ОТЦ лекции (1274753), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Обозначив символами U ( X + ΔX ) , U ( X ) , I ( X + ΔX ) , I ( X ) комплексные амплитуды напряжений и токов соответственно на входе и выходеэлементарного четырехполюсника для внутреннего контура и узла А на основании второго и первого законов Кирхгофа, получим тождестваU ( x + Δx ) − U ( x ) − Z1Δx ⋅ I ( x ) = 0,I ( x + Δx ) − I ( x ) − Y1Δx ⋅ U ( x + Δx ) = 0.С точностью до малых величин второго порядкаI ( x + Δx ) − I ( x ) − Y1Δx ⋅ U ( x ) = 0 .Представим последние тождества системой разностных уравнений:⎧U ( x + Δx ) − U ( x )= Z1 ⋅ I ( x ) ,⎪⎪Δx⎨⎪ I ( x + Δx ) − I ( x ) = Y ⋅ U x .( )1⎪⎩ΔxСовершая предельный переход при ΔX → 0, получим систему двухдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые называются телеграфными уравнениямиОсновы теории цепей. Конспект лекций-303-ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИУравнения однородной линии передачи⎧ dU⎪⎪ Δx = Z1 ⋅ I ( x ) ,⎨⎪ dI = Y ⋅ U ( x ) .⎪⎩ Δx 1Если продифференцировать обе части телеграфных уравнений по х, топоследняя система может быть сведена к двум дифференциальным уравнениям второго порядка как относительно напряжения, так и относительно тока:⎧ d 2UdI⎪⎪ 2 = Z1 ⋅ = Z1YU1 ,dxΔx⎨ 2⎪ d I = Y ⋅ dU = Z YI ,11⎪⎩ Δx 2dxd 2U− Z1YU1 = 0,Δx 2d 2I− Z1Y1I = 0.Δx 2В теории волновых процессов эти уравнения носят название уравненийГельмгольца, их общее решение записывается следующим образом:⎧⎪U ( x ) = Ae kx + Be − kx ,⎨kx− kx⎪⎩ I ( x ) = Ce + De ,где k = Z1Y1 – комплексный коэффициент распространения.Первые слагаемые в выражениях для напряжения и тока определяюткомплексные амплитуды падающих волн, а вторые – отраженных волн напряжения и тока.Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:При Х = 0 U ( x ) = U H , I ( x ) = I H и⎧U ( 0 ) = A + B = U H ,⎪⎪I (0) = C + D = IH ,⎪⎪⎨ dU ( 0 ) = k A − B = Z I ,1 H⎪ dx⎪⎪ dI ( 0 ) = k C − D = YU1 H,⎪⎩ dx(())отсюдаОсновы теории цепей.
Конспект лекций-304-ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИУравнения однородной линии передачи1(U H + Z B I H ) ,21⎛U ⎞C = ⎜ IH + H ⎟,2⎝ZB ⎠1(U H − Z B I H ) ,21⎛U ⎞D = ⎜ IH − H ⎟,2⎝ZB ⎠A=B=Z1– волновое сопротивление линии.Y1где Z B =Подставив постоянные интегрирования в уравнения для U ( x ) и I ( x ) ,получим⎧U ( x ) = U H ch kx + Z B I H sh kx ,⎪⎨U⎪ I ( x ) = I H ch kx + H sh kx .ZB⎩( )( )( )( )Для линии без потерь R1 = g1 = 0,.k=( R1 +jωL1 )( g1 + jωC1 ) = jω L1C1 = jβ ,где β – фазовая постоянная, показывающая отставание фазы колебаний завремя их распространения на единице длины линии.ZB =R1 + jωL1L= 1 = ρ,g1 + jωC1C1⎧U ( x ) = U H cos ( βx ) + jρI H sin ( βx ) ,⎪⎨UHsin ( βx ) .⎪ I ( x ) = I H cos ( βx ) + jρ⎩В зависимости от соотношения сопротивления нагрузки и волновогосопротивления линия работает в режиме бегущих, стоячих или смешанныхволн.Контрольные вопросы1.2.3.4.Какие линии передачи называются однородными или регулярными?Что представляют собой первичные параметры линии передачи?Что характеризует комплексный коэффициент распространения?Что такое волновое сопротивление линии?Основы теории цепей.
