ОТЦ лекции (1274753), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Конспект лекций-225-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл Дюамеляτи′ ( τ ) = 0 . Кроме того,до τи е12(t) = Em, e122τEпри t = и входное напряжение скачком изменяется на величину m .22На интервале времени отСледовательно,i3 ( t ) =τи2Em ⎡E ⎛ τ ⎞p t −τp t −τA0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ +⎦2 ⎝2⎠τи ⎣∫0t′ ( τ ) ⎡ A0 + A1e p1( t −τ ) + A2e p2 (t −τ) ⎤ d τ.+ ∫ e12⎣⎦τи2i3 ( t ) =τи2∫0=Em ⎡E ⎛ τ ⎞p t −τp t −τA0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ + 0 =⎦τи ⎣2 ⎝2⎠Em ⎡A1e e⎢ A0 τ +τи ⎣− p1p1t − p1τ+p2t − p2 τA2e e− p2τи2⎤⎥ +⎦0⎛ τ ⎞⎛ τ ⎞p1⎜ t − и ⎟p2 ⎜ t − и ⎟ ⎤Em ⎡2⎠⎝⎢ A0 + A1e++ A2e ⎝ 2 ⎠ ⎥ =2 ⎢⎥⎦⎣⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A= Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 +222⎢⎣ 2⎛ τ ⎞p1⎜ t − и ⎟⎝ 2 ⎠Ae+ 1− p1τи⎛ τ ⎞p2 ⎜ t − и ⎟⎝ 2⎠Ae+ 2− p2 τи⎤A1e p1t A2e p2t ⎥−−.− p1τи − p2τи ⎥⎥⎦В момент времени t = τи входное напряжение скачком уменьшается донуля, что эквивалентно включению постоянной ЭДС обратной полярности ивеличиной, равной Em.
Следовательно, при t > τи отклик цепи необходиморассчитывать из выраженияОсновы теории цепей. Конспект лекций-226-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл Дюамеляi3 ( t ) =τи2∫0Em ⎡E ⎛ τ ⎞p t −τp t −τA0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ − Em h ( t − τи ) =⎦τи ⎣2 ⎝2⎠⎛ τ ⎞⎡p1⎜ t − и ⎟⎛ τи ⎞⎛ τи ⎞⎢ A0 A1 p1⎜⎝ t − 2 ⎟⎠ A2 p2 ⎜⎝ t − 2 ⎟⎠ A0 A1e ⎝ 2 ⎠= Em ⎢ + e+ e+++−τ2222p1и⎢⎣+⎛ τ ⎞p2 ⎜ t − и ⎟⎝ 2⎠A2e− p2 τи⎤AeAep t −τp t −τ ⎥− 1− 2− A0 − A1e 1( и ) − A2e 2 ( и ) ⎥ .− p1τи − p2 τи⎥⎦p1tp2tГрафик зависимости тока в индуктивной ветви от времени при заданном входном сигнале приведен на рис. 23.5 (для случая τи = 3/|p1|).i(t), Аi(t)τи2tτиРис.
23.5Импульсная функция и импульсная характеристика.Введем функцию, определяющую прямоугольный импульс длительностью Δt, высотой 1/ Δt и площадью S = 1 (рис. 23.6).⎧ 0 при⎪δ ( t , Δt ) = ⎨ 1⎪⎩ Δt приt < 0, t > Δt ,Основы теории цепей. Конспект лекций0 < t < Δt.-227-ЛЕКЦИЯ 23.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИмпульсная функция и импульсная характеристикаδ(t, ∆t)1Δt1Δtt0∆tРис. 23.6Такой импульс получается из двух единичных функций, смещенныходна относительно другой на длительность импульса:δ ( t , Δt ) =1( t )1( t − Δt )111( t ) − 1( t − Δt ) =.ΔtΔtΔtНаибольший интерес представляет предельный случай прямоугольногоимпульса, когда его длительность стремится к нулю (Δt → 0), а высота – кбесконечности (A = 1/Δt → ∞):1( t )1( t − Δt )= δ ( t ).Δt →0Δtlim ⎡⎣δ ( t , Δt ) ⎤⎦ = limΔt →0Эта функция называется импульсной функцией и обозначается δ(t). Еечасто называют также дельта-функцией или функцией Дирака. Импульснаяфункция обладает следующими свойствами:1) равна нулю при t < 0 и t > 0, т.
е. δ(t) = 0 при t ≠ 0;2) бесконечно велика в точке t = 0: δ(0) = ∞,3) кроме того,∞∫ δ ( t )dt = 1.−∞Если импульсная функция отлична от нуля не в момент t = 0, а в момент τ, т. е. запаздывает на время τ, то она записывается с запаздывающимаргументом δ (t – τ). При этом сохраняется основное свойство функции∞∫ δ ( t − τ )dt = 1.−∞Основы теории цепей.
