскольку старшая степень нечетная.36 p 5 + 48 p 3 + 15 p n ( p )ψ( p) ==.m( p)12 p 4 + 10 p 2 + 1Проведем один шаг деления числителя на знаменатель:36 p 5 + 48 p 3 + 15 p(− 36 p 5 + 30 p 3 + 3 p)12 p 4 + 10 p 2 + 13p.18p 3 + 12 pψ ( p ) = C0 +n1 ( p )18 p 3 + 12 p= 3p +, C0 > 0 .m( p)12 p 4 + 10 p 2 + 1m( p), степень числителя которойn1 ( p )выше степени знаменателя на единицу, и осуществим следующий шаг деления:Обозначим новую функцию ψ1 ( p ) =Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