Конспект лекций-305-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНРаспределение напряжений и тока в линии передачи. Вторичные (волновые) параметры однородной линии.Распределение напряжений и тока в линии передачи.Бегущие волны имеют место, когда линия нагружена на сопротивление, равное волновому сопротивлению.Для линии без потерь RH = ρ, U H = ρI H,⎧⎪U ( x ) = U H cos ( βx ) + jU H sin ( βx ) = U H e jβx ,⎨jβx⎪⎩ I ( x ) = I H cos ( βx ) + jI H sin ( βx ) = I H e .При питании линии от генератора гармонической ЭДСj ωt +ψ )U H = U mH e (,⎧⎪U ( x ) = U mH e j( ωt +βx+ψ )⎨j ( ωt +βx +ψ ),⎪⎩ I ( x ) = I mH eоткуда мгновенные значения напряжения и тока в линии уравнения бегущихволн⎪⎧u ( x, t ) = U mH cos ( ωt + β x + ψ ) ,⎨⎪⎩i ( x, t ) = I mH cos ( ωt + β x + ψ ) .Из последних выражений следует:1.
В каждом сечении линии напряжение и ток изменяются по гармоническому закону во времени, напряжение и ток на любом участке линии совпадают по фазе.2. В любой момент времени напряжение и ток распределены вдоль линии также по гармоническому закону. Кривые распределения напряжения итока в линии для двух моментов времени отличаются одна от другой сдвигомвдоль линии на некоторое расстояние ΔX = V(t2 – t1) (рис.
31.1).Основы теории цепей. Конспект лекций-306-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНРаспределение напряжений и тока в линии передачи3. Колебания в сечении с координатой х имеют опережение по фазе наугол βx относительно колебаний в конце линии (рис. 31.2) и отставание наугол β(ℓ – x) относительно колебаний на входе линии.t2 > t1U(х, t) I(х, t)U(х, t2)U(х, t1)I(х, t2)I(х, t1)х0λ∆х = V(t2 – t1)Рис. 31.1tttU(x, t)T=хх2t ′′ =βx2ωх1t′ =βx1ω2πω0Рис. 31.2При распространении колебаний на расстояние x = λ происходит отста2πвание по фазе на 2π, т. е. βx = βλ = 2π, β= .λОсновы теории цепей. Конспект лекций-307-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНРаспределение напряжений и тока в линии передачиV 2πV, где V – фазовая скорость. С другой сторо=fωωλ ω1ны, β = ω L1C1 , следовательно, V =, т.
е. фазовая скорость= =2π βL1C1Длина волны λ =волн в линии передачи является функцией первичных параметров L1 и С1.4. Амплитуда колебаний напряжения и тока в линии без потерь не зависит от расстояния.5. Входное сопротивление линии для любого сечения хZ BX =U ( x)= ρ,I ( x)отсюда вытекает физический смысл волнового сопротивления как сопротивления, которое оказывает линия бегущей волне тока.В реальной линии с потерямиk=( R1 +jωL1 )( g1 + jωC1 ) = α + jβ ,где α – коэффициент затухания (характеризует изменение амплитуды волнна единице длины линии); β – фазовая постоянная.
В общем случае α и β являются функциями частоты.Для получения режима бегущих волн в линии с потерями необходимоиметь Z H = Z B .Тогда( )( )U ( x ) = U H ⎡ch kx + sh kx ⎤ = U H e kx ,⎣⎦j ωt +βx +ψ )U ( x ) = U mH eαx e (,u ( x, t ) = U mH eαx cos ( ωt + βx + ψ ) .Ток в линии( )( )I ( x ) = I H ⎡ch kx + sh kx ⎤ ,⎣⎦I ( x) =U H kx U mH αx j( ωt +βx +ψ−ϕZ )e =e e,ZHZBi ( x, t ) =U mH αxe cos ( ωt + βx + ψ − ϕZ ) .ZBОсновы теории цепей. Конспект лекций-308-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНРаспределение напряжений и тока в линии передачиАмплитуды напряжения и тока в начале линии U m 0 = U mН eα ,I m 0 = I mН eα , где– длина линии, отсюдаα=1nU m0 1 I m0= n.U mHI mHТаким образом, в линии с потерями амплитуды напряжения и токауменьшаются при увеличении длины линии (рис. 31.3).U mn , I mnU m0UmU mnI m0ImI mnZ= − x0Рис.
