ОТЦ лекции (1274753), страница 46
Текст из файла (страница 46)
37.3, б, г) в цепи присутствует один из элементов либо L,либо C0.Пример 1. Реализовать первую цепь Фостера для функции()( p + 8 ⋅10 ) .Z ( p) =( p + 2 ⋅10 )( p + 6 ⋅10 )( p + 10 ⋅10 )102 p p 2 + 4 ⋅ 10424224424Решение. Построим график, характеризующий частоты нулей и полюсов входного сопротивления − характеристическую строку двухполюсника.Нули Z(p) при ω1 = 0, ω3 = 2 ⋅ 102 , ω5 = 8 ⋅ 102 , ω3 = ∞ , полюсы приω2 = 2 ⋅ 102 , ω4 = 6 ⋅ 102 , ω6 = 10 ⋅ 102 .ω1 = 0ω2ω3ω4ω5ω6ω=∞Частотная зависимость |Z(ω)| имеет вид рис.
37.5.Разложение Z(p) на простые дроби даетZ ( p) =2k2 p2k p2k p+ 2 4 2+ 2 6 2.22p + ω2 p + ω4 p + ω6Следовательно, в канонической цепи имеется три параллельных колебательных контура (рис. 37.6) с резонансными частотами ω2, ω4, ω6.Основы теории цепей. Конспект лекций-381-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников|Z(ω)|02 ⋅1026 ⋅1022 ⋅102ω10 ⋅1028 ⋅102Рис. 37.5L2Z(p)С2L4L6С4С6Рис. 37.6Определим элементы контуров:(⎡ Z ( p ) p 2 + ωk21= 2kk = 2lim 2 ⎢p →−ωk ⎢Ckp⎣1=C2)()(⎥⎦⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 2 ⋅ 104lim ⎢p 2 →−2⋅104 ⎢p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p⎣1=C41=C6() ⎤⎥ ,()(()()())() ⎤⎥ = 300 ⎡ 1 ⎤ ,8 ⎢⎣ Ф ⎥⎦⎥⎦⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104lim ⎢p 2 →−6⋅104 ⎢p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p⎣(()()()()()⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104lim ⎢p 2 →−10⋅104 ⎢p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p⎣()()(Основы теории цепей.
Конспект лекций)) ⎤⎥ = 25,⎥⎦) ⎥⎤ = 300 ⎡ 1 ⎤ .⎥⎦8 ⎢⎣ Ф ⎥⎦-382-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-никовC2 = 0,0267 Ф, C4 = 0,04 Ф, C6 = 0,0267 Ф.Индуктивности Lk =L4 =2k k300, L2 == 1,88 ⋅ 10−3 Гн ,248 ⋅ 2 ⋅ 10ωk25300−30,4210Гн,L=⋅== 0,375 ⋅ 10−3 Гн .6446 ⋅ 108 ⋅ 10 ⋅ 10Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дробифункции входной проводимости Y(p).Пример 2. Реализовать двухполюсник, если его входная проводимостьY ( p) =(10−3 p 2 + 2 ⋅ 106()( p2+ 6 ⋅ 106p p 2 + 4 ⋅ 106)( p2)( p2+ 10 ⋅ 106+ 8 ⋅ 106)).Решение. Функция Y(p) имеет полюсы при ω0 = 0, ω2 = 2 ⋅ 103 ,ω4 = 8 ⋅ 103 , ω = ∞ , нули при ω1 = 2 ⋅ 103 , ω3 = 6 ⋅ 103 , ω5 = 10 ⋅ 103 .Частотная зависимость |Y(ω)| представлена на рис. 37.7.|Y(ω)|02 ⋅1022 ⋅1026 ⋅1028 ⋅10210 ⋅102ωРис.
37.7Основы теории цепей. Конспект лекций-383-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-никовL0 =Y(p)L11k0С=НL3C1C3Рис. 37.8Разложение Y(p) на простые дроби:Y ( p) = H ⋅ p +k02k p2k p+ 2 1 6+ 2 3 6.p p + 4 ⋅ 10p + 8 ⋅ 10Вторая схема Фостера имеет вид, приведенный на рис. 37.8.Определим элементы цепи⎡Y ( p ) ⎤−3C = H = lim ⎢⎥ = 10 Ф,p →∞⎣ p ⎦1= k0 = lim⎡⎣Y ( p ) p ⎤⎦ =p 2 →0L0()()()⎡10−3 p 2 + 2 ⋅ 106 p 2 + 6 ⋅ 106 p 2 + 10 ⋅ 106 p ⎤ 181⎢⎥ = ⋅ 103 ⎡ ⎤ ,= lim⎢⎣ Гн ⎥⎦p 2 →0 ⎢⎥ 4p p 2 + 4 ⋅ 106 p 2 + 8 ⋅ 106⎣⎦L0 = 0,022·10–3 Гн,()(Основы теории цепей.
