ОТЦ лекции (1274753), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. из решения системы уравненийгде A = M 2 + N 2 , γ = arctgn⎧i0i0i0=−=⎪ СВ ( ) ( ) ПР ( ) ∑ Ak ;k =1⎪n⎪/′ ( 0 ) = i′ ( 0 ) − iПР′ ( 0 ) = ∑ pk Ak ;⎪ iСВ⎨k =1⎪−−−−−−−−−−−−−−−−−⎪n⎪ ( n−1)( n−1)( n-1)( 0 ) − iПР ( 0 ) = ∑ pkn−1 Ak .⎪ iСВ ( 0 ) = ik =1⎩Основы теории цепей. Конспект лекций-192-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИОбщая схема применения классического методаОпределив Аk, можем записать полное выражение для искомой величиU(t) = UПР(t) + UCB(t).ны i(t) = iПР(t) + iCB(t),Таким образом, расчет переходных процессов классическим методомпроизводится в следующем порядке:1.
Рассчитывают режим до коммутации, где находят значения токов виндуктивностях и напряжений на емкостях в момент времениt = 0. Используя законы коммутации, находят независимые начальные условия iL(0) и UC(0).2. Производят расчет принужденного режима после коммутации.3. Составляют систему уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации.4. Находят общее решение системы однородных уравнений (определяется характеристическое уравнение и находятся его корни). Определяют зависимые начальные условия из независимых начальных условий и системыуравнений Кирхгофа для t = 0.5.
Определяют постоянные интегрирования по начальным условиям.6. Записывают полное решение в виде i(t) = iПР(t) + iCB(t), U(t) == UПР(t) + UCB(t).Примеры применения классического методарасчета переходных процессов.Пример 1. В цепи (рис. 21.1) действует постоянная ЭДС Е = 100 В.R1ER3i1Ii3i2CR2R4IILt=0Рис. 21.1R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 50 Ом, R4 = 20 Ом, L = 1м ГН, C = 100 мкФ.Требуется определить закономерность изменения во времени тока iL = i3.Решение. 1. Независимыми начальными условиями будут ток iL(0–) == i3(0–) и напряжение на емкости UC(0–), определим их:Основы теории цепей. Конспект лекций-193-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовiL ( 0 − ) =E100== 1 A;R1 + R2 + R3 + R4 10 + 20 + 50 + 20U С ( 0 − ) = iL ( 0 − ) ⋅ ( R2 + R4 ) = 1 ⋅ 40 = 40 B.2.
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:1⎧=++ERRii2 dt ,()131⎪C∫⎪1di3⎪⎨0 = − ∫ i2 dt + R2i3 + L ,Cdt⎪⎪0 = i1 − i2 − i3.⎪⎩Для свободных составляющих токов эта система имеет вид1⎧⎪0 = ( R1 + R3 ) i1CB + C ∫ i2CB dt ,⎪1di3CB⎪,⎨0 = − ∫ i2CBdt + R2i3CB + LCdt⎪⎪0 = i1CB − i2CB − i3CB.⎪⎩Произведя алгебраизацию системы, получим:1⎧=++0RRii2CB ,()131CB⎪pC⎪1⎪i2CB + ( R2 + Lp ) i3CB ,⎨0 = −pC⎪⎪0 = i1CB − i2CB − i3CB.⎪⎩Данная система имеет решение, отличное от нулевого решения, еслиопределитель системы равен нулю, т.
е.Основы теории цепей. Конспект лекций-194-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовR1 + R3Δ( p) =011pC1−pC−10R2 + Lp = 0.−1Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение второй степени:( R1 + R3 )11+( R2 + Lp ) + ( R1 + R3 ) ( R2 + Lp ) = 0;pC pC( R1 + R3 ) LCp 2 + ( R1 + R3 ) R2 pC + Lp + R1 + R3 + R2 = 0;()60 ⋅ 10−3 ⋅ 10−4 p 2 + 60 ⋅ 20 ⋅ 10−4 + 10−3 p + 80 = 0;p1 = −680,p2 = −19480.3.