Конспект лекций-228-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИмпульсная функция и импульсная характеристикаПоскольку импульсная функция получена предельным переходом отединичной функции, следовательно, она является производной от единичнойфункции.δ ( t ) = 1′ ( t ) =d1( t ).dtИз последнего выражения следует и обратное соотношение:t1( t ) =∫ δ ( t )dt.−∞Важнейшим свойством дельта-функции является фильтрующее свойство, записываемое в виде интегральных соотношений∞∫ f ( t ) δ ( t )dt = f ( 0 )∞∫ f ( t ) δ ( t − τ )dt = f ( τ ) ,и−∞−∞где f(t) – произвольная непрерывная функция.Подынтегральная функция в последней формуле равна нулю всюду,кроме точки t = τ.
Функция f(t) в этой точке равна f(τ). Тогда f(τ) можно вынести за знак интеграла, а интеграл будет равен единице в силу свойства импульсной функции:∞∞−∞−∞∫ f ( t ) δ ( t − τ )dt = f ( τ ) ∫ δ ( t − τ )dt = f ( τ ) .Таким образом, интеграл от произведения импульсной функции и любой непрерывной функции равен значению непрерывной функции при томзначении переменной интегрирования, при котором аргумент дельтафункции обращается в нуль.Для определения отклика цепи на сложное воздействие оказываетсядостаточно знать отклик цепи на дельта-функцию, который называется импульсной характеристикой. Ее можно определить так:g (t ) =Y (t ),Sгде S = δ(t) – воздействие; Y (t) – отклик.Импульсная характеристика =[отклик ][воздействие][t ]Основы теории цепей.
Конспект лекций.-229-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИмпульсная функция и импульсная характеристикаЕсли воздействие увеличивается в а раз, в силу линейности во столькоже раз возрастает и отклик. Если воздействие запаздывает на t1, то на такоеже время запаздывает и отклик.Интеграл наложения.Рассмотрим применение импульсной характеристики для расчета отклика цепи на сложное воздействие.
Как и в предыдущем случае, найдем токв цепи при воздействии входного напряжения e(t) (рис. 23.7).e(t)0τkek∆τttе(τk)0tτk∆τРис. 23.7Аппроксимируем e(τ) последовательностью прямоугольных импульсовen(t) малой длительности Δτ:ek ( t ) = e ( τk ) ⎡⎣1( t − τk ) − 1( t − τk − Δτ) ⎤⎦ = e ( τk ) Δτ1( t − τk ) − 1( t − τk +1 ),Δττk = k ⋅ Δτ, при Δτ → 0 e ( τk ) = e ( τ ) d τδ ( t − τ ) .Каждый отдельный прямоугольный (элементарный) импульс с площадью e(τ) dτ δ(t – τ) вызовет ответный отклик в виде составляющей токаdik(t) = e(τ)g(t – τ)dτ,где g(t – τ) – значение импульсной характеристики в момент наблюдения tпри воздействии импульса на цепь в момент τ.Основы теории цепей. Конспект лекций-230-ЛЕКЦИЯ 23.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХИнтеграл наложенияРезультирующий отклик на все воздействие получим, используя принцип наложения, суммируя бесконечно малые составляющие di(t), вызванныепоследовательностью бесконечно малых по длительности прямоугольныхимпульсов напряжения:ti (t ) = ∫ e ( τ) g (t − τ) d τ .0Полученный интеграл называется интегралом наложения. Используятеорему свертки, получим еще одну форму интеграла наложенияti (t ) = ∫ e (t − τ) g ( τ) d τ .0Связь между переходной и импульсной характеристиками.Поскольку h(t) и g(t) описывают одну цепь, то, очевидно, они жесткосвязаны.
Выше было показано, что импульсная функция представляет собойпроизводную от единичной функции:δ ( t ) = 1′ ( t ) =d1( t ).dtОтклик цепи на единичную функцию является переходной характеристикой h(t), а так как в линейных цепях следствия находятся в тех же соотношениях, что и вызывающие их причины, то отклик цепи на воздействиеимпульсной функции должен быть производной отклика единичной функции, т. е.
импульсная характеристика g(t) должна быть производной от переходной характеристики h(t):g ( t ) = h′ ( t ) =dh ( t ).dtСвязь между характеристиками g(t) и h(t) можно получить также, рассматривая отклик цепи на воздействие скачка напряжения Em1(t). При такомвоздействии отклик цепи i(t) = Emh(t).С другой стороны,tt00i ( t ) = ∫ Em ( t − τ ) g ( τ ) d τ = Em ∫ g ( τ ) d τ ,откудаОсновы теории цепей.
Конспект лекций-231-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХСвязь между переходной и импульсной характеристикамиt⎞dh ⎛h′ ( t ) = ⎜ ∫ g ( τ ) d τ ⎟ = g ( t ) .⎟dt ⎜⎝ 0⎠h(t)h(0)0th1(t)h1(t)t0h2(t)h(0) 1(t)h(0)t0Рис. 23.8Выражение связи между импульсной и переходной характеристикамицепи несколько отличается в случае, когда переходная характеристика h(t) неравна нулю при t = 0 (рис. 23.8).h(t) = h1(t) + h2(t) = h1(t) + h(0)·1(t)тогдаg ( t ) = h′ ( t ) = h1′ ( t ) + h ( 0 ) ⋅ δ ( t ) .Заменив переходную характеристику суммой двух функций h1(t) иh2(t) = h(0), представляющую собой скачок величиной h(0), возникающий приt = 0, получим импульсную характеристику, в которой этот скачок учтенпроизводной второй функции h(0) · δ(t).
