ОТЦ лекции (1274753), страница 32
Текст из файла (страница 32)
25.14).Выше было показано, чтоch g = A11 = 1 +где A11 =U1U2,I 2 = 0(ХХ на вых)A11 =Z1,2Z 21U, К ХХ = 2 – комплексный коэффициК ХХU1ент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе.В полосе пропускания−1 ≤ A11 ≤ 1 ,следовательно,−1 ≤1≤ 1 и − 1 ≥ К ХХ ≥ 1.К ХХИз последнего выражения для модуля коэффициента передачи получимКХХ ≥ 1.Для граничных частот это неравенство обращается в равенство:КХХ(ωгр) = 1.Основы теории цепей.
Конспект лекций-251-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫОсновные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтраZT = Z КЗ Z ХХZL12ZКЗ(ω)ZХХ(ω)L2С20ω0ωгрωРис. 25.14Таким образом, граничные частоты могут быть определены как частоты,на которых коэффициент передачи при холостом ходе равен единице. Это определение особенно удобно при экспериментальном исследовании фильтров.Частотными характеристиками фильтра являются зависимости:а(ω) – амплитудно-частотная характеристика;b(ω) – фазочастотная характеристика.Для нахождения уравнений частотных характеристик используем выражение для постоянной передачи Г-образного звенаshgZ1b⎞ababX1⎛a== sh ⎜ + j ⎟ = sh cos + j ch sin = ± j24Z 22⎠22224X2⎝2при Z1 = ±jZ1 и Z2 = ∓ jZ2.Разделив вещественную и мнимую части, получимab⎧shcos= 0,⎪22⎪⎨⎪ch a sin b = ± X 1 .⎪⎩ 224X2В полосе пропускания а = 0, следовательно, shaa= 0, ch = 1 и22bX1=±.24X2Поскольку сопротивления X1 и X2 зависят от частоты, то из последнегоуравнения получим зависимость коэффициента фазы от частоты в полосепропускания (ФЧХ) в видеsinОсновы теории цепей.
Конспект лекций-252-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫОсновные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтраb ( ω) = ±2arcsinX 1 ( ω).4 X 2 ( ω)Амплитудно-частотная характеристика в полосе пропускания а(ω) = 0сливается с осью частот.abВ полосе подавления a ≠ 0, sh ≠ 0, следовательно, cos = 0,22отсюда b = ±π и sinbax1= ±1 , значит, ch =.24 x22Уравнение амплитудно-частотной характеристики в полосе подавленияa ( ω) = 2Archx1.4 x2Фазочастотная характеристика в полосе подавления b(ω) = ±π.Фильтры типа k.Реактивные фильтры, составленные из звеньев, параметры элементовкоторых во всем диапазоне частот удовлетворяют условию1Z1 ⋅ 2 Z 2 = Z1Z 2 = Z T Z П = k 22(k – постоянная положительная величина), называются фильтрами типа k.Фильтры нижних частот.Фильтром нижних частот (ФНЧ) называют четырехполюсник, у которого затухание в диапазоне от ω = 0 до граничной частоты ωгр мало, а в диапазоне от ωгр до ω = ∞ велико.Физическое действие фильтров объясняется тем, что на низких частотах сопротивления индуктивностей малы, а сопротивления емкостей велики;на высоких же частотах наоборот: сопротивления индуктивностей велики, аемкостей малы.Граничные частоты полосы пропускания фильтров нижних частот(рис.
25.15) определяются из соотношений Z1 = 0 и Z1 = –4Z2.Для ФНЧ имеемZ1 = jωL, Z 2 =Основы теории цепей. Конспект лекций1.j ωC-253-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫФильтры нижних частотL2L2L2С2LС2СС2Рис. 25.152.ωгрCLCТаким образом, фильтры нижних частот имеют полосу пропускания,определяемуюПоэтому Z1 = 0 при ω = 0 и4ωгр L =0 ≤ ωгр ≤при ωгр =2.LCТакой же результат получается путем графического расчета (рис. 25.16)ZZ1(ω)–4Z2(ω)0ωгрωРис.
