ОТЦ лекции (1274753), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Бруне. Примеры реализации RLC-двухполюсников.Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне.Рассмотренные выше методы реализации цепей с двумя типами элементов практически неприменимы в случае положительных вещественныхфункций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется.Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рациональнаяфункция является положительной и вещественной, то всегда существует линейный пассивный с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого этафункция является.Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции.1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на мнимойоси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда могут бытьреализованы одной из схем Фостера.
Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой оси, включая p = 0 иp = ∞, достигается частичная реализация и упрощение данной функции.После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличиенулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратнаяфункция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсына оси jω. В результате остается функция, являющаяся положительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси, она называетсяфункцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости F(p).Основы теории цепей. Конспект лекций-398-ЛЕКЦИЯ 39.
СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. БрунееRe F(jω)min Re F(jω)0ωω1Рис. 39.12. Полученная функция минимальной реактивности может быть упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этойфункции на мнимой оси (рис. 39.1).Выделение minReF(jω) соответствует реализации последовательногосопротивления R1, если F(p) − входное сопротивление, или параллельного(шунтирующего) сопротивления, если F(p) − входная проводимость двухполюсника (рис. 39.2).Оставшаяся функция F1(p) = F(p) – minReF(jω) является положительной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при p = jω1(ReF(jω1) = 0), ее называют минимальнойфункцией.LCZ(p)LCR1LCZ1(p)Y(p)LCR1Y1(p)Рис.
39.2Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных элементов L и C и активных сопротивлений R1 (рис. 39.2), которая называетсяпредварительной цепью Фостера.3. Очевидно, если минимум R1 выделяется на конечной частоте jω1, тооставшаяся после его выделения минимальная функция F1(jω1) является чисто мнимой величиной.Основы теории цепей. Конспект лекций-399-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О.
БрунееПредположим F1(p) = Z1(p) − минимальное сопротивление двухполюсникаM ( p ) an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0=.Z1 ( p ) =N ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0При p = jω1, ReF(jω1) = 0, Z1(jω1) = ±jx1, т. е. Z1(jω1) чисто реактивное.Возможно два случая Z1(jω1) = –jx1 и Z1(jω1) = +jx2.В первом случае Z1(jω1) = –jx1 можно представить отрицательной инxдуктивностью L1 = − 1 (рис.
39.3).ω1L1 < 0Z1(jω1)Рис. 39.3L1 < 0Z1(p)L2Y3(p)CРис. 39.4Выделив из сопротивления Z1(p) сопротивление индуктивности pL1,получим Z2(p) = Z1(p) – pL1, которое имеет нуль на мнимой оси при p = +jω1(действительно, Z2(jω1) имеет ReZ1(jω1) = 0 и при выделении индуктивностиL1 Z2(jω1) = 0).M ( p)Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 = 2.N ( p)Степень полинома M2(p) на единицу больше степени полинома M(p)(числителя функции Z1(p)).4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при p = +jω1, вычет в которомвещественный положительный.
Выделение из функции Y2(p) полюса приОсновы теории цепей. Конспект лекций-400-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунееp 2 = −ω12 дает последовательный колебательный контур (рис. 39.4) с положительными L2 и C.Из рис. 39.4 видно, что на частоте ω1 возникает последовательный резонанс контура L2C и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой.()Y2 ( p ) p 2 + ω1211, C = 2 , 2k2 = 2lim 2L2 =.p →−ω12k 2pω1 L25. Оставшаяся после выделения контура L2C-функцияM ( p)2k2 p= 322p + ω1N3 ( p)имеет степень числителя M3(p), равную n – 2, а степень знаменателя n – 1, азначит, имеет нуль в бесконечности.
Положительная вещественная функцияZ3(p) = 1/Y3(p) имеет полюс при p = ∞ с положительным вещественным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью L3 > 0 (рис. 39.5).Y3 ( p ) = Y2 ( p ) −L1 < 0Z1(p)L3 < 0L2 > 0Z4(p)CРис. 39.5M4 ( p)является положительной вещеN4 ( p )ственной функцией со степенями полиномов M4(p) и N4(p), равными n – 2. Наэтом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся после негофункции Z4(p) также может быть применен следующий цикл Бруне до полной реализации двухполюсника.Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательна, могутбыть заменены трансформатором (рис. 39.6).Функция Z 4 ( p ) = Z 3 ( p ) − pL3 =I 2′Основы теории цепей.
