ОТЦ лекции (1274753), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Полюсы F(p)есть значения p, при которых F(p) = ∞).Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которуюуменьшается разделенный на 2πj контурный интеграл от этой функции, когдаконтур при его стягивании пересечет этот полюс.Основы теории цепей. Конспект лекций-209-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВНахождение оригинала по изображениюВычисления по последней формуле требуют применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это оказывается весьма сложным.Поэтому большое значение имеют теоремы, позволяющие представить изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым упростить переход от изображения к оригиналу.Второй способ нахождения оригинала – использование теоремы разложения когда, изображение найдено в виде рациональной дроби:F ( p)F ( p) = 1, где F1(p) и F2(p) – полиномы относительно р.F2 ( p )Предположим, что знаменатель F2(p) имеет n простых корнейp1, p2, ..., pn, тогда общая формула теоремы разложения:F1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk t.f ( t ) i=i= ∑′F2 ( p )Fp()k =1k2iВ случае комплексных корней получаются два сопряженных слагаемых, сумма которых равна удвоенному значению действительной части.Третий способ определения оригинала заключается в использованиитаблиц, где приводятся как изображения функций, так и соответствующие иморигиналы.
Существуют справочники, содержащие несколько сотен изображений и соответствующих им оригиналов. Следует только изображение привести к табличному виду. При использовании готовых таблиц следует выяснить, с помощью какого преобразования они составлены – Лапласа или Карсона. Если изображение дается по Карсону, то его следует поделить на р дляполучения изображения по Лапласу.Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.Закон Ома. Пусть имеем участок сложной цепи (рис. 22.5), замыканиеключа в которой приводит к переходному процессу.i4i1i2iRLCe(t)t=0i5i3Рис.
22.5Разность потенциалов между двумя узламиОсновы теории цепей. Конспект лекций-210-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВЗаконы Ома и Кирхгофа в операторной формеU = U R + U L + U C − e ( t ) , U R = Ri, U L = LUC = UC ( 0 −) +ТогдаU = Ri + Ldi,dt1idt.C∫di1+ U C ( 0 − ) + ∫ idt − e ( t ) .dtCПри ненулевых начальных условиях iL(0–) = iL(0), UC(0–) = UC(0) найдем изображение напряжения между узлами по Лапласу:di ii = LpI ( p ) − LiL ( 0 ) ,dtU ( 0) I ( p )1U C ( 0 − ) + ∫ idt i =i C+, e ( t ) i =i E ( p ) ,CppCU R i =i RI ( p ) , LU ( p ) = RI ( p ) + LpI ( p ) − LiL ( 0 ) +UC (0) I ( p )+− E ( p ).ppCОтсюда следует, чтоI ( p) =UC (0)+ E ( p)p,Z ( p)U ( p ) + LiL ( 0 ) −1– операторное сопротивление участка цепи.pCУравнение для изображения тока аналогично закону Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС, и ненулевых начальных условиях.Слагаемое в числителе LiL(0) представляет собой внутреннюю ЭДС,обусловленную запасом энергии магнитного поля в индуктивности к моменU (0)представляет собой внутреннюю ЭДС,ту коммутации.
Слагаемое Cpобусловленную запасом энергии электрического поля в конденсаторе к моменту коммутации. Заметим, что ЭДС LiL(0) направлена согласно с током, аUC (0)– всегда навстречу току в ветви.pгде Z ( p ) = R + Lp +Основы теории цепей. Конспект лекций-211-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВЗаконы Ома и Кирхгофа в операторной формеВ соответствии с выражением для изображения тока можно построитьсхему замещения участка цепи (рис.
22.6).I1(p)I(p)RU C (0)Li(0)ppL1pС E(p)I4(p)t=0I2(p)I5(p)I3(p)Рис. 22.6Для участка цепи, не содержащего источника ЭДС при нулевых начальных условиях, запись закона Ома в операторной форме имеет более простой вид: I(p) = U(p)/Z(p).Первый закон Кирхгофа. Используя свойство линейности преобразования Лапласа, в общем случае можно сразу записать выражение первого закона Кирхгофа∑I(p) = 0.Второй закон Кирхгофа.
Пусть имеем участок цепи (замкнутый контур на рис. 22.7). До коммутации i(0–) ≠ 0, UC(0–) ≠ 0.R1Le1(t) t = 0i1i2R2R3Ce3(t)i3Рис. 22.7Выбрав направление обхода контура по часовой стрелке, запишемуравнение по второму закону Кирхгофа:R1i1 + Ldi11+ R3i3 + ∫ i3dt + U C ( 0 ) − R2i2 = e1 ( t ) − e3 ( t ) .dtCЗаменив каждое из слагаемых изображением по Лапласу, получимОсновы теории цепей. Конспект лекций-212-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВЗаконы Ома и Кирхгофа в операторной формеR1I1 ( p ) + LpI1 ( p ) − LiL ( 0 ) + R3 I 3 ( p ) +U C ( 0 ) I 3 ( p )1+− R2 I 2 ( p ) = E1 ( t ) − E3 ( t ) ,ppCZ1 ( p ) I1 ( p ) − Z 2 ( p ) I 2 ( p ) + Z 3 ( p ) I 3 ( p ) = E1 ( t ) − E3 ( t ) + EВН ( p ) ,гдеZ1 ( p ) = R1 + Lp, Z 2 ( p ) = R2 , Z 3 ( p ) = R3 +или в общем видеnnk =1k =1U (0)1, EВН ( p ) = LiL ( 0 ) − C,pCp∑ Z k ( p )I k ( p ) = ∑ Ek ( p ).Таким образом, уравнение второго закона Кирхгофа в операторнойформе содержит внутренние источники ЭДС, характеризующие энергетическое состояние цепи к моменту коммутации.Последовательность расчета в операторном методе.В общем случае порядок расчета переходных процессов операторнымметодом следующий:1.