25.16Выше было показано, что амплитудно-частотная a(ω) и фазочастотнаяb(ω) характеристики в полосе пропускания определяются по формулам:a ( ω) = 0, b ( ω) = 2arcsinX1ωLωCω= 2arcsin= 2arcsin,ωгр4X24⎛2 ⎞LC=⎜⎜⎟⎟ .ωгр ⎠⎝В полосе задерживанияОсновы теории цепей. Конспект лекций-254-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫФильтры нижних частотX1ω= 2Arch, b ( ω) = π .4X2ωгрa ( ω) = 2ArchГрафики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 25.17.а непb2πАЧХФЧХπ210ωωгр1,000,51,0ωωгрРис. 25.17Приведенные на рис. 25.17 частотные характеристики имеют такой видтолько при условии, что фильтр нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению.Для Т-образного фильтра2⎛ ω ⎞⎛Z ⎞Z T = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = k 1 − ⎜⎟⎟ ,⎜ω4Z⎝2 ⎠⎝ гр ⎠для П-образного фильтраZП =Z1Z 2k=.2Z1⎛ ω ⎞1+1− ⎜4Z 2⎜ ωгр ⎟⎟⎝⎠На рис.
25.18 приведены графики зависимости Z Т и Z П от частоты.Таким образом, для осуществления согласования фильтра необходимодля каждой частоты подбирать свое сопротивление (в полосе пропускания –активное, в полосе задерживания – реактивное).Из фазочастотной характеристики (рис. 25.17) следует, что в полосепропускания выходное напряжение отстает от входного напряжения на уголb, зависящий от частоты.Основы теории цепей.
Конспект лекций-255-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫФильтры нижних частотZТkZПАктивноеИндуктивное0,50ωωгр1,0АктивноеЕмкостноеk0ωωгр1,00,5Рис. 25.18Для доказательства положительности фазочастотной характеристикирассмотрим векторные диаграммы, например Т-образного фильтра нижнихчастот (рис. 25.19), нагруженного на согласованное сопротивление.Пусть на входе ФНЧ действует напряжение U1 = U1e jψ , тогда в полосепропускания фильтр имеет активное входное сопротивление и входной токI1 совпадает с входным напряжением по фазе (рис.
25.20). Напряжение навходной индуктивности опережает ток I1 на π/2.LI12U L1U1IСLn2U L1I2U L2С UСImUСZТ U 2I1ψU1ReРис. 25.19Рис. 25.20Из выражения второго закона Кирхгофа для входного контураU C = U1 − U L1 ,следовательно, напряжение на конденсаторе отстает от входного напряженияи тока на некоторый угол, определяемый соотношением между величинамисопротивлений индуктивности и емкости на заданной частоте (рис. 25.20).Ток в емкостной ветви опережает напряжение на емкости на π/2(рис. 25.21).Для узла n (рис.
25.19) выполняется первый закон Кирхгофа, откудаОсновы теории цепей. Конспект лекций-256-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫФильтры нижних частотI 2 = I1 − I C .ImU L1ImU L1IСIСU1I10I1ReI2U L20b>0U1ReI2UСU2Рис. 25.21UСРис. 25.22Напряжение на выходе фильтра в полосе пропускания совпадает с выходным током, а напряжение на выходной индуктивности опережает выходной ток на π/2 (рис. 25.22).Таким образом, из векторной диаграммы (рис.
25.22) видно, что напряжение и ток на выходе согласованного фильтра нижних частот отстают отнапряжения и тока на входе (для того чтобы совместить векторы U 2 и I 2 свекторами U1 и I1 , необходимо поворачивать их против часовой стрелки – вобласть положительных углов).Основы теории цепей. Конспект лекций-257-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫВлияние сопротивления нагрузки на ФНЧ.Поскольку в действительных условиях работы сопротивление нагрузкиявляется практически не зависящим от частоты активным сопротивлениемRH, то в диапазоне частот фильтр работает на несогласованную нагрузку и крежиму согласования можно только в известной степени приблизиться.Для оценки влияния сопротивления нагрузки на частотные характеристики фильтра рассмотрим схему фильтра нижних частот (рис.
25.23), нагруженного на активное сопротивление RH.RiЕLIС2U1С2U2RНРис. 25.23Передаточная функция этой схемыK=где Y ′ =U 2 IZ ′U1 ⋅ Z ′1===,U1 U1 ( jωL + Z ′ )U1 1 + jωLY ′11ωC.=+jZ ′ RH2Модуль коэффициента передачиK =122⎛2 C⎞2 L⎜1 − ω L ⎟ + ω 22⎠RH⎝где ρ =1=2,⎛ω ⎞ωρ⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ + 4 2 2ωгр ⎠ωгр RH⎝22 2L.CОсновы теории цепей. Конспект лекций-258-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫВлияние сопротивления нагрузки на ФНЧ|К|RН = ∞b2ρπZН = ZПρ1,01,00,5RН = ∞ZН = ZПπ20,5ρ0ФЧХωωгр0RН = 2ρ1,00,5аωωгрб8 |К|6,4RН = 10 кОм4,83,21,6RН = 2 кОмf0 1022030f, кГцb, град240RН = 10 кОм180120RН = 2 кОм601022030 f, кГцвРис.