Общее решение для тока iLCB(t) имеет видiLСВ ( t ) = A1e p1t + A2e p2t .4. Найдем принужденную составляющую тока:iLПР =E100== 1,25 A .R1 + R2 + R3 805. На основании законов коммутации iL(0–) = iL(0) и UC(0–) = UC(0) опdiределим производную L в момент времени t = 0 (зависимое начальное усdtловие). Из второго уравнения системы для t = 0 следует−U С ( 0 ) + R2i3 ( 0 ) + Ldi3( 0 ) = 0,dtотсюдаОсновы теории цепей. Конспект лекций-195-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовU ( 0 ) − R2i3 ( 0 ) 40 − 20di3== 20 ⋅ 103 В/Гн.(0) = С−3dtL106.
Определим постоянные интегрирования A1 и A2:⎧ i3 ( t ) = i3ПР + A1e p1t + A2e p2t ,⎪⎨ di3 di3ПР=+ p1 A1e p1t + p2 A2e p2t ,⎪dt⎩ dt⎧i3 ( 0 ) = iL (0) = i3ПР + A1 + A2 ,⎪⎨ di3⎪⎩ dt ( 0 ) = 0 + p1 A1 + p2 A2 ,1 − 1, 25 = A1 + A2 ,⎧⎨3⎩20 ⋅ 10 = −680 A1 − 19480 A2 ,отсюда A1 = 0,805; A2= – 1,055.7.
Запишем выражение для искомого тока в видеi3(t) = i3ПР(t) + i3CB(t) = 1,25 + 0,805e–680t – 1,055e–19480t.i3(t), Ai3(t)i3ПР0,805 е–680t1,0t, мс–1,055 е–19480tРис. 21.2Графики принужденной, свободных оставляющих и полного тока приведены на рис. 21.2.Пример 2. Решить задачу, приведенную в примере 1, заменив постоянную ЭДС гармоническойe(t) = 100cos(ωt + 60°), где ω = 10000P/C.Основы теории цепей. Конспект лекций-196-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовРешение. 1. Определим независимые начальные условия UC(0–) и iL(0).На основании закона Ома для докоммутационной цепи имеемUC ( 0 −) =EZ,R1 + R3 + ZR2 + R4 + jωL.1 + ( R2 + R4 + jωL ) jωCПодставив значения R, L, C, E, получимгде Z =Z=(20 + 20 + j10410−341 + 20 + 20 + j10 10−3) j10 104−4≈ 1e −89° ,100e j 60°UC (0 −) =1e −89° = 1,64e j150° ,−89°10 + 50 + 1eIL (0 −) =UC (0 −)= 0,04e j137° .R2 + R4 + jωLМгновенные значения напряжения и токаUC(t) = 1,64cos(ωt + 150°),iL(t) = 0,04cos(ωt + 137°),для t = 0 UC(0–) = 1,64cos150° = –1,42 В,iL(0–) = 0,04cos137° = 0,03 A.Система уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации не зависитот вида ЭДС, следовательно, можно использовать систему из примера 1.
Характеристическое уравнение системы и общее решение для тока имеет такойже вид, как и в первом примере.Найдем принужденную составляющую тока i3ПР. Как и в цепи до коммутацииI LПР =E Z′1,⋅R1 + R3 + Z ′ R2 + jωLR2 + jωL.1 + ( R2 + jωL ) jωCПодставив значения R, L, C, E, получимгде Z ′ =Основы теории цепей. Конспект лекций-197-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовI LПР = 0,076 e− j 53° , iLПР ( t ) = 0,076cos ( ωt − 53° ) ,для t = 0 iLПР(0) = 0,04cos(–53°) = 0, 046 А.Зависимое начальное условиеdi3в момент t = 0 определим из второгоdtуравнения системыU ( 0 ) − R2i3 ( 0 ) −1, 42 − 20 ⋅ 0,03di3== −820 В/Гн.(0) = CdtL10−3Определим постоянные интегрирования А1 и А2:⎧ i3 ( t ) = i3ПР + A1e p1t + A2e p2t ,⎪⎨ di3 di3ПР=+ p1 A1e p1t + p2 A2e p2t ,⎪dt⎩ dtdi3ПР= −ω ⋅ 0,076sin ( ωt − 53° ) ,dtдля t = 0di3ПР( 0 ) = −104 ⋅ 0,076sin ( −53° ) = 610 B/Гн.dt⎧ i3 ( 0 ) = iL ( 0 ) = i3ПР ( 0 ) + A1 + A2 ,⎪⎨ di3di3ПР⎪⎩ dt ( 0 ) = dt ( 0 ) + p1 A1 + p2 A2 ,−0,3 = 0,046 + A1 + A2 ,⎧⎨⎩−820 = 610 − 680 A1 − 19480 A2 ,отсюда А1 = –0,1548, А2 = 0,0788.Полное выражение для искомого тока:i3(t) = 0,076cos(ωt – 53°) = –0,546e–680t + 0,0788e–19480t.Графики принужденной и свободных составляющих тока приведены нарис.