Конспект лекций)-384-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников(1=L1⎡ Y ( p ) p 2 + 4 ⋅ 106lim 6 ⎢⋅p 2 →−410p⎢⎣1=L3⎡ Y ( p ) p 2 + 8 ⋅ 106lim 6 ⎢⋅p 2 →−810p⎢⎣() ⎤⎥ = 2 ⋅103⎡⎥⎦1 ⎤−3⎢⎣ Гн ⎥⎦ , L1 = 0,5 ⋅ 10 Гн,) ⎤⎥ = 1,5 ⋅103⎡1 ⎤−3⎢⎣ Гн ⎥⎦ , L3 = 0,67 ⋅ 10 Гн,⎥⎦2k1 2 ⋅ 1032k3 1,5 ⋅ 103−3C1 = 2 == 0,5 ⋅ 10 Ф, C3 = 2 == 0,187 ⋅ 10−3 Ф.668 ⋅ 10ω2 4 ⋅ 10ω4Первая каноническая цепь Кауэра получается последовательным выделением полюсов при p = ∞.Пример 3. Реализовать цепь Кауэра первого типа для функции входного сопротивления()( p + 8 ⋅10 ) .Z ( p) =( p + 2 ⋅10 )( p + 6 ⋅10 )( p + 10 ⋅10 )102 p p 2 + 4 ⋅ 10424224424Решение.
Представим Z(p) в виде отношения полиномов102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 pZ ( p) = 6.p + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012Поскольку Z(p) не имеет полюса в бесконечности, то в первой схемеКауэра отсутствует элемент Z1(p). Обратная функция Y(p) = 1/ Z(p) имеет полюс в бесконечности, выделяя который, получим элемент цепи Y2(p);p 6 + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p()− p 6 + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 10-2 p = Y2 ( p ) = C2 p.6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p.6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012Z ′ ( p ) имеет полюс при p = ∞, выделяя который, получим Z3(p):Z ′( p ) =Основы теории цепей. Конспект лекций-385-ЛЕКЦИЯ 37.
СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012(− 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p)1 -210 p = Z 3 ( p ) = L3 p6.2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 pСледующий шаг обращения и выделения полюса дает следующий элемент цепи Y4(p):6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p()− 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 3 ⋅ 10-2 p = Y4 ( p ) = C4 p .24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012и т. д.2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012(− 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p)1⋅ 10-2 p = Z 5 ( p ) = L5 p.122 ⋅ 1010 p24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 2 ⋅ 1010 p()− 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 12 ⋅ 10-2 p = Y6 ( p ) = C6 p,120 ⋅ 10122 ⋅ 1010 p 120 ⋅ 1012(− 2 ⋅ 1010 p)1⋅ 10-2 p = Z 7 ( p ) = L7 p.600Таким образом, первая схема Кауэра имеет вид, представленный на рис.
37.9.L3 = 1,67 · 10–3 ГнZ(p)С2 = 10–2 ФL5 = 0,83 · 10–3 ГнС4 =3 · 10–2 ФL5 = 0,167 · 10–3 ГнС6 =12 · 10–2 ФРис. 37.9Основы теории цепей. Конспект лекций-386-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-никовВыше было показано, что возможен второй вариант разложения входной функции в цепную дробь по параметру 1/p, при котором последовательно выделяются полюсы при p = 0.
