ОТЦ лекции (1274753), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Конспект лекций-365-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции12 p 4 + 10 p 2 + 1(− 12 p 4 + 8 p 2)18p 3 + 12 p2p3.2p 2 + 122 p2 + 1p+.318 p 3 + 12 pДалее осуществим следующий шаг деления для функцииВ результате получим ψ1 ( p ) =18p 3 + 12 pn1 ( p ) 18 p 3 + 12 pψ2 ( p ) ==,m1 ( p )2 p2 + 12p 2 + 1(− 18p 3 + 9 p)9p3pn2 ( p )3p=+9p.m1 ( p )2 p2 + 1Аналогично следующий шаг деленияψ2 ( p ) = 9 p +2p 2 + 1 3 p− 2p 22p31дает ψ 3 ( p ) =m ( p)21 2.= p+ 2p+n2 ( p )33p 33p 1И наконец, последний шаг деления дает −3 p 3p .0В итоге получим разложение в цепную дробь:ψ( p) = 3 p +121p+139p +21p+33pОсновы теории цепей. Конспект лекций,-366-ЛЕКЦИЯ 36.
ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функциив которой все коэффициенты положительны, следовательно, полином L(p) –полином Гурвица.Пример 2. Проверить, является ли полиномL(p) = 2p5 + 3p4 + 7p3 + 7p2 + 6p + 1полиномом Гурвица.2 p5 + 7 p3 + 6 pи разложим ее в цепнуюОбразуем функцию ψ ( p ) =3 p4 + 7 p2 + 1дробь:n( p) 21ψ( p) == p+.91m( p) 3p+4917p+113− p+77−11 pПоскольку в разложении имеются отрицательные коэффициенты, полином L(p) не является полином Гурвица.Свойства вычетов в полюсах на мнимой оси.
Возможны три случаярасположения полюсов на мнимой оси: 1) p = 0 (начало координат), 2) p = ∞,3) p = ± jωi.M ( p)Разложение функции F ( p ) =на простые дроби в общем случаеN ( p)записывается следующим образом:νkjk0 q 2ki p++H,F ( p ) = k∞ p + + ∑ 2∑p i =1 p + ωi2 j =1 p − p jгде k∞, k0, ki, kj – вычеты функции F(p) в простых полюсах в бесконечности,в нуле, на мнимой оси и на вещественной оси. Для определения kj-вычета впростом полюсе p = pj умножим обе части последнего разложения на (p – pj)и определим их при p → pj. В этом случае в правой части все члены, исключением kj, исчезают. В результате получаемM ( p)p − pj = kj .p→ p j N ( p )lim(Основы теории цепей.
Конспект лекций)-367-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функцииЕсли функция F(p) имеет общий множитель p в знаменателе, то онаимеет полюс при p = 0 и вычет в этом полюсеk0 = lim F ( p ) p =p →0M ( p)N ( p).p =0Поскольку все коэффициенты полиномов M(p) и N(p) положительныевещественные числа, то вычет k является вещественным положительным.Функция F(p) имеет полюс в бесконечности, если степень полиномачислителя на единицу выше полинома знаменателя. Один шаг деления полиномов дает вычет k∞ в p = ∞, который, так же как и k0, вещественный положительный.Если функция F(p) имеет полюсы на мнимой оси p = ± jωi, то знаменатель N(p) имеет сомножители ( p − jωi )( p + jωi ) = p 2 + ωi2 . В разложении()на простые дроби появляются члены видагде 2ki = 2lim 2(kiki2k p+= 2 i 2,p + jωi p − jωi p + ωiF ( p ) p 2 + ωi2),pкоторые также являются вещественными положительными числами.p →−ωiПроверка неотрицательности вещественной составляющей функции на мнимой оси.
