ОТЦ лекции (1274753), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Эти уравнения составляются на основеуравнений Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалови т. д.Например, пусть имеем цепь с последовательным соединением R, L, Cпри воздействии ЭДС e(t) (рис. 18.1). Если RLC-цепь подключается к источ-Основы теории цепей. Конспект лекций-154-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫПринужденный и свободный режимнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t ≥ 0 справедливоуравнениеRi + Lt=0di 1+idt = e ( t ) .dt C ∫RLCе( t )Рис. 18.1После дифференцирования по t получим уравнениеd 2idi i deL 2 +R + = .dt C dtdtСуществуют различные способы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
В частности, можно использоватьклассический метод, согласно которому решение уравнения находится в видесуммы двух функций: Y(t) = Y1(t) + Y2(t), где Y1(t) – частное решение, котороеопределяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемыйвнешними источниками (правой частью уравнения F(t) = de/dt), Y2(t) – общеерешение однородного дифференциального уравнения (при F(t) = 0), характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начальногоэлектрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные(собственные) составляющие.Таким образом, Y(t) = YПР(t) + YСВ(t).Для определения принужденной составляющей переходного процесса вцепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации.Для нахождения свободной составляющей YСВ(t) необходимо найтикорни характеристического уравненияLp 2 + Rp +1= 0.C(Действительно, если общее решение дифференциального уравненияищется в видеОсновы теории цепей.
Конспект лекций-155-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫПринужденный и свободный режимdiAe pt iptpti ( t ) = Ae , то= pAe = pi, ∫ idt = ∫ Ae dt == .dtppи, подставив выражения для тока, производной от тока по времени и интеграла в первое уравнение, получим характеристическое, имеющее два корняр1 и р2).Таким образом, решение для свободной составляющей тока представляет собой сумму двух экспонентpti ( t ) = A1e p1t + A2e p2t .В общем же случае в сложной электрической цепи переходные процессы описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнениемn-го порядка с постоянными коэффициентами:d nYd n−1YdYan n + an−1 n−1 + … + a1+ a0Y = F ( t ) ,dtdtdtгде Y(t) – искомая функция (ток или напряжение); ап, ап – 1, ...; а1, а0 – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; F(t) – известная функция, зависящая от внешнего воздействия.Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи при F(t) = 0:апрп + ап – 1рп–1 +...а1р + а0 = 0.Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет видnY ( t ) = A1e p1t + A2e p2t + … + An e pnt = ∑ Ak e pk t ,k =1где А1, А2, ..., Ап – постоянные интегрирования, определяемые по начальнымусловиям (значениям искомых токов или напряжений и их n – 1 – первыхпроизводных в начальный момент времени после коммутации).Так как начальный запас энергии в реактивных элементах цепи всегдаограничен, то при наличии потерь свободные составляющие с течением времени затухают, и при t, стремящемся к бесконечности, в цепи будет наблюдаться только принужденный режим.На основании законов коммутацииОсновы теории цепей.
Конспект лекций-156-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫПринужденный и свободный режимiL(0) = iLПР(0) + iLСВ(0), откуда iLСВ = iL(0–) – iLПР(0),UC(0) = UCПР(0) + UCСВ(0), = UCСВ(0) = UC(0–) – UCПР(0),т. е. начальные значения свободных составляющих определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков.
В цепях первого порядка накапливается энергия только одноговида (магнитная или электрическая), в цепях второго порядка накапливаетсяоба вида энергии. Сложные, разветвленные цепи – цепи более высокого порядка.Переходные процессы в RL-цепи.Если цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивленияи индуктивности (рис.
18.2), подключается к источнику внешнего напряжения момент времени t = 0, тогда для t ≥ 0 справедливо уравнениеRi + Ldi= e (t ),dtимеющее решение для тока в цепиi(t) = iПР(t) + iСВ(t), iСВ(t) = Aept,где р – корень характеристического уравнения R + Lp = 0, p = –R/L; A − постоянная интегрирования, iПР(t) определяется видом функции e(t).t=0Rе( t )iLРис. 18.2Основы теории цепей. Конспект лекций-157-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫВключение в RL-цепь постоянного напряжения.При включении постоянной ЭДС функция внешнего воздействия⎧0 t < 0e (t ) = ⎨⎩E t > 0имеет вид рис. 18.3.
Принужденную составляющую рассчитаем, предположив, что в цепи установился постоянный ток, тогдаi (t ) =E+ A e pt , гдеRE= iпр ( t ) .RНайдем постоянную интегрирования А. Если iL(0–) = 0, i(0) + iL(0–) = 0 == iПР(0) + iСВ(0) = (Е/R) + A, A = –E/R.U, iЕе( t )URЕ/RЕi UL0t0tiсв–Е/RРис. 18.3Таким образом, i ( t ) =(iпрРис. 18.4)E−Rt1− e L .R(Напряжение на сопротивлении U R ( t ) = Ri = E 1 − e− RL t).di−Rt= Ee L .dtОчевидно, что UR(0) = 0, а UL(0) = E, так как при t = 0 ток еще не течети действие внешнего источника компенсируется ЭДС самоиндукцииНапряжение на индуктивности U L ( t ) = LeL = − Ldi, eL ( 0 ) = E .dtСвободный ток в начальный момент имеет максимальное по абсолютной величине значение, а затем непрерывно уменьшается (рис. 18.4).Основы теории цепей.
