ОТЦ лекции (1274753), страница 38
Текст из файла (страница 38)
32.2).Umni (x, t )t1t1 =t6X5λ4λ3λ4t2t3λ2λ4t4Xt55λ4λ3λ4λ2Т,8Тt3 = t1 + ,43Т,t4 = t1 +8Тt5 = t1 + ,23Т.t6 = t1 +4t2 = t1 +0t5t6ψ,ωi (x, t )U mnρt1 t2t4 λ40t3Рис. 32.1Основы теории цепей. Конспект лекций-315-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияttt3Т5Т 2Т 4U(x, t)X5λ4λ3λ4λ2ТТ 2043Т4λ4Рис. 32.24. Входное сопротивление разомкнутой линииZ BX =U ( x ) U H cos βx== − jρ ctg βx ,UHI ( x)sin βxjρт. е. входное сопротивление имеет только реактивную составляющую. Активная составляющая равна нулю, отсюда следует, что средняя мощность,отдаваемая генератором в линию, тоже равна нулю.График изменения величины входного сопротивления от длины линииприведен на рис.
32.3.Знак XBX меняется через четверть длины волны, в нечетных четвертяхXBX имеет емкостный характер, а в четных – индуктивный. В точкахλλX BX = nX = ( 2n + 1) сопротивление равно нулю, подобно сопротивле24нию последовательного колебательного контура без потерь. В точкахλX = n XBX принимает бесконечное значение, подобно сопротивлению иде2ального параллельного контура.В разомкнутой линии с потерями( )U ( x ) = U H ch kx , I ( x ) =Основы теории цепей. Конспект лекцийUHsh kxZB( )-316-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияЭти выражения неудобны для расчета и построения кривых распределения напряжения и тока, поскольку в них содержатся гиперболическиефункции комплексного аргумента.XВХXλ3λ4λ2λ40Рис.
32.3Для практических расчетов модулей напряжения и тока можно использовать формулы, которые несложно получить, если подставить выражениядля гиперболических косинуса и синуса суммы α + jβ в формулы для напряжения и тока:U ( x ) = U H ch ( α + jβ ) x = U H [ ch αx cos βx + j sh αx sin βx ] ,I ( x) =UHUsh ( α + jβ ) x = H [sh αx cos βx + j ch αx sin β x ].ZBZBС учетомch 2αx = ch 2 αx + sh 2 αx, cos 2βx = cos 2 βx − sin 2 βx,ch 2 αx − sh 2 αx = 1получимОсновы теории цепей. Конспект лекций-317-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияU ( x) = U HI ( x) =UHρ1( ch 2αx + cos 2βx ) ,21( ch 2αx − cos 2βx ).2На рис. 32.4 приведено примерное распределение амплитуд напряжения и тока.
Из рис. 32.4 видно, что при удалении от конца линии разница между максимальными и минимальными значениями амплитуд напряжения итока постепенно уменьшается.|I(х)||U(х)||UН|X0X0Рис. 32.4С физической точки зрения это объясняется тем, что в линии с потерями амплитуды падающей и отраженной волн непрерывно изменяются с расстоянием.
На больших расстояниях от конца линии отраженная волна становится значительно меньше падающей волны, поэтому распределение напряжения и тока постепенно приближается к распределению, соответствующемурежиму бегущих волн. На небольших расстояниях от конца линии падающаяи отраженная волны имеют почти равные амплитуды, и режим в этой частилинии близок к режиму стоячих волн.В линии с потерями входное сопротивлениеZ BX =U ( x)U ch kx= H= Z B cth kx = RBX + jX BX .UHI ( x)sh kxZBОсновы теории цепей. Конспект лекций-318-ЛЕКЦИЯ 32.
РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияRВХX3λ4λλ2λ40аХВХXλ3λ4λ2λ40бРис. 32.5Подставив значения chkx и shkx в формулу для входного сопротивленияи разделив вещественную и мнимую части, для линии с малыми потерямиполучимRBX = ρth αx,th αx cos 2 β x + sin 2 β x21 ⎛1 ⎞sin 2β x.X BX = ρ ⎜1 − 2 ⎟2 ⎝ th αx ⎠ cos 2 β x + 1 sin 2 βxth 2 αxОсновы теории цепей. Конспект лекций-319-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияГрафики изменения активной и реактивной составляющих входногосопротивления от длины линии показаны на рис. 32.5.Короткозамкнутая линия.В линии в режиме короткого замыкания Z H = 0 и U H = 0 , поэтомууравнения линии имеют вид⎪⎧U ( x ) = jρI H sin βx,⎨⎪⎩ I ( x ) = I H cos β x.Мгновенные значения напряжения и тока⎧π⎞⎛⎪u ( x, t ) = [ρI mH sin βx ] cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ ,2⎠⎝⎨⎪i ( x, t ) = [ I cos βx ] cos ( ωt + ψ ) .mH⎩Полученные выражения показывают, что, как и в разомкнутой линии,имеют место стоячие волны.
Однако имеются следующие отличия:1. Распределение напряжения вдоль линии пропорционально sinβx, атока – cosβx, следовательно, положение пучностей и узлов напряжения и тока сместилось относительно конца на четверть длины волны в сторону генератора.2. Фазовые соотношения между напряжением и током изменились на πв связи с тем, что от короткозамкнутого конца линии волна напряжения отражается с изменением фазы на π, а волна тока – без изменения фазы.3. Входное сопротивлениеZ BX =U ( x ) jρI H sin β x== jρ tg β x = jX BX ,I ( x)I H cos β xт. е. наличие стоячих волн и присущего им сдвига по фазе между напряжением и током на π/2 определило реактивный характер входного сопротивления.На рис.
32.6 показана зависимость входного сопротивления от длинылинии.В линии, длина которой равна нечетному числу λ/4, на входе получаются пучность напряжения и узел тока, и поэтому входное сопротивлениестремится к бесконечности. При длине линии, равной четному числу λ/4, навходе ее, как и на конце, наблюдаются пучность тока и узел напряжения, поэтому входное сопротивление равно нулю.Основы теории цепей. Конспект лекций-320-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНКороткозамкнутая линияПримером практического использования короткозамкнутых отрезковслужит металлический изолятор, который применяется как в открытых двухпроводных, так и в коаксиальных линиях (рис. 32.7). Возникающие в четвертьволновом отрезке стоячие волны имеют в точках 1–1 пучность напряжения и узел тока, а это равнозначно очень большому сопротивлению междуними.
В итоге энергия из основной линии почти не ответвляется в короткозамкнутый отрезок, т. е. отрезок служит очень прочной механической опоройдля главной линии.ХВХXλ3λ4λ2λ40Рис. 32.611λ4λ4Рис. 32.7В короткозамкнутой линии с потерями( )( )U ( x ) = Z B I H ch kx , I ( x ) = I H sh kx .Отсюда распределение амплитуд напряжения и тока:Основы теории цепей. Конспект лекций-321-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНКороткозамкнутая линия1( ch 2αx − cos 2βx ) ,2U ( x) = ρ I H1( ch 2αx + cos 2βx ).2I ( x) = I HГрафики распределения амплитуд напряжения и тока приведены нарис. 32.8.Входное сопротивление линии с потерямиZ BX =Z B I H sh kx= Z B th kx = RBX + jX BX .I H ch kx|U(х)||I(х)||IН|Х0Х0Рис. 32.8RВХХλ3λ4λ2λ40Рис.
32.9Основы теории цепей. Конспект лекций-322-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНКороткозамкнутая линияХВХХλ3λ4λ20λ4Рис. 32.10Активная и реактивная составляющие входного сопротивления линии смалыми потерямиRBX = ρ1th αx1cos 2 β x + sin 2 β x2th αx,11sin 2β xX BX = ρ ⋅ 2 ⋅.2 ch αx cos 2 β x + th 2 αx sin 2 β xГрафики изменения реактивной и активной составляющих входногосопротивления от длины линии приведены на рис. 32.9, рис. 32.10.Линия, нагруженная на реактивное сопротивление.В данном случае сопротивление нагрузки Z H = jX H , а напряжение вконце линии U H = I H ⋅ jX H .Уравнения линии⎧⎛⎞ρsin β x ⎟ ,⎪ U ( x ) = U H ⎜ cos β x +XH⎪⎝⎠⎨⎪ I x = j U H ⎛ sin β x − ρ cos β x ⎞ .⎜⎟⎪ ( )ρ ⎝XH⎠⎩Основы теории цепей.
