ОТЦ лекции (1274753), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Конспект лекций-172-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряжения.При подключении источника постоянного напряжения iПР(t) = 0, таккак постоянный ток через конденсатор не течет:di= p1 A1e p1t + p2 A2e p2t .dtdidiEДля t = 0 e ( 0 ) = Ri ( 0 ) + L ( 0 ) + U C ( 0 ) ,(0) =dtdtLi ( t ) = iСВ ( t ) = A1e p1t + A2e p2t ,(так как iL(0) = iL(0–) = 0, UC(0) = UC(0–) = 0).⎧ A1 + A2 = 0,⎪Таким образом, ⎨E⎪⎩ p1 A1 + p2 A2 = L ,E,откуда A1 = − A2 =L ( p1 − p2 )Eследовательно, i ( t ) =e p1t − e p2t .L ( p1 − p2 )В зависимости от соотношения δ и ω0 (ω0 – резонансная частота) возможны три случая:ρRL1>= 2ρ, Q = < 0,5 (апериодический процесс)., R>2а) δ > ω0 ,CR2LLCВ плоскости комплексного переменного корни характеристическогоуравнения лежат на вещественной оси (рис. 20.2).
Ток в цепи представляетсобой сумму двух экспонент (рис. 20.3).(Imp2p10 Re)A10i(t)A1e p1tiA2 e p2ttA2 = –A1Рис. 20.2Рис. 20.3Основы теории цепей. Конспект лекций-173-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияНапряжения на элементах:U R = Ri ( t ) =UL = L()ERe p1t − e p2t ,L ( p1 − p2 )()diE=p1e p1t − p2e p2t ,dt ( p1 − p2 )⎡⎤1U C = E − U R − U L = E ⎢1 +p2e p1t − p1e p2t ⎥ .⎣ ( p1 − p2 )⎦()Графики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис.
20.4.U(t)EUCURt0ULРис. 20.4U(t)EUCE–UURU0ULРис. 20.5Основы теории цепей. Конспект лекций-174-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияЕсли в момент коммутации емкость была заряжена до напряжения U,то для t = 0diE = L +U,dtdiE −UE −Uоткудаи A1 = − A2 =,(0) =dtLL( p1 − p2 )E −Uследовательно, i ( t ) =e p1t − e p2t .L ( p1 − p2 )Кривые зависимостей напряжений на элементах цепи при ненулевыхначальных условиях показаны на рис. 20.5.б) δ = ω0, R = 2ρ, Q = 0,5 (критический режим).p1,2 = –δ, в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим()()EEe p1t − e p2t = te −δt ,p1 → p2 L ( p − p )L12i ( t ) = limпри ненулевых начальных условияхE −UE − U −δte p1t − e p2t =tep1 → p2 L ( p − p )L12i ( t ) = lim()(действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по p1 полуϕ′ ( p1 )Ete − p1t E −δtчаем i ( t ) = lim= lim= te ).p1 → p2 =−δ ψ′ ( p )p1 → −δLL1Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от временианалогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельнымусловием существования в цепи апериодических процессов.в) δ < ω0, R < 2ρ, Q > 0,5, p1,2 = –δ ± jωCB (колебательный процесс).Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис.
20.6).ωСВ = ω02 − δ2 – угловая частота свободных (собственных) колебаний.Основы теории цепей. Конспект лекций-175-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряжения+jр1iE − δtеLωСВjωСВ–δ0+t0–jωСВр2−Рис. 20.6E − δtеLωСВРис. 20.7При p1,2 = –δ ± jωCBi (t ) ==()E−δ+ jωСВ )t−δ− jωСВ )t− e(=e(2 jωСВ LEe −δt ( cos ωСВt + j sin ωСВt − cos ωСВt + j sin ωСВt ) =2 jωСВ L=EωСВ Le−δt sin ωСВt.Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 20.7).Напряжение на элементах цепи:U R = Ri =UL = LER −δte sin ωСВt ,ωСВ Ldiω= − 0 Ee −δt sin ( ωСВt − ϕ ) ,ωСВdt⎡⎤ωU C = E − U R − U L = E ⎢1 − 0 e −δt sin ( ωСВt + ϕ ) ⎥ ,⎣ ωСВ⎦где ϕ = arctgωСВ.δОсновы теории цепей.