31.3U, iUiх0Δх =ϕzωРис. 31.4Фазы напряжения и тока изменяются вдоль линии по линейному закону. На рис. 31.4 приведены кривые распределения вдоль линии напряжения итока для фиксированного момента времени.Следует отметить, что ток опережает напряжение на угол ϕz, определяемый реактивной составляющей волнового сопротивления.Основы теории цепей. Конспект лекций-309-ЛЕКЦИЯ 31.
РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНВторичные (волновые) параметры однородной линии.Вторичными (волновыми) параметрами линии являются комплексныйкоэффициент распространения k и волновое сопротивление Z B .В однородной линии с потерямиk 2 = α 2 + 2 jαβ − β2 = R1g1 − ω2 L1C1 + jω ( L1 g1 + C1R1 ) ,⎧⎪α 2 − β2 = R1 g1 − ω2 L1C1 ,⎨⎪⎩ 2αβ = ω ( L1 g1 + C1R1 ) .Совместное решение этой системы:α=1⎡R1 g1 − ω2 L1C1 +⎢2⎣(R21+ ω2 L12 g12 + ω2C12 ⎤ ,⎥⎦)()β=1⎡ 2ω L1C1 − R1 g1 +2 ⎢⎣(R21+ ω2 L12 g12 + ω2C12 ⎤ .⎥⎦)()В радиотехнике обычно применяются линии с малыми потерями, длякоторых в рабочем диапазоне частот R1 << ωL1, g1 << ωC1.Тогда⎛⎛⎛R ⎞g ⎞R ⎞⎛g ⎞jωL1 ⎜1 − j 1 ⎟ jωC1 ⎜1 − j 1 ⎟ = jω L1C1 ⎜1 − j 1 ⎟⎜1 − j 1 ⎟ .ωL1 ⎠ωC1 ⎠ωL1 ⎠⎝ωC1 ⎠⎝⎝⎝Rg1Поскольку 11 и1 , тоωL1ωC1k=1− jR1R≈1− j 1 ,ωL12ωL11− jg1g≈1− j 1 ,ωC12ωC1⎛x x2⎜ 1 − x ≈ 1 − − − … при2 4⎝x⎞1⎟ .⎠⎛RgRg ⎞k ≈ jω L1C1 ⎜1 − j 1 − j 1 − 21 1 ⎟ .2ωL12ωC1 4ω L1C1 ⎠⎝Основы теории цепей.
Конспект лекций-310-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНВторичные (волновые) параметры однородной линииС учетом того, чтоR1g1много меньше остальных членов в скобках,4ω2 L1C1получимk ≈R1 C1 g1 L1++ jω L1C1 .2 L1 2 C1Таким образом, коэффициент затухания α изменяется в пределах отR C1 g1 L1α ( 0 ) ≈ R1 g1 до α ( ∞ ) ≈ 1+(рис. 31.5), фазовая постоянная β2 L1 2 C1неограниченно растет при увеличении частоты.Учитывая, что проводимость утечки g1 → 0,R C1 R1.α= 1≈2 L1 2ρЗависимость α и β от частоты при передаче по линии сигналов, спектркоторых состоит из колебаний разных частот, вызывает появление амплитудных и фазовых искажений.α, βR1 C1 g1 L1+2 L1 2 C1αβR1g1ω0Рис. 31.5Волновое сопротивлениеZB =R1 + jωL1=g1 + jωC1()=Zg (1 + jω )R1 1 + jω RL111Основы теории цепей. Конспект лекцийC1g1Be jϕ z .-311-ЛЕКЦИЯ 31.
РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНВторичные (волновые) параметры однородной линииR1, при ω → ∞ Z B =g1При ω = 0 Z B =L1.C1ωLωC ⎞R12 + ω2 L121⎛ZB = 4 2, ϕ z = ⎜ arctg 1 − arctg 1 ⎟ .2 22⎝R1g1 ⎠g1 + ω C1C LПоскольку в реальной линии 1 > 1 , то реактивная составляющаяg1 R1волнового сопротивления имеет емкостный характер (рис. 31.6).Z B , ϕZR1g1ZBL1C1ω0ϕZРис. 31.6В связи с тем, что фазовая постоянная в общем случае зависит не только от частоты, но и от потерь в линии, фазовая скорость распространениятакже является функцией частоты и величины потерь.V==ω=βω1⎡ 2ω L1C1 − R1 g1 +2 ⎢⎣1⋅L1C1(R12+ ω2 L12)(g122+ωC12) ⎤⎥⎦1⎛Rg1⎡⎢1 − 2 1 1 + ⎜1 +2 ⎢ ω L1C1⎝⎣R12ω2 L12⎞⎛⎟⎜1 +⎠⎝g12ω2C12⎞⎤⎟⎥⎠ ⎥⎦=.т. е.
