ОТЦ лекции (1274753), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Конспект лекций-216-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПоследовательность расчета в операторном методе−0100 ( p cos ϕ − ω sin ϕ ) U C ( 0 )−pp 2 + ω2U C (0)+ LiL (0)p01pCR1 + R3 )1I3 ( p ) =1pC−1R1 + R3 )01==1pC1−pC−10R2 + pL−1−18 ⋅ 104 p 3 − 85,3 p 2 + 32,4 ⋅ 104 p − 171 ⋅ 108(p2)(+ ω2 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104)=F1 ( p ).F2 ( p )Перейдем от изображения к оригиналу.F2(p) имеет корни p1 = –680, p2 = –19480, p3,4 = ±j10000.Согласно теореме разложенияF ( p) if ( t ) i= 1i=F2 ( p )iF1 ( pk ) e pk t∑ F′( p ) .k =1k2nF1 ( p1 ) = −18 ⋅ 104 ( −680 ) − 85,3 ( −680 ) + 32,4 ⋅ 104 ( −680 ) − 171 ⋅ 108 =32= −174 ⋅ 108 ;F1 ( p2 ) = −18 ⋅ 104 ( −19480 ) − 85,3 ( −19480 ) + 32, 4 ⋅ 104 ( −19480 ) − 171 ⋅ 108 =32= −424 ⋅ 108 ;(F1 ( p3 ) = −18 ⋅ 104 j104)3(− 85,3 j104)2()+ 32,4 ⋅ 104 j104 − 171 ⋅ 108 == 1010 e j150° ;Основы теории цепей.
Конспект лекций-217-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПоследовательность расчета в операторном методе(F1 ( p4 ) = −18 ⋅ 104 − j104)3(− 85,3 − j104)2()+ 32, 4 ⋅ 104 − j104 − 171 ⋅ 108 == 1010 e − j150° ;F2 ( p ) = 60 ⋅ 10−3 p 4 + 1210 p 3 + 680 ⋅ 104 p 2 + 1210 ⋅ 108 p + 80 ⋅ 1012 ;F2′ ( p ) = 4 ⋅ 60 ⋅ 10−3 p 3 + 3 ⋅ 1210 p 2 + 2 ⋅ 680 ⋅ 104 p + 1210 ⋅ 108 ;F2′ ( p1 ) = 0,24 ( −680 ) + 3630 ( −680 ) + 1360 ( −680 ) + 1210 ⋅ 108 = 11,3 ⋅ 1010 ;32F2′ ( p2 ) = 0,24 ( −19480 ) + 3630 ( −19480 ) + 1360 ( −19480 ) + 1210 ⋅ 108 =32= −0,54 ⋅ 1012 ;(F2′ ( p3 ) = 0,24 j104)3((+ 3630 j104F2′ ( p4 ) = 0,24 − j104)3)2()+ 1360 j104 + 1210 ⋅ 108 = 2,62 ⋅ 1011 e j 203° ;(+ 3630 − j104)2()+ 1360 − j104 + 1210 ⋅ 108 == 2,62 ⋅ 1011 e j157° ;1010 e j150°1010 e − j150°174 ⋅ 108 −680tj10000t− j10000ti3 ( t ) =e+e−e+2,62 ⋅ 1011 e j 203°2,62 ⋅ 1011 e j157°11,3 ⋅ 1010−424 ⋅ 108 −19480t+e= 0,038cos (10000t − 53° ) + j 0,038sin (10000t − 53° ) +−0,54 ⋅ 1012+0,038cos (10000t + 307° ) − j 0,038sin (10000t + 307° ) − 0,15e −680t + 0,79e −19480t == 0,076cos (10000t − 53° ) − 0,15e −680t + 0,79e −19480t .Полученный результат совпадает с решением в примере 2.Основы теории цепей.
Конспект лекций-218-ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВКонтрольные вопросы1. На чем основан операторный метод расчета переходных процессов?2. Что называется преобразованием Лапласа?3. Что такое оригинал и что такое изображение функции по Лапласу?4. Каковы основные свойства преобразования Лапласа?5. Какие методы перехода от изображения к оригиналу используютсяпри расчете переходных процессов в простых цепях?Основы теории цепей.
Конспект лекций-219-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХЕдиничная функция и переходная характеристика цепи. ИнтегралДюамеля. Импульсная функция и импульсная характеристика. Интеграл наложения. Связь между переходной и импульсной характеристиками. Связьинтеграла Дюамеля с интегралом наложения.Рассмотренные выше методы расчета переходных процессов практически не пригодны при сложных формах входных сигналов.
В этом случаеприменяют метод наложения, который заключается в разложении заданноговходного воздействия на подобные слагаемые более простой формы, для которых легко найти отклик цепи.Определив отклик цепи на каждую элементарную составляющую, исуммируя эти отклики, находим отклик цепи на все сложное воздействие.Отдельные составляющие целесообразно выбирать такими, чтобы онибыли простыми математически, и расчет откликов, вызываемых ими, был быне сложен.