25.24По этой формуле можно рассчитать частотную характеристику прилюбом сопротивлении нагрузки фильтра RH (рис. 25.24, а).При холостом ходе (RH = ∞)1.K XX =ω21− 2 2ωгрНа частоте ω =ωгркоэффициент передачи становится бесконечно2большим, что объясняется резонансом в последовательном колебательномконтуре L, С/2, резонансная частота которогоОсновы теории цепей.
Конспект лекций-259-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫВлияние сопротивления нагрузки на ФНЧω0 посл =1LC2=1ωгр .2В реальных условиях колебательный контур имеет потери и напряжение на реактивных элементах на резонансной частоте в Q раз больше, чем навходе (Q – добротность).
Добротность нагруженного контура с учетом внутреннего сопротивления генератораQЭ =ρρ2Ri + RП +RH,где Ri – внутреннее сопротивление генератора; RП – сопротивление потерьконтура.Выше было показано, что в полосе пропусканияa ( ω) = 0, иU1= eg ,U2следовательно,K =U2U1= e− a ,т. е. на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи равенединице.Из графика (рис.
25.24, а) видно, что действительно для частот ω = 0 иω = ωгр |КХХ| = 1.Фазочастотная характеристика (рис. 25.24, б) при несогласованной нагрузке может рассматриваться как фазочастотная характеристика последовательного контура L, С/2, нагруженного на произвольное сопротивление. Причастоте ω = ω0посл все кривые проходят через точку b = π/2, поскольку на резонансной частоте ток в контуре совпадает по фазе с входным напряжением,а напряжение на емкости (выходное напряжение фильтра) отстает от тока наπ/2. Угол наклона кривых в окрестности резонансной частоты определяетсядобротностью контура: чем выше добротность Q, тем больше крутизна кривых.На рис.
25.24, в приведены АЧХ и ФЧХ П-образного ФНЧ с параметрами L = 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, питающегося от источника ЭДСОсновы теории цепей. Конспект лекций-260-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫВлияние сопротивления нагрузки на ФНЧс внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом при различных сопротивлениях нагрузки.Пример 1. Для схемы П-образного ФНЧ (рис. 25.25), согласованного снагрузкой, рассчитать токи во всех ветвях и напряжения на элементах призаданном входном напряжении. Построить векторные диаграммы рассчитанных токов и напряжений.L = 25 мГн, C = 10 мкФ, U1 = 150e j 60° B, ω = 2500 рад/с.I1ILI2LULСU1С U2I С1 I С 2ZН = ZПРис. 25.25Решение.
Для П-образного фильтра нижних частотZ1 = jωL = j 2500 ⋅ 25 ⋅ 10−3 = j 62,5 Ом,2Z 2 =11= − j 20 Ом., Z2 = − jj ωC2 ⋅ 2500 ⋅ 10−5Z1 < 4 Z 2 , следовательно, фильтр работает в полосе пропускания и за-тухание а = 0.Характеристическое сопротивлениеZC 2 = Z П =Z1Z 2= 75 Ом .Z11+4Z 2Коэффициент фазыb ( ω) = 2arcsinZ14Z 2=Основы теории цепей. Конспект лекций62,5≈ 124° .80-261-ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫВлияние сопротивления нагрузки на ФНЧРассчитаем граничную частоту фильтраωгр =где C ′ = 2C2ωгр =2 ⋅ 25 ⋅ 10−3 ⋅ 10−52,LC ′= 2820 рад/с .(Заданная по условию частота находится в полосе пропускания фильтра.)Выходное напряжениеU 2 = U1e− g = U1e− jb = 150e j 60° ⋅ e − j124° = 150e − j 64° = 65,8 − j135 В.Напряжение на индуктивностиU L = U1 − U 2 = 75 + j130 − ( 65,8 − j135 ) = 9, 2 + j 265 В.Токи в ветвях:U1 150e j 60°I1 === 2e j 60° = 1 + j1,73 A,75ZПU1150e j 60°== 3,75e j150° = −3,25 + j1,88 A,I C1 =2 Z 2 2 ⋅ ( − j 20 )I2 =U 2 150e − j 64°== I1e − g = 2e − j 64° = 0,87 − j1,8 A,75ZПU 2 150e − j 64°== 3,75e j 26° = 3,37 + j1,64 A,IC 2 =2 Z 2 2 ⋅ ( − j 20 )IL =UL= I1 − I C1 = 1 + j1,73 − ( −3, 25 + j1,88 ) = 4,25 − j 0,15 A.Z1Векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по результатамрасчетов, приведена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