наличие потерь уменьшает фазовую скорость. Например, V для кабельных линий может оказаться в 2–2,5 раза меньше скорости света. На рис. 31.7Основы теории цепей. Конспект лекций-312-ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛНВторичные (волновые) параметры однородной линииприведены зависимости фазовой скорости от частоты для различных линийсвязи.V, м/сf, ГцРис. 31.7Кривая 1 – для медных и биметаллических воздушных линий связи,кривая 2 – для стальных воздушных линий, кривая 3 – для телефонных иморских телеграфных кабелей.Зависимость V от f показывает, что колебания разных частот распространяются с различной скоростью; это вызывает фазовые искажения припередаче сигналов в линии.В соответствии с уменьшением фазовой скорости длина волны в линиис потерями всегда меньше длины волны в воздухе (в линии без потерь):λЛ =V= VT < λ .fКонтрольные вопросы1.2.3.4.5.6.При каких условиях в линии передачи имеют место бегущие волны?По какому закону изменяются напряжение и ток в линии во времени?Что такое фазовая скорость?Чему равно входное сопротивление линии в режиме бегущих волн?Что такое коэффициент затухания?Что такое фазовая постоянная?Основы теории цепей.
Конспект лекций-313-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линия. Короткозамкнутая линия. Линия, нагруженная нареактивное сопротивление.Стоячие волны в линии передачи возникают в трех случаях:а) линия разомкнута на конце;б) линия замкнута накоротко;в) линия нагружена на реактивное сопротивление (L или C).Разомкнутая линия.В режиме холостого хода передачи энергии в нагрузку нет, поскольку вразомкнутой на конце линии нет тока, следовательно, вся энергия отражаетсяот конца линии и возвращается к генератору, устанавливая в линии режимстоячих волн как совокупность падающей и отраженной волн.Уравнения линии без потерь в режиме холостого хода⎧U ( x ) = U H cos ( βx ) = ⎡U mH cos ( βx ) ⎤ e j( ωt +ψ ) ,⎣⎦⎪⎪π⎞⎛⎨⎡U mH⎤ j⎜⎝ ωt +ψ+ 2 ⎟⎠UHsin ( βx ) = ⎢sin ( βx ) ⎥ e.⎪I ( x ) = jρ⎪⎩⎣ ρ⎦Мгновенные значения напряжения и тока⎧u ( x, t ) = ⎡⎣U mH cos ( βx ) ⎤⎦ cos ( ωt + ψ ) ,⎪⎨⎡U mH⎤π⎞⎛sin ( βx ) ⎥ cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ .⎪i ( x, t ) = ⎢2⎠⎝⎣ ρ⎦⎩Из полученных выражений следует:1.
В любом сечении линии напряжение и ток изменяются по гармоническому закону во времени.2. Распределение напряжения вдоль линии пропорционально cosβx, атока – sinβx (рис. 32.1).Как видно из графиков, напряжение и ток в отдельных точках при любых t оказываются равными нулю. Положение этих точек, называемых узлами напряжения или тока, определяются из условий cosβx = 0 для напряженияи sinβx = 0 для тока, откуда следует, что координата n-го узла напряженияλλпри X n 0 = ( 2n + 1) и n-го узла тока при X n 0 = n , где n = 0, 1, 2...42Основы теории цепей. Конспект лекций-314-ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛНРазомкнутая линияТочки, в которых амплитуды напряжения и тока максимальны, называются пучностями напряжения и тока. Положение пучностей напряжения приλλcosβx = 1 для напряжения X nm = n и при sinβx = 1 для тока X nm = ( 2n + 1) .423. Начальная фаза напряжения и тока в разных сечениях линии одинакова или отличается на угол π, что соответствует изменению знака амплитуды напряжения и тока при переходе через узел (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