Конспект лекций-158-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫВключение в RL-цепь постоянного напряженияЧтобы оценить скорость нарастания тока в цепи, вычислим производную di/dt при t = 0. Дифференцируя выражение для полного тока по t,получимdi E R − RL te ,=dt R LоткудаdiER E 1=,(0) =dtR L R τLгде τL = L/R – постоянная времени RL-цепи.Размерность постоянной времени [L/R] = [Гн/Ом] = [Ом С/Ом] = [С],([Гн] = [U/i/t] = [В/А/С]).Очевидно, что чем меньше τ, тем быстрее возрастает ток в цепи(рис. 18.5).За время t = τL переходный ток возрастает до величины i(τL) = I(1 – e–1) ≈≈ 0,623I, где I = E/R, свободный ток падает от начального значения в е раз:iCB(τL) = Ie–1 ≈ 0,368I, где е = 2,718.i(t)ЕRτ1τ2 > τ1t0Рис.
18.5Практически можно считать, что переходный процесс заканчиваетсячерез t = (4 – 5) τL, при t = 5 τL ток в цепи достигает более 0,99 от установившегося значения.Для нахождения отклика цепи на сигнал П-образной формы представим прямоугольный импульс на входе в виде двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину τи (рис. 18.6) и найдем откликкак алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности.Тогда для напряжений на элементах будем иметь графики, представленныена рис. 18.7.Основы теории цепей.
Конспект лекций-159-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫВключение в RL-цепь постоянного напряженияi(t)URЕЕЕ0 е( t )τи0τиt0τиtULtЕЕτи0tЕРис. 18.6Рис. 18.7Короткое замыкание RL-цепи.Предположим, что в цепи (рис. 18.8), работающей в установившемсярежиме от источника ЭДС е(t), замыкается ключ. К моменту коммутации виндуктивности протекал ток i(0–) и в магнитном поле катушки запасенаэнергия WL. Очевидно, что в таком случае в цепи будет только свободныйпроцесс, обусловленный возникновением ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению магнитного поля, т.
е. ток, протекающий после коммутации,i(t) = iCB(t). Вынуждающей причины нет, и нет принужденного тока. Этопример режима цепи, в котором свободная составляющая тока является неформальной математической величиной, обусловленной методом решениядифференциального уравнения, а действительным, наблюдаемым переходным током.Так как принужденная составляющая отсутствует, тоi ( t ) = iСВ ( t ) = Ae−tτL.Из условия i(0) = iCB(0) получаем А = iL(0–), а переходный токi ( t ) = iL ( 0 − ) e−tτL.Напряжение на сопротивленииU R ( t ) = Ri ( t ) = R iL ( 0 − ) eОсновы теории цепей. Конспект лекций−tτL.-160-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫКороткое замыкание RL-цепиНапряжение на индуктивностиt−diU L ( t ) = L = − R iL ( 0 − ) e τL .dtОчевидно, что для t > 0 UR(t) + UL(t) = 0.
(рис. 18.9).Rе( t )Ri(0–)i(0–)Rt=0i(t)U, iURiL0τL2τLtUL–Ri(0–)Рис. 18.8Рис. 18.9За время переходного процесса начальная энергия, запасенная в индуктивности, будет расходоваться на тепловые потери в сопротивлении R. Величина этих потерь∞∞ −2 tτLW = ∫ Ri ( t ) dt = i ( 0 − ) ∫ e2020Ldt = − Ri ( 0 − )e2R2−2t ∞τL0Li 2 ( 0 − )== WL .2Включение в RL-цепь гармонического напряжения.Если на вход RL-цепи включить гармоническую ЭДС e(t) = Emcos(ωt + ψ),то принужденная составляющая тока будет представлять собой установившиеся колебанияiПР ( t ) = I m cos(ωt + ψ − ϕ),гдеIm =Em;|Z |2⎛ ωL ⎞Z |= R 2 + ( ωL ) , ϕ = arctg ⎜⎟.⎝ R ⎠Постоянную интегрирования в этом случае находим из условия iL(0–) == iПР(0) + iCB(0), 0 = Imcos(ψ – φ) + A,Основы теории цепей.
Конспект лекций-161-ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫВключение в RL-цепь гармонического напряженияA = –Imcos(ψ – φ).Следовательно, полный ток в цепи при t ≥ 0 определяется выражениемt⎡− ⎤τLi ( t ) = I m ⎢cos ( ωt + ψ − ϕ ) − cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ .⎢⎣⎥⎦Напряжение на сопротивленииt⎡− ⎤τLU R (t ) = Ri ( t ) = RI m ⎢cos ( ωt + ψ − ϕ ) − cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ .⎢⎣⎥⎦Напряжение на индуктивностиt⎡− ⎤diτLU L ( t ) = L = I m ⎢ −ωL sin ( ωt + ψ − ϕ ) + R cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ .dt⎢⎣⎥⎦Из полученных выражений следует, что соотношения между принужденными и свободными составляющими токов и напряжений на R и L определяются начальной фазой генератора ψ и фазовой характеристикой цепи φ.Если ψ – φ = π/2 (принужденная составляющая тока проходит черезнуль в момент включения), то свободные составляющие i и U отсутствуют ив цепи сразу же после включения устанавливается стационарный режим(рис. 18.10).Максимально возможные величины принужденных и свободных составляющих тока и напряжений в цепи будут наблюдаться, если ψ = φ илиψ – φ = ±π (рис.
18.11). Если постоянная времени цепи велика (τL >> T, T –период колебаний) и, следовательно, свободная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока(рис. 18.12).Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
