ОТЦ лекции (1274753), страница 24
Текст из файла (страница 24)
20.14Основы теории цепей. Конспект лекций-183-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияСкорость нарастания амплитуды тока определяется производной(di,dt)где I ( t ) = I m 1 − e −δt .diRRωωΔω( 0 ) = I mδ, δ = = 0 = 0 = K ,2 L 2ω0 L 2Q2dtt =0diΔωI( 0) = K Im = m .2dtτKt =0Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полосапропускания контура, меньше добротность (рис.
20.15).iiQ1Q2 > Q1EmREmR00tаtбРис. 20.15Если же частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотойконтура, то при малых расстройках (ω0 ≈ ω)i(t) = –Imsin(ωt – φ) + Ime–δt sin(ω0t – φ).Если потери в контуре отсутствуют (δ = 0), тоi ( t ) ≈ − I m sin ( ωt − ϕ ) + I m sin ( ω0t − ϕ ) =⎛ ω − ω0 ⎞ ⎛ ω + ω0⎞= −2 I m sin ⎜t ⎟ sin ⎜t − ϕ ⎟ ; ω > ω0 ,⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠Основы теории цепей.
Конспект лекций-184-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженият. е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частоω + ω0тами в контуре возникают колебания с частотой≈ ω и медленно из2⎛ ω − ω0 ⎞меняющейся амплитудой sin ⎜t ⎟ , так называемые биения (рис. 20.16).⎝ 2⎠Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частотывнешней ЭДС и резонанса контура.В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободнойсоставляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течениемвремени будет стремиться к установившемуся значению Im (рис.
20.17).i2Imt0Рис. 20.16iIm0tРис. 20.17Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до τи можно найти как отклик на гармоническую ЭДС,включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = τи после прекращениядействия внешней ЭДС остается только свободная составляющая токаIСВ(t) = Im1e–δtsin(ωСВt – φ),где Im1 определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t = τи. Таким образом, полный отклик колебательногоконтура на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный нарис. 20.18, а, для случая ω = ω0 и на рис. 20.18, б – для случая ω > ω0.Основы теории цепей. Конспект лекций-185-ЛЕКЦИЯ 20.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияiIm0tQ1 < Q2τиаiIm0tQ2 > Q1τибРис. 20.18i0tτиРис. 20.19Если частота внешней ЭДС значительно отличается от резонанснойчастоты контура с малыми потерями, то характер переходных процессов отличается от рассмотренных выше.Предположим, что ω << ω0. В этом случае21 ⎞1⎛Z = R 2 + ⎜ ωL −, ϕ = rctg⎟ ≈ωC ⎠ωC⎝Основы теории цепей.
Конспект лекций1ωC ≈ − π ,R2ωL −-186-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряжения1.ωCРанее было получено выражение для тока в контуретак как ωLi ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) − I m+При ωСВ ≈ ω0ω0cos ( ψ − ϕ ) e−δt sin ( ωСВt + ϕC ) +ωСВ⎤Em ⎡ωLsin ( ψ − ϕ ) ⎥ e −δt sin ωСВt.⎢cos ψ +ωСВ L ⎣Z⎦ϕC = arctgωСВ π≈ и ток2δπ⎞ωπ⎞π⎞⎛⎛⎛i ( t ) ≈ I m cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ − I m 0 cos ⎜ ψ + ⎟ e −δt sin ⎜ ωСВt + ⎟ +2⎠2⎠2⎠ωСВ⎝⎝⎝+Em ⎡ωL ⎛π ⎞ ⎤ −δtψ+ψ+cossin⎢⎜⎟ ⎥ e sin ωСВt.Z2 ⎠⎦ωСВ L ⎣⎝Проведя несложные преобразования, получимi ( t ) ≈ − I m sin ( ωt + ψ ) + I m sin ψe −δt cos ω0t ++Em[cos ψ + ωLωC + cos ψ ] e−δt sin ω0t =ω0 L= − I m sin ( ωt + ψ ) + I m sin ψe −δt cos ω0t +I m ⎛ ω2 ⎞−δt+⎜1 − 2 ⎟ cos ψ e sin ω0t.ω0 LωC ⎝ ω0 ⎠При ω >> ω0 и ψ = 0 (напряжение источника ЭДС в момент включенияпроходит через максимум, равный Em) получимi ( t ) = − I m sin ωt + I mω0 −δte sin ω0t .ωОсновы теории цепей.