Для того чтобы функция F(p) была положительной вещественной, необходимо иметь ReF(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0, т. е. для проверкиF(p) нужно найти ее вещественную часть и убедиться, что она нигде не будетотрицательной при изменении p = jω в пределах от –∞ до +∞.Запишем F(p) как отношение полиномов, имеющих четные и нечетныечасти числителя и знаменателя:F ( p) =M ( p ) m1 + n1=,N ( p ) m2 + n2где m1 и m2 − четные, n1 и n2 − нечетные части числителя и знаменателя.F ( p) =m1 + n1 m2 − n2 ( m1m2 − n1n2 )( m2n1 − m1n2 )⋅=.m2 + n2 m2 − n2m22 − n22Основы теории цепей. Конспект лекций-368-ЛЕКЦИЯ 36.
ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функцииЗнаменатель F(p) − четная функция, первая скобка числителя такжечетная, а вторая − нечетная, поэтому для p = jωm1m2 − n1n2m22 − n22m2 n1 − m1n2m22 − n22= Re F ( jω) ,p = jω= Im F ( jω) .p = jωПоскольку знаменатель m22 − n22 = N ( jω) N ( − jω) = N ( jω) не можетбыть отрицательным, то очевидно: для того чтобы ReF(jω) ≥ 0, необходимоA ω2 = ( m1m2 − n1n2 ) p = jω ≥ 0 при –∞ ≤ ω ≤ ∞. Полином A(ω2) − четный, сле2( )довательно, можно рассматривать интервал 0 ≤ ω ≤ ∞ вместо –∞ ≤ ω ≤ ∞.Введя переменную x = ω2, получимA(ω2) = A(x) = Cnxn + Cn – 1xn – 1 + ...
+ C1x + C0 = k(x – x1)(x – x2)...(x – xn),где xi = ωi2 − нули полинома A(x) = A(ω2).Знак полинома A(x) зависит от знаков множителей, определяемых егонулями. Вещественный отрицательный нуль всегда дает положительныймножитель. Также положительный множитель дает пара комплексных сопряженных нулей. Действительно, если xi = a ± jb, то (x – a + jb)(x – a + jb) == (x – a)2 + b2 ≥ 0 при 0 ≤ x ≤ ∞.Очевидно, что отрицательный множитель может давать только любойположительный нуль нечетной кратности.
В случае положительного нулячетной кратности пара отрицательных одинаковых множителей дает положительный множитель.Таким образом, для неотрицательности ReF(jω) необходимо и достаточно, чтобы полином A(x) не имел положительныx корней нечетной кратности. Проверку данного условия проводят разными методами: Будана, Труди,Штурма и др. Чаще всего используется теорема Штурма, позволяющая установить число вещественных положительных корней уравнения A(x) = 0, заключенных в любом интервале a ≤ x ≤ b (a и b не являются корнями полинома A(x). Согласно теореме Штурма, число вещественных положительныхкорней полинома в интервале a ≤ x ≤ b равно разности |na – nb|, где na − числоперемен знака в ряде функций Штурма при нижнем a и nb − верхнем b пределах переменного x.
Определение таким образом количества корней есть при-Основы теории цепей. Конспект лекций-369-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функциименение правила Декарта для знаков. Сначала составляется последовательность функций Штурма в порядке понижения степени:S0(x) = A(x); S1(x) = A΄(x); S2(x); ...; Sm = const,где S0(x) S1(x) − заданный полином и его производная; S2(x) − взятый с обратным знаком остаток отделения S0(x) на S1(x); S3(x) − взятый с обратным знаком остаток отделения S1(x) на S2(x) и т. д.; Sm − последний остаток − постоянная величина.Далее определяется число na перемен знака в ряде чиселS0(a), S1(a); S2(a); ...; Smи число nb перемен знака в ряде чиселS0(b), S1(b); S2(b); ...; Sm,а затем число вещественных положительных корней |na – nb|.Пример 1.