Конспект лекций-176-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияГрафики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис. 20.8.UUCEURt0ULТСВРис. 20.8TCB =2π2π=.ωCBω02 − δ2Очевидно, что чем меньше δ, тем медленнее затухают колебания в цепи.Скорость затухания колебаний оценивают величиной e δTСВ – декрементом затухания, где TCB – период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания ne δTСВ = δTСВ .Учитывая, чтоωСВ = ω0 1 − ( δ ω0 ) = ω0 1 − ( R 2 Lω0 ) = ω0 1 − (1/ 2Q ) ,222при высокой добротности ωCB ≈ ω0 и TCB ≈ T0 логарифмический декремент затуханияRRω02πTСВ πδТ СВ =TСВ =TСВ =≈ .Q2L2 ω0 L2QTВремя практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты e–δt, которое составляет( 4 − 5)12L= ( 4 − 5)= ( 4 − 5 ) τK ,δRгде τK – постоянная времени контура. За время переходного процесса tПР укладывается N периодов свободной составляющей, причемОсновы теории цепей.
Конспект лекций-177-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияN=tПР ( 4 − 5 ) 2 Lω0 ( 4 − 5 ) 2QωСВ==≈ Q.Т СВ2πω0TСВ Rω0Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура.Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачковнапряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса,найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликовна каждый из скачков в отдельности.Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса (R = 300 Ом, L = 25 мГн, C = 10 нФ) нарис. 20.9, для колебательного процесса (R = 300 Ом, L = 70 мГн, C = 40 нФ)на рис.
20.10.U, ВUВХτиt, мксРис. 20.9Основы теории цепей. Конспект лекций-178-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияU, ВUВХτиt, мсРис. 20.10В общем же случае форма тока в цепи определяется расположениемкорней характеристического уравнения на комплексной плоскости(рис. 20.11).ImImp2p10 Rep2 p1Im0 Rep2 = p1 = –δ 0 Reiii0t0Апериодический режимR >> 2ρtR > 2ρ0tКритический режимR = 2ρРис. 20.11Основы теории цепей. Конспект лекций-179-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в RLC-цепь постоянного напряженияImp1ImjωСВp1jωСВ–jωСВip2 –jωСВ = –jω0–jωСВp2i0it 0t 0R < 2ρImjωСВ = jω00 Re0 Re0 Rep2p1tКолебательный режимR << 2ρR→0Рис. 20.12На рис.
20.12 показано изменение переходного процесса при изменениисопротивления потерь в контуре (индуктивность и емкость не меняются).Очевидно, что чем меньше сопротивление R, тем выше частота свободныхколебаний в контуре и в пределе при стремлении R к нулю частота свободных колебаний стремится к резонансной частоте контура.Включение в цепь RLC гармонического напряжения.Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения.Пусть при t ≥ 0 внешняя ЭДС имеет вид e(t) = Emcos(ωt + ψ), тогда принужденный токiПР ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) , где I m =21 ⎞⎛Z = R 2 + ⎜ ωL −⎟ ,Cω⎝⎠ϕ = arctgОсновы теории цепей.