Элементарные составляющие и вызываемые ими отклики выражают с помощью двух функций: а) единичной функции (единичного скачка);б) импульсной функции (дельта функции).Единичная функция и переходная характеристика цепи.Единичную функцию определяют как функцию времени, равную нулюпри t < 0 и равную единице при t > 0 (рис. 23.1, а):⎧0 при t < 0,⎧0 при t < t1 ,1( t ) = ⎨1( t − t1 ) = ⎨⎩1 при t > 0,⎩1 при t > t1.ll(t – t1)l(t)lt00аtt1бРис.
23.1С помощью единичной функции процесс включения напряжения любой формы e(t) = f(t) на вход цепи в момент времени t = 0 может быть представлен в виде произведения 1(t) f(t). Это произведение равно нулю при t < 0и равно f(t) при t > 0.Основы теории цепей. Конспект лекций-220-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХЕдиничная функция и переходная характеристика цепиЕсли входной сигнал подается на цепь не в момент t = 0, а с запаздыванием на t1 (рис.
23.1, б), то его следует записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом 1(t – t1) f(t).Отклик цепи на единичную функцию называется переходной характеристикой цепи и обозначается h(t) (единичную функцию можно получить навходе цепи включением в момент t = 0 или t = t1 источника с напряжением 1 В).Если воздействие запаздывает на некоторое время, то на такое же время запаздывает и отклик цепи. Если воздействие увеличивается в а раз, то востолько же раз увеличивается отклик цепи. Размерность переходной характеристики цепи равна отношению размерностей выходной и входной величин.При внешнем воздействии, заданном в виде единичной функции напряжения,и отклике, являющемся тоже напряжением на каком-либо элементе цепи, переходная характеристика оказывается безразмерной величиной, численноравной выходному напряжению.
Если же определяется ток в цепи, то переходная характеристика имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью.Для определения переходной характеристики необходимо рассчитатьпереходный процесс в цепи при нулевых начальных условиях при включениина вход единичной функции напряжения.
Таким образом, переходная характеристика является функцией времени и определяется схемой цепи и величиной параметров элементов.Интеграл Дюамеля.Пусть требуется найти ток в пассивном линейном двухполюснике, переходная характеристика которого известна, при включении на вход источника ЭДС сложной формы (рис. 23.2). Начальный запас энергии к моментувключения ЭДС считаем равным нулю.е(t)∆е2∆еk∆е1е(0)0τ1 τ2 τ3tτktРис. 23.2Основы теории цепей.
Конспект лекций-221-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл ДюамеляВыберем произвольно фиксированный момент наблюдения t и рассчитаем переходный ток к этому времени. Очевидно, что величину тока в этотмомент определяет вся кривая входного напряжения от t = 0 до момента наблюдения t. В связи с этим введем новое обозначение текущего времени τ,изменяющегося в пределах 0 ≤ τ ≤ t, и в дальнейшем будем различать e(t), i(t)как функции момента наблюдения t и e(τ) и i(τ) как функции текущего времени τ.Заменим плавную кривую e(τ) ступенчатой. Это дает основание считать, что в момент времени τ = 0 включается постоянное напряжение e(0)1(t),воздействующее на цепь в течение всего интервала времени от нуля до ∞.
Затем через промежуток времени τ1 воздействует Δe1, затем вступает через τ2Δe2 и т. д. Тогдаe ( t ) ≈ e ( 0 )1( t ) + Δe11( t − τ1 ) + Δe21( t − τ2 ) + … + Δek 1( t − τk ) + … + Δen1( t − τn ) =n= e ( 0 )1( t ) + ∑ Δek 1( t − τk ) .k =1Под влиянием каждого скачка напряжения возникает переходный процесс, начинающийся в соответствующий момент τ. Под влиянием составляющей e(0)1(t) в цепи появится составляющая тока i(t) = e(0)h(t), посколькуотклик на единичную функцию есть переходная характеристика. Через τ1 подвоздействием Δe11(t – τ1) в цепи появится составляющая тока Δi1 = Δe1h(t – τ1),так как Δe1 воздействует в промежутке времени t – τ1.В последующий момент времени τ2 вновь происходит скачкообразноеизменение напряжения на величину Δe2, которое вызовет вновь составляющую тока Δi2 = Δe2h(t – τ2).Аналогично найдем, что в момент τk скачок напряжения Δek вызоветток Δik = Δekh(t – τk).На основании метода наложения искомый переходный ток будет равенсумме составляющих, найденных для момента t, т.