Конспект лекций-401-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. БрунееL1I1L3I1L2U1U2I 2′MLSU1 LPаU2бРис. 39.6Условием эквивалентности цепей (рис. 39.6, а, б) является равенство ихпараметров:⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′.⎨⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′Для Т-образного четырехполюсника (рис. 39.6, а)UU1UZ11 = 1== p ( L1 + L2 ) , Z12 = 1I1 I ′ =0 U1I 2′2pLpL+( 12)Z 22 =U2I 2′= p ( L1 + L3 ) , Z 21 =I1 =0U2I1= pL2I1 =0= pL2 .I 2′ =0Для трансформатора (рис. 39.6, б) справедлива система уравнений:⎧U1 = pLP ⋅ I1 + pM ⋅ I 2′ ,⎨⎩U 2 = pM ⋅ I1 + pLS ⋅ I 2′ ,откуда Z11 = pLp, Z22 = pLS, Z12 = pM.⎡ L1 + L2⎣ L2[ ZT ] = p ⎢⎤ ⎡ LP=L2 + L3 ⎥⎦ ⎢⎣ ML2M⎤.LS ⎥⎦Таким образом, для цикла Бруне Lp = L1 + L2, LS = L2 + L3, M = L2.Коэффициент связи трансформатораkCB =M=LP LSL2( L1 + L2 ) ( L2 + L3 )Основы теории цепей.
Конспект лекций.-402-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВОбщий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. БрунееЕсли kCB = 1, то трансформатор называется совершенным, практическиможно реализовать трансформатор, близкий к совершенному (kCB = 0,99).ТогдаL22( L1 + L2 ) ( L2 + L3 )L1L2 + L1L3 + L2 L3= 1,( L1 + L2 ) ( L2 + L3 )=1−откудаL1L2 + L1L3 + L2L3 = 0.Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из индуктивностей была отрицательной.Примеры реализации RLC-двухполюсников.Пример 1.
Методом Бруне реализовать входную функциюp 5 + 3 ⋅ 103 p 4 + 7 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 109 p 2 + 11 ⋅ 1012 p + 6 ⋅ 1015.2 p 5 + 103 p 4 + 107 p 3 + 4 ⋅ 109 p 2 + 8 ⋅ 1012 pРешение. 1. Разложим функцию Z(p) на множителиZ ( p) =Z ( p) =()() ()()103 p2 + 3⋅106 2 p2 +103 p + 2 ⋅106 + p2 + 4 ⋅106 p2 +103 p + 2 ⋅106 p()(10 ( p + 3 ⋅ 10 ) p + 10 p + 2 ⋅ 10=+p ( p + 4 ⋅ 10 ) 2 p + 10 p + 2 ⋅ 10p p2 + 4 ⋅106 2 p2 +103 p + 2 ⋅10632266223636)== Z P ( p ) + Z1′ ( p ) .Zp(p) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника.Нули Zp(p) при p = ± j 3 ⋅ 103 , p = ∞; полюсы при p = 0, p = ±j2·103.Zp(p) реализуется первой схемой Фостера, представленной на рис.
39.7.L2′CaZP(p)С2′Рис. 39.7Основы теории цепей. Конспект лекций-403-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсниковЭлементы схемы:13= k0 = lim ⎡⎣ pZ P ( p ) ⎤⎦ = 103 , C0 = 1,33 ⋅ 10−3 Ф,p →04C012k2′ ==C2′2limp →−4⋅10L2′ =(Z P ( p ) p 2 + 4 ⋅ 1066p) = 1034, C2′ = 4 ⋅ 10−3 Ф,11== 62,5 ⋅ 10−6 Гн.−326ω C2′ 4 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10Оставшаяся функция Z1′ ( p ) является положительной вещественной ине имеет полюсов и нулей на мнимой оси, Z1′ ( p ) − функция минимальногореактивного сопротивления.2. Выделим из функции Z1′ ( p ) минимальное значение вещественнойсоставляющей на мнимой оси.Для p = jω−ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 106Z1′ ( jω) =.−2ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 106Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получимZ1′ ( jω) =2ω4 − 5 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012103 ω3.−j 44ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 10124ω − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, гдеdпроизводная( Re Z1′ ( jω) ) = 0 .