Определить, является ли положительной вещественнойфункция5 p 2 + 10 p + 9.p 2 + 0,5 p + 4Решение. Определим числитель ReF(p) при p = jω.F ( p) =( )()()A ω2 = m1m2 − n1n2 = 5 p 2 + 9 p 2 + 4 − 10 p ⋅ 0,5 p == 5 p 4 + 20 p 2 + 9 p 2 + 36 − 5 p 2 = 5 p 4 + 24 p 2 + 36p = jω== 5ω4 − 24ω2 + 36.( )A ω2 = A ( x ) = 5 x 2 − 24 x + 36.Составим последовательность полиномов Штурма:S0(x) = A(x) = 5x2 – 24x + 36S1(x) = A΄(x) = 10x – 24x.Основы теории цепей.
Конспект лекций-370-ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функцииЧтобы получить S2(x), осуществим деление S0(x)/S1(x)5 x 2 − 24 x + 36 10 x − 24(− 5 x 2 − 12 x−S ( x )S0 ( x )= α1 x + β1 + 2,S1 ( x )S1 ( x ))16x−25−12 x + 36144 ⎞⎛− ⎜ −12 x +⎟5 ⎠⎝36536S0 ( x ) 16= x− + 5 ,5 S1 ( x )S1 ( x ) 2S2 ( x ) = −36.5Определим последовательность полиномов Штурма при нижнем иверхнем пределах x(x = 0, x = ∞);S0 ( x ) = 5 x 2 − 24 x + 36, S0 ( 0 ) = 36, S0 ( ∞ ) = ∞,S1 ( x ) = 10 x − 24, S0 ( 0 ) = −24, S0 ( ∞ ) = ∞,S2 ( x ) = −363636, S2 ( 0 ) = − , S2 ( ∞ ) = − .555Таким образом, na = 1, nb = 1, na – nb = 0 полином A(x) не имеет положительных вещественных корней в интервале 0 ≤ x ≤ ∞, а следовательно, функция F(p) является положительной вещественной.Пример 2.
Определить, является ли положительной вещественнойфункция2 p 4 + 3 p3 + 5 p 2 + 5 p + 1F ( p) =.2 p 4 + p3 + 3 p 2 + p + 2()Решение. Составим выражение m1m2 – n1n2.A(p) = (2p4 + 5p2 + 1)(2p4 + 6p2 + 4) – (3p3 + 5p)(2p3 + 2p) == 4p8 + 16p6 + 24p4 + 16p2 + 4.При p = jω A(ω2) = 4ω8 – 16ω6 + 24ω4 – 16ω2 + 4.При ω2 = x A(x) = 4x4 – 16x3 + 24x2 – 16x + 4.Основы теории цепей. Конспект лекций-371-ЛЕКЦИЯ 36.
ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙКритерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функцииИзвестно, что на любом этапе любые из полиномов Штурма могутбыть умножены на положительную постоянную, что не влияет на результатыпроверки. Умножим A(x) на 0,25, получимA(x) = S0(x) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +1.S1 ( x) = S0′ ( x) = 4 x3 − 12 x 2 + 12 x − 4 .Чтобы получить S2(x), осуществим деление S0(x)/S1(x),x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 4 x3 − 12 x 2 + 12 x − 4(− x 4 − 3x3 + 3x 2 − x)11x−44− x3 + 3x 2 − 3x + 1(),− − x3 + 3x 2 − 3x + 10S0 ( x ) 11= x− .S1 ( x ) 44Процесс образования полиномов Штурма заканчивается преждевременно.
Таким образом,S1(x) = 4(x3 – 3x2 + 3x – 1)представляет собой общий множительx3 – 3x2 + 3x – 1 = [x(x2 – 2x + 1)] = (x – 1)3.Это значит, что (x – 1)3 является сомножителем S0(x), т. е. уравнениеS0(x) = 0 имеет корень кратности 3 при x = 1 в правой полуплоскости, полином A(x) не является неотрицательным в интервале 0 ≤ x ≤ ∞, а функция F(p)не является положительной вещественной.Контрольные вопросы1. Что представляет собой обратная задача теории цепей?2. На какие этапы может быть разбит процесс синтеза электрическихцепей?3. Каковы свойства положительных вещественных функций?4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