Конспект лекций-323-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНЛиния, нагруженная на реактивное сопротивлениеX H2 + ρ2и полагаяXHВведя множительполучим.XHX H2 + ρ2X H2 + ρ2 ⎛⎜ cos β x ⋅ cos b +⎜XH⎝.U ( x) = U H= cos b ,UI ( x) = j HρX H2 + ρ2sin ( β x − b ) ,XH.= sin b ,⎞sin β x ⎟ ,⎟X H2 + ρ2⎠U ( x) = U H.X H2 + ρ2ρX H2 + ρ2cos ( β x − b ) ,XH.ρρ.XHМгновенные значения напряжения и тока в линиигде b = arctg⎡⎤X Н2 + ρ2⎢u ( x, t ) = U mncos ( βx − b ) ⎥ cos ( ωt + ψ ) ,X⎢⎣⎥⎦Н⎡U⎤X Н2 + ρ2π⎞⎛mnsin ( β x − b ) ⎥ cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ .i ( x, t ) = ⎢2⎠XН⎝⎢⎣ ρ⎥⎦Из последних выражений следует:1) линия, замкнутая на реактивное сопротивление, работает в режиместоячих волн;2) амплитудные значения напряжения и тока вX H2 + ρ2раз больше,XHчем в разомкнутой линии;3) узлы напряжения находятся в точках, где сos(βx – b) = 0, т.
е.πλ bλβx − b = ( 2n + 1) , X 0 n = ( 2n + 1) +;24 2π4) узлы тока определяются из условия sin(βx – b) = 0, т. е.λ bλX 0i = n +.2 2π⎛1 ⎞Если линия нагружена на емкостное сопротивление ⎜ X H = −⎟ , тоωC⎝H ⎠ρ⎛ π⎞< 0 ⎜ − < b < 0⎟b = arctgXH⎝ 2⎠Основы теории цепей. Конспект лекций-324-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНЛиния, нагруженная на реактивное сопротивлениеλ 3λ… вправо к на;4 4грузке (рис. 32.11). Очевидно, СН может быть заменена отрезком разомкнуλтой линии ′ < . Для расчета ′ имеем41− jρ ctg β ′ = − j,ω CHи узлы напряжения смещаются относительно точекоткуда⎛ 1 ⎞1′ = arcctg ⎜⎟.ρωCβ⎝H ⎠Если линия нагружена на индуктивное сопротивление (XН = ωLН > 0),тоузлынапряжениябудутрасполагатьсяслеваотточекλ 3λX 0n = ;λ…( 2n + 1) (рис.
32.12).4 44|U|, |I||U||I|Хλ3λ4λ2λ40СН′′ХВХХ0λ 3λ4λ2λ4Х ВХ = Х Н =−1ωСНРис. 32.11Основы теории цепей. Конспект лекций-325-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНЛиния, нагруженная на реактивное сопротивление|U|, |I||I||U|Хλ3λ4λ2λ40′LН′ХВХХ ВХ = Х Н = ωLНХλ3λ λ4 2λ40Рис. 32.12Поскольку входное сопротивление короткозамкнутой линии длинойλимеет индуктивный характер, всегда можно подобрать такой добавоч4ный отрезок ′ , входное сопротивление которого было бы равно XН = ωLН.Для расчета ′ имеемjρ tg β ′ = jωLH ,откуда⎛ ωL ⎞λ′=arctg ⎜ H ⎟ .2π⎝ ρ ⎠<Основы теории цепей. Конспект лекций-326-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНКонтрольные вопросы1. В каких случаях возникают стоячие волны в линии передачи?2.
В каких точках линии возникают узлы и пучности напряжения в разомкнутой линии?3. Какой характер имеет входное сопротивление линии в режиме стоячих волн?4. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в линиив режиме короткого замыкания?5. Чему равно входное сопротивление короткозамкнутой линии, длинакоторой равна нечетному числу λ/4?Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