Так как функции h(t) и h1(t) подобныпри всех значениях t, кроме t = 0, то их производные одинаковы во всех точках, кроме скачка при t = 0.Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения.Подставив выражение для импульсной характеристики в интеграл наложения, получимttt000i ( t ) = ∫ e ( t − τ ) g ( τ ) d τ = ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ + h(0) ∫ e ( t − τ ) δ ( τ ) d τ .На основании фильтрующего свойства импульсной функцииОсновы теории цепей.
Конспект лекций-232-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХСвязь интеграла Дюамеля с интегралом наложенияt∫ e (t − τ) δ ( τ) d τ = e (t ) .0Тогдаtt00∫ e ( t − τ ) g ( τ ) d τ = e ( t ) h ( 0 ) + ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ .Таким образом,tt00e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = e ( t ) h ( 0 ) + ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ.Интеграл ДюамеляИнтеграл наложенияПример 6.
Для электрической цепи, приведенной в примере 1, рассчитать ток в индуктивной ветви с помощью импульсной характеристики привходном напряжении e(t) (рис. 23.3).Решение. Ранее была определена переходная характеристикаh ( t ) = A0 + A1e p1t + A2e p2t ,где A0 = 1,25·10–2, A1 = –1,3·10–2, A2 = 4,56·10–2.Найдем импульсную характеристику какg ( t ) = h′ ( t ) =dh ( t )= p1 A1e p1t + p2 A2e p2t = 8,9e−680t − 8,9e−19480t .dtГрафик импульсной характеристики приведен на рис.
23.9Основы теории цепей. Конспект лекций-233-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХСвязь интеграла Дюамеля с интегралом наложенияg(t), Сим/сt, мсРис. 23.9Отклик цепи на первом интервале 0 ≤ t ≤τи2e11 ( τ ) = k τ , где k =Em,τиti3 ( t ) = kt ( A0 + A1 + A2 ) + ∫ e11 ( τ ) g ( t − τ ) d τ =0tp t −τp t −τ= kt ( A0 + A1 + A2 ) + ∫ k τ ⎡ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ.⎣⎦0После несложных преобразований с учетомA0 + A1 + A2 = h(0) = 0получим выражение, совпадающее с выражением, приведенным в примере 5.⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ Ai3 ( t ) = Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 +222⎢⎣ 2⎛ τ ⎞p1⎜ t − и ⎟⎝ 2⎠Ae+ 1− p1τиНа интервале времени от⎛ τ ⎞p2 ⎜ t − и ⎟⎝ 2⎠Ae+ 2− p2 τи⎤A1e p1t A2e p2t ⎥−−.− p1τи − p2 τи ⎥⎥⎦τидо τи2Основы теории цепей.
Конспект лекций-234-ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХСвязь интеграла Дюамеля с интегралом наложенияi3 ( t ) =τи2∫0Em ⎡p t −τp t −ττ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ +⎣⎦τи+ Em h ( 0 ) +t∫τ Em ⎡⎣ p1 A1ep1( t −τ )p t −τ+ p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ.⎦и2Учитывая, что –A0 = A1 + A2, получим результат, совпадающий с решением в примере 5.⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ Ai3 ( t ) = Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 +222⎢⎣ 2+⎛ τ ⎞p1⎜ t − и ⎟⎝ 2 ⎠A1e− p1τи+⎛ τ ⎞p2 ⎜ t − и ⎟⎝ 2⎠A2e− p2 τи⎤AeAe ⎥− 1− 2.− p1τи − p2 τи ⎥⎥⎦p1tp2tРасчет отклика цепи при t > τи следует проводить с учетом всего входного сигналаi3 ( t ) =τи2∫0Em ⎡p t −τp t −ττ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ +⎦τи ⎣τиp t −τp t −τ+ ∫ Em ⎡ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ.⎣⎦τи2⎛ τ ⎞⎡p1⎜ t − и ⎟⎛ τи ⎞⎛ τи ⎞ptpt−−⎢ A0 A1 1⎜⎝ 2 ⎟⎠ A2 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ A0 A1e ⎝ 2 ⎠+ e+++i3 ( t ) = Em ⎢ + e−τ2222p1и⎢⎣+⎛ τ ⎞p2 ⎜ t − и ⎟⎝ 2 ⎠A2e− p2 τи⎤AeAep t −τp t −τ ⎥− 1− 2− A0 − A1e 1( и ) − A2e 2 ( и ) ⎥ .− p1τи − p2 τи⎥⎦p1tp2tПолученные результаты полностью совпадают с откликом, рассчитанным с помощью интеграла Дюамеля.Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