Определим значения ω и min Re Z1′ ( jω) изdωэтого условия:⎡ 2ω4 − 5 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 ⎤′= 0, 3ω5 − 8 ⋅ 106 ω3 + 4 ⋅ 1012 ω = 0 ,⎢ 46 212 ⎥⎣ 4ω − 7 ⋅ 10 ω + 4 ⋅ 10 ⎦откуда ω1 = 0,ω22,38 ⋅ 106 ± 64 ⋅ 1012 − 48 ⋅ 10122=, ω22 = 2 ⋅ 106 , ω32 = ⋅ 106 .36Основы теории цепей. Конспект лекций-404-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсниковПри полученных ω вещественная составляющая принимает следующиезначения:12⎛⎞ 7Re Z1′ ( ω = 0 ) = 1, Re Z1′ ω22 = 2 ⋅ 106 = , Re Z1′ ⎜ ω32 = ⋅ 106 ⎟ = .33⎝⎠ 5()Очевидно, вещественная часть Z1′ ( p ) принимает минимальное значе1при ω2 = 2 ⋅ 103 .3Выделив R1, получимние R1 =Z1 ( p ) = Z1′ ( p ) − R1 =p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 1p 2 + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 106− =,2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 3 3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106()которая является минимальной функцией.Частичная реализация входной функции дает предварительную цепьФостера (рис.
39.8).L2′CaZ(p)R1С2′Z1(p)Рис. 39.83. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1(p) приω2 = 2 ⋅ 103 .Z1 ( jω) ==−ω2 + j 2 ⋅ 103 ω + 4 ⋅ 106(3 −2ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 1062ω4 − 8 ⋅ 106 ω2 + 8 ⋅ 1012(3 4ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012)−j)=103 ω3.4ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012Основы теории цепей. Конспект лекций-405-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсниковRe Z1 ( p ) ω2=2 ⋅103= 0 , что и следовало ожидать, поскольку Z1(jω) − ми-нимальная функция.Im Z1 ( jω) ω2=L1 = −32 ⋅10=−2= − x1 = ωL1,3x121=−= − 10−3 Гн.3ω33 2 ⋅ 10Выделив индуктивность L1 из Z1(p), получимZ 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 ==(p 2 + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 106(3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 1062 10−3 p 3 + p 2 + 2 ⋅ 103 p + 2 ⋅ 106(3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106))10−3 p+=3) = 2 ( p + 2 ⋅10 )(10 p + 1) .3 ( 2 p + 10 p + 2 ⋅ 10 )2623−36Функция Z2(p) имеет степень числителя на единицу выше степенифункции Z1(p), а также имеет нуль на мнимой оси при p = ± j 2 ⋅ 103 .1L1 = ⋅10−3 Гн3Z1(p)L2Y3(p)СРис.
39.94. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при ω2 = 2 ⋅ 103 . Выделениеэтого полюса дает последовательный колебательный контур L2C (рис. 39.9).Основы теории цепей. Конспект лекций-406-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсников2k 2 =(Y2 ( p ) p 2 + 2 ⋅ 106lim2⋅p →−210C=p6) = 1500,L2 = 0,67 ⋅ 10−3 Гн,11== 0,75 ⋅ 10−3 Ф.26−3ω1 L2 2 ⋅ 10 ⋅ 0,67 ⋅ 105. ОпределимY3 ( p ) = Y2 ( p ) −=(3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106()−) (2 p 2 + 2 ⋅ 106 )(10−3 p + 12k 2 p=p + 2 ⋅ 10623 ⋅ 103 p2 p 2 + 2 ⋅ 106)=(3)2 10−3 p + 11Положительная вещественная функция Z 3 ( p ) ==.()2 10−3 p + 1Y3 ( p )3имеет полюс при p = ∞, который реализуется индуктивностью L3.22Z 3 ( p ) = 10−3 p + = L3 p + R,33L3 = 0,67 ⋅ 10−3 Гн, R = 0,67 Ом.Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