Конспект лекций-187-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияЕсли δt << 1, то максимальное значение тока в начальный период преωвышает амплитуду принужденного тока почти в 0 1 раз. Это явление ноωсит название сверхтока. В этом случае напряжение на конденсатореUC (t ) =11itdt=()C∫Cω0 − δt⎛⎞sin−Iωt+Ie sin ω0t ⎟dt =mm⎜∫⎝ω⎠Imωe −δtcos ωt + I m=ωCω0 δ2 + ω02()( −δ sin ω0t − ω0 cos ω0t ).⎡ ax⎤e axebxdx=abx−bbxsinsincos()⎢∫⎥.22a+b⎣⎦При δ << ω0 и U Cm =ImωCUC(t) ≈ UCmcosωt – UCme–δtcosω0t.Начальные максимумы UC(t) примерно в два раза больше амплитудыпринужденной составляющей (рис. 20.20).UC≈2UCmUCmω0ωt0Рис. 20.20Если же ω >> ω0, то в контуре с малыми потерями |Z| ≅ ωL, φ ≅ π/2 и токв контуре будетi(t) = Imsin(ωt – ψ) – Imsinψe–δtcosω0t.При ψ ≅ π/2, т.
е. напряжение в момент включения проходит через нуль,имеемi(t) ≈ Imcosωt – Ime–δtcosω0t.Напряжение на емкостиОсновы теории цепей. Конспект лекций-188-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияU C (t ) =()11itdt=I m cos ωt − I me −δt cos ω0t dt =()∫∫CCIm1 e- δt=sin ωt + I m( −δ cos ω0t − ω0 sin ω0t ) =ωCC δ2 + ω02=ImIsin ωt − m e−δt sin ω0t ,ωCω0C(δω0 ) .⎡ ax⎤e axebxdx=abx+bbxcoscossin()⎢∫⎥.22a+b⎣⎦Отсюда следует, что в начальный период времени, когда δt << 1, максимальное значение тока в контуре примерно в два раза больше принужденной составляющей (аналогично кривым UC(t) на рис.
20.20). Максимумы напряжения на емкости оказываются много больше амплитуды принужденнойсоставляющей, так какImω0CIm= U Cm .ωCТаким образом, при включении гармонической ЭДС в контуре можетпоявиться напряжение очень большой величины (явление перенапряжения).В результате явлений сверхтока и перенапряжения в цепи возникает опасность электрического пробоя конденсатора или пробоя изоляции катушки.Контрольные вопросы1.
При каких условиях в RLC-цепи возникает апериодический процесс?2. При каких условиях в RLC-цепи возникает колебательный процесс?3. Как в плоскости комплексного переменного располагаются корнихарактеристического уравнения RLC-цепи?4. Чем определяется скорость нарастания колебаний в RLC-цепи?5. При каких условиях в RLC-цепи возникают биения?Основы теории цепей. Конспект лекций-189-ЛЕКЦИЯ 21.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТАПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙЦЕПИОбщая схема применения классического метода. Примеры примененияклассического метода расчета переходных процессов.Общая схема применения классического метода.Классическим называют метод расчета, в котором решение системыуравнений, описывающих переходные процессы в разветвленной цепи, находят в виде суммы принужденного и свободного решений (составляющих).Определение постоянных интегрирования, входящих в выражения для свободных составляющих, производят путем совместного решения системы алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободных составляющих токов (или напряжений) и их производных по времени, взятых приt = 0, т.
е.i(t) = iПР(t) + iCB(t),U(t) = UПР(t) + UCВ(t).Поскольку принужденная составляющая определяется воздействующейЭДС, то для ее нахождения можно использовать все известные методы расчета цепи в установившемся режиме, метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератораи др.Свободные составляющие токов и напряжений представляют собойобщее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений, составленных для цепи после коммутации.
