ОТЦ лекции (1274753), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Конспект лекций-201-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПреобразование Лапласа1. Функция f(t) со своими производными непрерывна на всей оси t.Возможны исключения, а именно: наличие конечного числа точек разрывапервого рода.2. Функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t:f(t) = 0 при t < 0.3. Функция f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции: существуют постоянные числа М > 0 и C0 такие, что для всех tf (t ) |≤ MeС0t .Следует заметить, что практически во всех инженерных задачах функция f(t) отвечает поставленным условиям.Из курса математики известно, что если f(t) имеет ограниченный рост,то интеграл∞∫ f (t ) e− ptdt0сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного p = c + jω в полуплоскости Rep = с > c0 (рис.
22.1).jωf(t)+c0Ec0t0Рис. 22.1Рис. 22.2∞F ( p ) = ∫ f ( t ) e − pt dt ,0где f(t) – оригинал; F(p) – изображение:F(p)гдеf(t), f(t)F(p),– символ соответствия между оригиналом и изображением по Лапласу.Основы теории цепей. Конспект лекций-202-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВИзображение простейших функций.1. Изображение постоянной величины (рис.
22.2)⎧ 0 при t < 0,f (t ) = ⎨⎩ E при t > 0.∞∞Ee − pt− pt− ptF ( p ) = ∫ f ( t ) e dt = ∫ E e dt = −p00∞=0EE, E i =i .ppЗная изображение постоянной, можно записать изображение единичной функции⎧0 при t < 0,11( t ) = ⎨1 i =i .p⎩1 при t > 0,2. Изображение показательной функции f ( t ) = eαt∞F ( p ) = ∫ f (t ) e0− pt∞dt = ∫ e eαt − pt0e αt i = i∞dt = ∫ e− t ( p −α )0∞11− t p −α,dt = −e ( ) =−αp−αp01при Rep > Reα.p−αПоложив в последней формуле α = jω, получимf ( t ) = e j ωt i = i1.p − jωДалее можно найти изображение комплекса гармонического тока и напряженияI me jωt +ψ = I me jωt i =iImUm, U m e j ωt i = i.p − jωp − jωОсновные свойства преобразования Лапласа.Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т.
е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот.Основы теории цепей. Конспект лекций-203-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования ЛапласаСвойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображениеа f(t)а F(p).Действительно,∞F ( p ) = ∫ a f (t ) e0− pt∞dt = a ∫ f ( t ) e − pt dt = aF ( p ) .0Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этойсуммы равно сумме изображений этих функций (свойство линейности преобразования Лапласа: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений)n∑ ak f k ( t )i=k =1in∑ ak Fk ( p ) .k =1Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t)имеет изображение F(p), требуется найти изображение производной этойфункции.
Пусть f΄(t) = φ(t). Найти Ф(р) φ(t).∞Ф ( p ) = ∫ φ(t ) e− pt0∞dt = ∫ f ′ ( t ) e − pt dt .0Интегрируя по частям, получимФ( p ) = e− pt∞∞f ( t ) − ( − p ) ∫ f ( t ) e − pt dt = − f ( 0 ) + pF ( p ) ,0( ∫VdU = VU − ∫UdV ,0V =e− pt , dU = f ′ ( t ) dt ,dV = − pe- pt , U = ∫ f ′ ( t ) dt = f ( t ))f ′ ( t ) i =i pF ( p ) − f ( 0 ) .Вычисление производной при нулевых начальных условиях [f(0) = 0]соответствует умножению изображения функции на множитель p:f ′ ( t ) i =i pF ( p ) ,f k ( t ) i =i p k F ( p ) .Основы теории цепей.
Конспект лекций-204-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования ЛапласаТеорема интегрирования. Известно изображение некоторой функцииf(t). Требуется определить изображение функции, являющейся интеграломtфункции f(t). Пусть ψ ( t ) = ∫ f ( t ) dt , тогда f ( t ) = ψ′ ( t ) i =i pψ ( p ) − ψ ( 0 ) ,0⎛0⎞если ψ ( 0 ) = 0 ⎜ ∫ f ( t ) dt = 0 ⎟ , то⎜⎟⎝0⎠f ( t ) = ψ′ ( t ) i =i pψ ( p ) ,F ( p) tF ( p), ∫ f ( t ) dt i =i.( f ) i = F ( p ) , F ( p ) = pψ ( p ) , ψ ( p ) =pp0Многократному интегрированию соответствует общее выражениеittt000i∫ dt ∫ dt … ∫ f ( t ) dt i=F ( p).pnnТеорема запаздывания.
Теорема позволяет определить изображениефункции f(t – t1), отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправовдоль оси времени на t1 (рис. 22.3)при⎧0f ( t − t1 ) = ⎨⎩ f ( t − t1 ) приt < t1 ,t > t1.f(t)f(t)f(t – t1)tt10Рис. 22.3∞Ф ( p ) = ∫ f ( t − t1 ) e0− pt∞dt = ∫ f ( t − t1 ) e− pt dt ,t1так как в интервале (0 – t1) функция f(t – t1) = 0.Основы теории цепей. Конспект лекций-205-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования ЛапласаВведем новую переменную τ = t – t1, тогда t = τ + t1, dt = dτ.∞Ф ( p ) = ∫ f ( t − t1 ) e− pt=e∞− p τ+tdt = ∫ f ( τ ) e ( 1 ) d τ =0t1− pt1∞∫ f ( τ) e− pτd τ = e − pt1 F ( p ) .0Таким образом, запаздывание функции на время t1 соответствует умножению ее изображения на e− pt1 .Теорема смещения.
Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функциюe±αt, где α – постоянное число.Пусть новая функция имеет вид ψ(t) = f(t)e±αt.Изображение∞Ф ( p ) = ∫ ψ (t ) e0− pt∞− p∓α tdt = ∫ f ( t ) e ( ) dt = F ( p ∓ α ) .0Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальныймножитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на p ∓ α .Теорему смещения очень удобно применять при определении изображения экспоненциально убывающих функций.
Например, необходимо найтиизображение функции ψ(t) = sinωte–αt.Im, тогдаВыше было показано, что I me jωt +ψ = I me jωt i =ip − jωe jωt = cos ωt + j sin ωt i =i1p + jω= 2.p − jω p + ω2Разделив вещественную и мнимую части, получимcos ωt i =ipω, sin ωt i =i 2.2p +ωp + ω22Следовательно,Основы теории цепей.
Конспект лекций-206-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования Лапласаψ ( t ) sin ωte −αt i =iω( p + α)22+ω.Теорема умножения изображений (теорема свертки – интеграл Бореля) заключается в следующем. Еслиf1(t)тоF1(p), f2(t)Ф ( p ) = F1 ( p ) F2 ( p ) i =iF2(p),tt00∫ f1 ( τ ) f2 ( t − τ ) d τ = ∫ f1 ( t − τ ) f 2 ( τ ) d τ.Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений.
Если изображение искомойфункции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислитьоригинал исходной функции. Например, определим оригинал функции, изображение которой имеет видФ( p) =1( p + α)2.Изображение Ф(р) можно представить как произведение двух изображений:11Ф( p) =⋅= F1 ( p ) F2 ( p ) ,p+α p+αF1 ( p ) = F2 ( p ) =1i −αt.i= ep+αСледовательно,tψ (t ) = ∫ e−ατ −α( t −τ )edτ = e0−αtt∫ d τ = te−αt.0Теорема подобия позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба ее аргумента. Пусть известно изображениефункции f(t)F(p).
Определим изображение функции φ(t) = f(at), где а – некоторая положительная постоянная.∞Ф ( p ) = ∫ f ( at ) e − pt dt .0Основы теории цепей. Конспект лекций-207-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования ЛапласаОбозначим at = x, тогда dt =1dx иa∞Ф( p) = ∫ f ( x)p− xae011 ⎛ p⎞dx = F ⎜ ⎟ .aa ⎝a⎠Окончательно имеем1 ⎛ p⎞F⎜ ⎟.a ⎝a⎠Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное числоа приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на тоже число а.Предельные соотношения устанавливают существование равенствамежду значениями функции времени и ее изображения в начале координат ив бесконечно удаленной точке.f (a, t ) i =ilim f ( t ) = lim pF ( p ) , lim f ( t ) = lim pF ( p ) .t →0p →∞t →∞p →0Ниже будет показано, что комплексную переменную р можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту, мнимая часть которой представляет собой угловую частоту некоторого гармонического колебания, авещественная характеризует изменение огибающей этого колебания.
Приняввещественную часть р равной нулю, получим из предельных соотношенийсвязь между функцией времени и частотной характеристикой в начале координат и при бесконечных значениях t и jω.Проиллюстрируем эту связь на примере прохождения импульсногосигнала через усилитель с ограниченной полосой пропускания (рис. 22.4).К(ω)UВХ(t)ВЧНЧ0τиt0ωUВХ(t)б.в.м.вt0Рис. 22.4Основы теории цепей. Конспект лекцийτи-208-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВОсновные свойства преобразования ЛапласаТаким образом, характер изменения функции времени в области малыхвремен определяется частотной характеристикой в области высоких частот инаоборот: характер изменения в области больших времен определяется частотной характеристикой в области низких частот.Нахождение оригинала по изображению.Существует три способа перехода от изображения к оригиналу.Первый способ – с помощью обратного преобразования Лапласа.
Переход от изображения к оригиналу выполняется с помощью так называемогоинтеграла Римана – Мелина, являющегося формулой обратного преобразования Лапласа:c + j∞1f (t ) =F ( p ) e pt dp .∫2πj c − j∞Для того чтобы функция F(p) являлась изображением функции f(t), необходимо выполнение следующих условий: а) F(p) аналитична в полуплосc + j∞кости Rep > C0; б) стремится к нулю при |p| → ∞; в) интеграл∫ F ( p ) dp аб-c − j∞солютно сходится.Практически чаще применяют теорему о вычетах, согласно которойоригиналом F(p) является функцияf ( t ) = ∑ Re s F ( p )e pt(t > 0) ,f (t ) = 0( t < 0).pkТаким образом,c + j∞11ptf (t ) =Fpedp=()2πj c −∫j∞2πj∫ F ( p)eptdp = ∑ Re s F ( p )e pt .pk(Интегрирование вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси ирасположенной на расстоянии с > C0, заменяется интегрированием по замкнутому контуру, охватывающему все полюсы функции F(p)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