Конспект лекцийEm,ZωL −R1ωC .-180-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияПолное решение для токаi ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) + A1e p1t + A2e p2t .При нулевых начальных условиях iL(0–) = 0, UC(0–) = 0 для t = 0имеем i(0–) = iL(0–) = 0 = iПР(0) + iCB(0).I m cos ( ψ − ϕ ) + A1 + A2 = 0,e ( 0 ) Emdi=cos ψ,(0) =dtLLdididi( 0 ) = ПР ( 0 ) + СВ ( 0 ) = −ωI m sin ( ψ − ϕ ) + p1 A1 + p2 A2 ,dtdtdt⎧I m cos ( ψ − ϕ ) + A1 + A2 = 0,⎪⎨Em⎪⎩−ωI m sin ( ψ − ϕ ) + p1 A1 + p2 A2 = L cos ψ.ОтсюдаA1 =ωp2Emcos ψ,I m sin ( ψ − ϕ ) +I m cos ( ψ − ϕ ) +p1 − p2p1 − p2L ( p1 − p2 )A2 = −ωp1Emcos ψ.I m sin ( ψ − ϕ ) −I m cos ( ψ − ϕ ) −p1 − p2p1 − p2L ( p1 − p2 )Подставив постоянные интегрирования A1 и A2 в выражение для полного тока, получимi ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) ++()Imcos ( ψ − ϕ ) p2e p1t − p1e p2t +p1 − p2⎡⎤ωLEmsin ( ψ − ϕ ) ⎥ e p1t − e p2t .⎢cos ψ +L ( p1 − p2 ) ⎣Z⎦()Кривые зависимости тока от времени представляют собой сумму кривых iПР и iCB.
В зависимости от вида свободных составляющих (расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости) ичастоты внешней ЭДС возможны различные случаи. На рис. 20.13, а, б приведены формы тока в цепи при R > 2ρ (апериодический процесс), когда период принужденного тока меньше (рис. 20.13, а) и (рис. 20.13, б) больше длительности свободной составляющей тока.Основы теории цепей. Конспект лекций-181-ЛЕКЦИЯ 20.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияПри R < 2ρ форма переходного тока зависит от соотношения частотывнешней ЭДС и частоты свободных колебаний (на рис. 20.13, в приведенаформа тока для ω < ωCB, на рис. 20.13, г – для ω > ωCB).i(t) = iПР(t) + iСВ(t)i(t)iПР(t)i(t)i(t) = iПР(t) + iСВ(t)iПР(t)iСВ(t)iСВ(t)00ttаi(t)i(t)i(t) = iПР(t) + iСВ(t)iПР(t)бi(t) = iПР(t) + iСВ(t)iСВ(t)iПР(t)iСВ(t)0t0tвгРис. 20.13Чаще всего на практике применяют колебательные контуры с малымипотерями (R << ρ). В этом случаеp1 − p2 = 2 jωСВи e p1t − e p2t = 2 je −δt sin ωCBt ,p2e p1t − p1e p2t = ( −δ − jωСВ ) e(−δ+ jωСВ )t− ( −δ + jωСВ ) e(−δ− jωСВ )t=2= 2 j ( δ sin ωСВt + ωСВ cos ωСВt ) e −δt = −2 j ωСВ+ δ2 ( cos ωСВt sin ϕC ++ sin ωСВt cos ϕC ) e −δt = −2 jωСВe−δt sin ( ωСВt + ϕC ) ,ϕC = arctgωСВ.δОсновы теории цепей.
Конспект лекций-182-ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLCВключение в цепь RLC гармонического напряженияСледовательно,i ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) − I m+ω0cos ( ψ − ϕ ) e −δt sin ( ωСВt + ϕC ) +ωСВ⎤Em ⎡ωLsin ( ψ − ϕ ) ⎥ e −δt sin ωСВt.⎢cos ψ +ZωСВ L ⎣⎦Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебанийвнешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний.Чаще всего колебательный контур с малыми потерями (δ << ω0) работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Еслиψ = π/2, т. е.
напряжение источника ЭДС в момент включения проходит черезнуль, то ωCB ≈ ω0 ≈ ω, |Z| = R, φ = 0, φC = π/2,i (t ) ≈()Em1 − e −δt sin ω0t.RИз последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контурес течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь кEпринужденной составляющей m (рис. 20.14).RiIm =EmR0tРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