е.i ( t ) = e( 0) h( t ) + Δe1h( t − τ1 ) + Δe2h( t − τ2 ) +…+ Δek h( t − τk ) +…+ Δenh( t − τn ) =n= e( 0) h( t ) + ∑Δek h( t − τk ) .k =1Для того чтобы получить выражение тока, соответствующее плавноизменяющемуся входному напряжению, необходимо число скачков увеличивать до бесконечности (n → ∞), промежутки времени уменьшать до бесконечно малой величины dτ. Величину каждого скачка напряжения de можнопредставить в виде произведения скорости изменения напряжения de/dt напродолжительность этого промежутка dτ, т.
е. de = e′ ( τ ) d τ.Основы теории цепей. Конспект лекций-222-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл ДюамеляR1I1(p)аe(t)R2EmI2(p)1рС1рI3(p)(Em = 10 В)Em2pLR30bτи2τиtРис. 23.3Сумма в пределе перейдет в интеграл и для фиксированного моментавремени значение тока будетti ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ .0Полученное выражение носит название интеграла Дюамеля.Используя теорему свертки функций, можно получить еще одно выражение интеграла Дюамеля:ti ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( t − τ ) h ( τ ) d τ .0Пример 5.
Для электрической цепи, приведенной в примере 1, рассчитать отклик на входной импульс (рис. 23.3).Решение. Рассчитаем переходную характеристику цепи как отклик наединичную функцию на входе. При нулевых начальных условиях изображение переходной характеристики – изображение тока в индуктивной ветви –можно определить по закону Ома:H ( p ) = I3 ( p ) =U ab ( p ) I1 ( p ) Z ab ( p )1=, I1 ( p ) =,R2 + pLR2 + pLp ( R1 + R2 + Z ab ( p ) )1R2 + pLpC,Z ab ( p ) ==11R+pLpC+()2R2 + pL +pC( R2 + pL )Основы теории цепей. Конспект лекций-223-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл ДюамеляH ( p) =( R2 + pL )=⎞ ( ( R2 + pL ) pC + 1) ( R2 + pL )1⎛R2 + pLp ⎜ R1 + R2 +⎟( R2 + pL ) pC + 1 ⎠⎝=1.60 ⋅ 10−7 p 3 + 1210 ⋅ 10−4 p 2 + 80 pПерейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения:F1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk t,f (t ) i=i= ∑′F2 ( p )Fp()k =12kiгде pk – корни F2(p), в нашем случае F2(p) имеет корни p = 0, p1 = –680,p2 = –19480.F1 ( p ) = 1; F2 ( p ) = 60 ⋅ 10−7 p 3 + 1210 ⋅ 10−4 p 2 + 80 p;F2′ ( p ) = 3 ⋅ 60 ⋅ 10−7 p 2 + 2 ⋅ 1210 ⋅ 10−4 p + 80;При p = 0 F1(0) = 1; F2′ = 80 ;При p1 = –680, F2′ ( p1 ) = 76,2 ;При p2 = –19480, F2′ ( p2 ) = 2196Таким образом, h(t) = 1,25·10–2–1,3·10–2e–680t+ 4,56·10–4e–19480t.Соответствующий график h(t) приведен на рис.
23.4.h(t), Симt, мсРис. 23.4Основы теории цепей. Конспект лекций-224-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл ДюамеляПроверим правильность расчета переходной характеристики. При t = 0h(0) должна быть равна нулю, так как переходная характеристика представляет собой ток через индуктивность при нулевых начальных условиях (на основании закона коммутации ток в индуктивности скачком измениться не может). Действительно, h(0) 0. При t → ∞ в цепи устанавливается стационарныйрежим, токi3 =1, h ( ∞ ) = 0,0125 = i3ПР.R1 + R2 + R3Рассчитаем отклик цепи на входной сигнал.τНа интервале 0 ≤ t ≤ и e11 = kt ,2E′ ( τ) = k .где k = m и e11τиПредставим переходную проводимость в общем видеh ( t ) = A0 + A1e p1t + A2e p2t ,где A0 = 1,25·10–2, A1 = –1,3·10–2, A2 = 4,56·10–4.τВ течение промежутка времени от 0 до и ток в индуктивности2ti3 ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ .0Поскольку е(0) = 0, то первый член в выражении для искомого тока отсутствует и тогдаttEm ⎡p t −τp t −τA0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ =⎦τ ⎣0 иi3 ( t ) = ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = ∫0еее⎤Em ⎡p1tp2t− p1τ−p τ=⎢ A0 ∫ d τ + A1e ∫ e d τ + A2e ∫ e 2 d τ ⎥ =τи ⎣⎢ 000⎦⎥tEm ⎡A1e p1t e − p1τ A2e p2t e − p2τ ⎤=+⎢ A0 τ +⎥ =τи ⎣− p1− p2⎦0Em ⎡A1 A2 A1e p1t A2e p2t ⎤=++⎢ A0t − −⎥.τи ⎣p1 p2p1p2 ⎦Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