Свободные составляющиетоков (напряжений) в цепи могут быть представлены в виде суммы экспоненциальных слагаемых, число членов которой равно числу корней характеристического уравнения.Для заданной цепи степень характеристического уравнения не зависитот выбора контуров, для которых составляются уравнения по второму законуКирхгофа. Степень характеристического уравнения равна числу независимыхначальных условий в послекоммутационной цепи после максимального ееупрощения (параллельно соединенные емкости заменяются одной емкостью,последовательно включенные индуктивности также заменяются одной индуктивностью и т. д.). Система уравнений составляется обычным образом:а) выбираются положительные направления токов в ветвях и б) по первому ивторому законам Кирхгофа составляются уравнения.
Если выбрать контурыОсновы теории цепей. Конспект лекций-190-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИОбщая схема применения классического методатак, чтобы порядок дифференциальных уравнений был наименьшим, то степень характеристического уравнения не будет превышать суммы порядковисходных уравнений системы.
При этом совершенно не обязательно приводить систему дифференциальных уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной функции (току или напряжению).Для свободных составляющих токов в ветвях в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, следует освободиться от принуждающихЭДС, т. е. взять правые части, равные нулю.Поскольку решение для свободных составляющих ищется в видеiСВ ( t ) = Ae ,pt()ptdiСВ d Ae== iСВ ,dtdtpt∫ iСВdt ∫ Ae dt =iСВ.pЗаменив в исходной системе дифференциальных уравненийLdiСВdtнаLpiСВ1iСВ dtC∫ина1iСВ ,pCполучим систему однородных алгебраических уравнений относительно свободных составляющих токов в ветвях.
Решив эту систему, получим для токав k-й ветвиikСВ =Δk,Δгде Δ – определитель системы; Δk – определитель, полученный заменой k-гостолбца в определителе системы на столбец из правых частей уравнений,равных нулю, т. е. Δk = 0. А это значит, что система уравнений имеет решение, отличное от нулевого решения, если определитель Δ = 0.Уравнение Δ(p) = 0 называют характеристическим уравнением системы. Единственным неизвестным в нем является р.Корни характеристического уравнения могут быть действительными икомплексными. Если корни комплексные, то они образуют комплексносопряженные пары. Действительные части всех корней отрицательны, чтофизически обусловлено затуханием свободных составляющих в пассивныхцепях с течением времени.Пусть характеристическое уравнение имеет n корней, тогдаniСВ ( t ) = ∑ Ak e pk t ,k =1где Ak – постоянная интегрирования.Основы теории цепей.
Конспект лекций-191-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИОбщая схема применения классического методаЧисло слагаемых в последнем выражении определяется степенью характеристического уравнения: а) уравнение первой степени имеет толькоодин действительный и отрицательный корень (цепи первого порядка RL иRC); б) уравнение второй степени может иметь два действительных отрицательных неравных корня (апериодический режим в RLC-цепи), два действительных равных отрицательных корня (критический режим) либо два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью (колебательный режим в RLC-цепи).
В последнем случае свободная составляющаяимеет видi ( t ) = A1e p1t + A2e p2t = A1e −δt e jωk t + A2e−δt e− jωk t == e −δt ( A1 cos ωk t + A1 j sin ωk t + A2 cos ωk t − A2 j sin ωk t ) == e −δt ⎡⎣( A1 + A2 ) cos ωk t + j ( A1 − A2 ) sin ωk t ⎤⎦ == e −δt ( M cos ωk t + N sin ωk t ) = Ae −δt sin ( ωk t + γ ) ,N.MВ общем случае сложная цепь может иметь все три вида корней характеристического уравнения и решение для свободных составляющих представляет собой совокупность экспонент и затухающих по экспоненте синусоид.Постоянные интегрирования находятся из системы уравнений, полученной (n – 1)-кратным дифференцированием выражения для свободной составляющей с учетом уравнений Кирхгофа для послекоммутационной цепипри t = 0 и независимых начальных условий, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