21.3.Основы теории цепей. Конспект лекций-198-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовi3(t), A0,0788 е–19480ti3ПРt, мсi3(t)–0,1548 е–680tРис. 21.3Следует отметить, что довольно часто при нахождении постоянных интегрирования можно в системе уравнений использовать не производную искомой величины по времени, а интеграл. Например, при нахождении тока через емкость имеем iC(0) = iCПР(0) + А1 + А2.Поскольку в систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа,производная di/dt не входит, используем интеграл от тока по времени.
Действительно,1iC dt = U C , для iCСВ = A1e p1t + A2e p2t ,∫C()11iCСВdt = ∫ A1e p1t + A2e p2t dt = U CСВ ( t ), ,∫CC1 A1e p1t 1 A2e p2t+= U CСВ ( t ) ,C p1C p21 A1 1 A2+= U CСВ ( 0 ) = U C ( 0 − ) − U CПР ( 0 ) .C p1 C p2Таким образом, система уравнений для расчета постоянных интегрированиядля t = 0⎧iC ( 0 ) − iCПР ( 0 ) = A1 + A2 ,⎪1 A1 1 A2⎨⎪U C ( 0 − ) − U CПР ( 0 ) = C p + C p .12⎩Основы теории цепей. Конспект лекций-199-ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИПримеры применения классического метода расчета переходных процессовАналогичное решение можно предложить, если в задаче необходимонайти напряжение на индуктивности:iL ( t ) =тогда1U L dt ,L∫⎧U L ( 0 ) − U LПР ( 0 ) = A1 + A2 ,⎪1 A1 1 A2⎨⎪iL ( 0 − ) − iLПР ( 0 ) = L p + L p .⎩12Контрольные вопросы1. Какой метод расчета переходных процессов называют классическим?2.
Какое уравнение называют характеристическим уравнением системы?3. Каковы особенности корней характеристического уравнения?4. Каковы основные недостатки классического метод расчета переходных процессов?Основы теории цепей. Конспект лекций-200-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТАПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПреобразование Лапласа. Изображение простейших функций. Основные свойства преобразования Лапласа. Нахождение оригинала по изображению. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Последовательностьрасчета в операторном методе.Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методомочень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования. В связи сэтим был разработан операторный метод расчета, основанный на понятииизображения функций времени.
В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой комплексной переменной p = c + jω и наоборот функции от р отвечает определенная функция времени t. Переход отодной функции к другой осуществляется с помощью преобразования Лапласа.Данный метод облегчает решение системы интегродифференциальныхуравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, а также позволяетосвободиться от нахождения постоянных интегрирования путем введенияначальных условий в уравнения исходной системы.Таким образом, идея метода заключается в том, что из области действительного переменного t решение переносится в область комплексного переменного p = c + jω, где операции дифференцирования и интегрированияболее просты.Операторный метод расчета сводится к четырем последовательнымэтапам.1.
От искомой функции f(t), называемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функции комплексного переменного р. Новую функцию обозначают через F(p) и называют изображением функции f(t).2. Систему уравнений Кирхгофа для оригиналов, согласно правилампреобразования функций, их производных и интегралов преобразуют в операторные алгебраические уравнения для изображений.3. Полученные операторные уравнения решают относительно F(p).4. От найденного изображения F(p) переходят к оригиналу f(t), который и является искомой функцией.Преобразование Лапласа.Пусть дана некоторая функция действительной переменной f(t) (напряжение или ток), удовлетворяющая следующим условиям:Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