В этом случае реализуется каноническаяцепь Кауэра второго типа.Пример 4. Реализовать цепь Кауэра второго типа для функции входного сопротивления102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 pZ ( p) = 6.p + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012Решение. Разложим Z(p) в цепную дробь, расположив полиномы числителя и знаменателя по возрастающим степеням. Поскольку Z(p) не имеетполюса при p = 0, то возьмем функцию Y(p) = 1/Z(p), у которой имеется полюс при p = 0. Выделяя первый полюс делением полинома знаменателя Z(p)на полином числителя, получим элемент цепи Y2(p):120 ⋅ 1012 + 92 ⋅ 108 p 2 + 18 ⋅ 104 p 4 + p 632 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5(− 120 ⋅ 1012 + 45 ⋅ 108 p 2 + 3,75 ⋅ 104 p 4 + p 6)3751= Y2 ( p ) =pL2 p.47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6От полученного остатка от деления возьмем обратную функциюZ ′( p ) =32 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5.47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6Функция Z΄(p) имеет полюс при p = 0, выделяя который, получим Z3(p):32 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5 47 ⋅ 108 p 2 + 14, 25 ⋅ 104 p 4 + p 6(− 32 ⋅ 1010 p + 9,7 ⋅ 106 p 3 + 68 p 5)681= Z3 ( p ) =pC3 p.2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5Продолжая операции обращения и выделения полюсов при p = 0, получаем:47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6 2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5(− 47 ⋅ 108 p 2 + 6,54 ⋅ 104 p 4 + p 6)20401= Y4 ( p ) =pL4 p2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5 7,71 ⋅ 104 p 4 + p 6(− 2,3 ⋅ 106 p 3 + 30 p 5) 30p = Z ( p ) = C1p5Основы теории цепей.
Конспект лекций5-387-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников7,71 ⋅ 104 p 4 + p 6 2 p 54−7,71 ⋅ 10 p3,855 ⋅ 1031= Y6 ( p ) =pL6 p42 p5−2 p 5.p621= Z7 ( p ) =pC7 p0Таким образом, получаем Z(p) в виде цепной дроби:Z ( p) =.11+2,7 ⋅ 10−3 p11+0,015 p11+0,5 ⋅ 10−3 p11+33,3 ⋅ 10−3 p11+26 ⋅ 10−3 p110,5 pСоответствующая вторая схема Кауэра представлена на рис. 37.10.С3 =0,015 ФL2 = 2,7 · 10–3 ГнС5 =33,3 · 10–3 ФL4 = 0,5 · 10–3 ГнС7 =0,5 ФL3 = 26 · 10–6 ГнРис.
37.10Наряду с рассмотренными выше каноническими схемами возможны и другие типы схем, которые получаются как комбинации цепей Кауэра первого и второго типов, а также комбинации цепей Фостера и Кауэра. Одним из наглядныхпримеров является одновременное выделение полюсов при p = ∞ и p = 0, что эквивалентно процессу деления для высших степеней p, деления для низших степеней,последующего получение обратной функции и повторения того же цикла.Контрольные вопросы1.
Каковы основные методы реализации двухполюсника по заданнойвходной функции?2. Что представляют собой первая и вторая канонические схемы Фостера?3. Что представляют собой первая и вторая канонические схемы Кауэра?4. Какими свойствами обладают входные функции LC-двухполюсников?Основы теории цепей. Конспект лекций-388-ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства входных функций RC-двухполюсников. Примеры реализациивходных функций RC-двухполюсников.
Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников.Свойства входных функций RC-двухполюсников.Функция входного сопротивления RC-двухполюсниковZ ( p ) = F0 +V0.p(T0 ≡ 0 − отсутствуют индуктивности.) Нули ZRC(p) должны удовлетворятьV0, следовательно, нули, а также полюсы входных функцийF0RC-цепей являются отрицательными вещественными, поскольку V0 и F0 положительные и вещественные.условию p = −Z RC ( p ) = F0 +V0σVωV= F0 + 2 0 2 − j 2 0 2 = R ( σ, ω) − jX ( σ, ω) .pσ +ωσ +ωОчевидно, что реактивная составляющая входного сопротивления вверхней полуплоскости (ω > 0) отрицательна. Отсюда следует, что ZRC(p) неможет иметь полюса при p = ∞, поскольку выделение его дало бы слагаемоеH·p, реализуемое индуктивностью. Кроме того, мнимая часть H·ω > 0 приω > 0, что противоречит условию отрицательности X(σ,ω).Таким образом, степень полинома числителя ZRC(p) может быть равнаили на единицу меньше степени полинома знаменателя.Пользуясь одним из условий Коши – Римана, получим∂R ∂X=,∂σ ∂ω∂Z RC ( p )∂X∂ ⎛ωV0 ⎞V0===−< 0.⎜− 2⎟∂σ ω=0 ∂ω ω=0 ∂ω ⎝ σ + ω2 ⎠σ2Аналогично для проводимости:YRC ( p ) =1Z RC ( p )∂YRC∂σ, YRC ( σ, ω) = g ( σ, ω) − jb ( σ, ω) ,=ω=0∂bV0=> 0,∂ω ω=0 F0σ + V0т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