Выбираются положительные направления токов в ветвях и записываются интегродифференциальные уравнения Кирхгофа для цепи после коммутации.2. Записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий в виде внутренних источников ЭДС.3. Полученные в операторной форме алгебраические уравнения решаются относительно изображения искомой величины.4. На основе полученного изображения находится оригинал искомой функции.Выше было показано, что законы Ома и Кирхгофа в операторной форме имеют запись, аналогичную записи в комплексной форме, и отличаютсялишь введением внутренних ЭДС, учитывающих ненулевые начальные условия. Следовательно уравнения Кирхгофа для изображений могут быть составлены аналогично методу комплексных амплитуд, заменой в них jω на р ивведением внутренних ЭДС.Пример 3. Решить задачу, приведенную в примере 1, операторным методом. Схема цепи (рис.
21.1), параметры элементов и ЭДС даны там же.Решение. 1. Очевидно, независимые начальные условия будут те же,что и в примере 1:iL(0–) = iL(0) = 1 A, UC(0–) = UC(0) = 40 B.Основы теории цепей. Конспект лекций-213-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПоследовательность расчета в операторном методеС учетом внутренних источников ЭДС схема цепи приобретет вид,представленный на рис. 22.8.R1EpR3I1(p)I3(p)1pСI2(p)R2U C (0)ppLLiL(0)Рис.
22.81. Система уравнений для цепи после коммутации та же, что и в примере 1:1⎧ERRii2 dt ,=++()131⎪C∫⎪di31⎪⎨0 = − ∫ i2 dt + R2i3 + L ,Cdt⎪⎪0 = i1 − i2 − i3.⎪⎩2. Эта система для изображений с учетом внутренних источников ЭДСимеет вид⎧ E UC ( 0)1= ( R1 + R3 ) I1 ( p ) +I2 ( p ),⎪ −pppC⎪⎪⎪U C ( 0 )1I 2 ( p ) + ( R2 + pL ) I 3 ( p ) ,+ LiL ( 0 ) = −⎨ppC⎪⎪0 = I1 ( p ) − I 2 ( p ) − I 3 ( p ) .⎪⎪⎩3. Решим последнюю систему относительно изображения искомого тока:Основы теории цепей.
Конспект лекций-214-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПоследовательность расчета в операторном методеR1 + R3 )11pC−1UC (0)+ LiL ( 0 )p0R1 + R3 )01=E UC ( 0)−pp−0I3 ( p ) =1pC(1pC1−pC−1=0R2 + pL−160 ⋅ 10−3 p 2 + 2410 p + 106p 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104=F1 ( p ).F2 ( p )4. Перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложенияF1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk tf ( t ) i=,i= ∑F2 ( p )k =1 F2′ ( pk )iгде pk – корни F2(p), в нашем случае F2(p) имеет корни p = 0, p1 = –680,p2 = –19480.F1(p) = 60·10-3p2 + 2410p + 106;(F2 ( p ) = p 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104 ;F2′ ( p ) = 3 ⋅ 60 ⋅ 10−3 p 2 + 2 ⋅ 1210 p + 80 ⋅ 104 ;p = 0 F1 ( 0 ) = 106 , F2′ ( 0 ) = 80 ⋅ 104 ;p1 = −680 F1 ( p1 ) = −62,04 ⋅ 104 , F2′ ( p1 ) = −77 ⋅ 104 ;p2 = −19480 F1 ( p2 ) = −23,18 ⋅ 106 ,Основы теории цепей.
Конспект лекцийF2′ ( p2 ) = 21,96 ⋅ 106.-215-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПоследовательность расчета в операторном методеТаким образом,i(t) = 1,25 + 0,805e–680t – 1,055e–19480t.Пример 4. Операторным методом решить задачу, приведенную впримере 2, для гармонической ЭДСe(t) = 100cos(ωt + 60º), где ω = 10000 рад/с.Решение.
Очевидно, независимые начальные условия будут те же, чтои в примере 2:iL(0–) = iL(0) = –0,03 A, UC(0–) = UC(0) = –1,42 B.Эквивалентная схема цепи для изображений не зависит от вида ЭДС(рис. 22.8), следовательно, и система уравнений остается той же, что и в предыдущем примере:UC ( 0)⎧1= ( R1 + R3 ) I1 ( p ) +I2 ( p ),⎪E ( p ) −ppC⎪⎪⎪U C ( 0 )1I 2 ( p ) + ( R2 + pL) I 3 ( p ) ,+ LiL ( 0 ) = −⎨ppC⎪⎪0 = I1 ( p ) − I 2 ( p ) − I 3 ( p ) .⎪⎪⎩Однако изображение входной ЭДС в данном случае имеет вид100 ( p cos ϕ − ω sin ϕ )= E ( p ).p 2 + ω2Решив последнюю систему относительно изображения искомого тока, получим:e ( t ) = 100cos ( ωt + 60° ) i =iОсновы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
