ОТЦ лекции (1274753), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Каковы критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции?Основы теории цепей. Конспект лекций-372-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВМетоды реализации двухполюсника по заданной входной функции.Свойства и реализация входных функций LC-двухполюсников.Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции.Убедившись, что заданная функция F(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника,входной функцией которого она является. К настоящему времени разработано большое количество методов синтеза пассивных цепей, чаще всего используются два из них: первый − метод разложения входной функции насумму простейших составляющих (метод последовательного выделения полюсов и постоянной); и второй − метод представления входной функции ввиде непрерывной дроби.1.
Метод последовательного выделения полюсов и постоянной.Сущность метода состоит в разложении функции F(p) на простые составляющие, реализацию которых можно определить непосредственно по их виду.M ( p)Пусть F ( p ) =имеет полюс в бесконечности. Тогда один шагN ( p)деления M(p)/N(p) дает F(p) = H·p + F1(p), где H − положительная вещественная величина. Таким образом, выделяется полюс в бесконечности.Если F(p) = Z(p) − сопротивление двухполюсника, то Z(p) = H·p + Z1(p)и H·p − сопротивление индуктивности; а если F(p) = Y(p) − проводимость, тоY(p) = H·p + Y1(p) и H·p − проводимость емкости.Если знаменатель функции F(p) имеет корень p = 0, то в разложении напростые дроби имеется член k0/p иF ( p) =M ( p ) k0= + F1 ( p ) ,N ( p) pгде k0 − вычет функции F(p) в полюсе p = 0.При F(p) = Z(p)-сопротивлении член k0/p представляет собой последовательно включенную емкость, при F(p) = Y(p)-проводимости k0/p соответствует параллельно включенной индуктивности.
Таким образом, выделяетсяполюс в начале координат.Если F(p) имеет простой полюс на мнимой оси p = ±jωk, тоF ( p) =kkkk2k p++ F1 ( p ) = 2 k 2 + F1 ( p ) ,p − jωk p + jωkp + ωkгде kk − вычет в полюсе p = ±jωk.Основы теории цепей. Конспект лекций-373-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВМетоды реализации двухполюсника по заданной входной функцииПри F(p) = Z(p)-сопротивлении сопротивление параллельно соединен12kи Lk = 2kных Ck =2k kωk2k k p1.=222p + ωkpω2k+2k k p 2kk pПри F(p) = Y(p)-проводимости проводимость последовательно вклю12kченных Lk =и Ck = 2k2k kωk2k k p1.=222p + ωkpω2k+2k k p 2kk pЕсли число пар сопряженных полюсов функции F(p) q, то и параллельных или последовательных контуров также q.После выделения из функции F(p) полюсов на мнимой оси остаетсяфункция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости в зависимости от того, что представляет собойF(p)-сопротивление или проводимость.
В частном случае может остаться положительная постоянная величина, которая реализуется последовательнымактивным сопротивлением, если F(p) = Z(p), или шунтирующим активнымсопротивлением, если F(p) = Y(p).Следует отметить, что величина этого сопротивления R = k ≤ minReF(jω),так как разность F(p) – k = F1(p) − положительная вещественная функция (если k > minReF(jω), то ReF1(jω) станет отрицательной для некоторых частот, аэто значит, F(p) не будет положительной вещественной функцией).Если же оставшаяся функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости имеет все нули и полюсы,лежащие на вещественной отрицательной полуоси, то двухполюсник, обладающий такой входной функцией, реализуется совокупностью RL- илиRC-элементов.Таким образом, каждое выделение полюса понижает сложность входной функции, и, в конце концов, эта функция будет исчерпана полностью, врезультате получается одна из двух схем (рис.
37.1).Схемы рис. 37.1 называются первой и второй каноническими схемамиФостера. Любая из них содержит минимальное количество реактивных элементов, которое необходимо для построения заданной частотной зависимости входного сопротивления или входной проводимости.Основы теории цепей. Конспект лекций-374-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВМетоды реализации двухполюсника по заданной входной функцииL1 =1k0Н2k1Lq =ω122k qω2qR=kС1 =F(p) = Z(p)12k1Сq =12k qа12k1L1 =F(p) = Y(p)1k0НC1 =Lq =12k qR=2k1Сq =ω122k q1kω2qбРис. 37.12. Метод представления входной функции в виде непрерывнойдроби.
Наряду со схемами Фостера возможно построение канонических схемв виде цепной или лестничной схем (рис. 37.2).Очевидно, Z(p) = Z1(p) + Zab(p),Z ab ( p ) =11Y2 ( p ) +Z 3 ( p ) + Z cd ( p )Z ( p ) = Z1 ( p ) +Z1(p)aZ(p)1Y2 ( p ) +Z3(p)Y2(p)bи т. д..1Z3 ( p ) +1Y4 ( p ) + … +1Yn ( p )Zn–1(p)cY4(p)Yn(p)dРис.
37.2Основы теории цепей. Конспект лекций-375-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВМетоды реализации двухполюсника по заданной входной функцииДля построения лестничной схемы следует представить входнуюфункцию в виде отношения полиномов, не разложенных на множители:M ( p ) an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0=.F ( p) =N ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0Если функция F(p) = Z(p) − сопротивление и n = m + 1, то имеется полюс при p = ∞, который устраняется одним шагом деления числителя на знаменатель:M 1( p )Z ( p ) = A1 p += A1 p + Z1′ ( p ) .N ( p)Функция Z1′ ( p ) обращается в нуль при p = ∞, обратная ей функция1Y1′( p ) =имеет при p = ∞ простой полюс и после выделения целой часZ1′ ( p )ти может быть представлена в виде суммы двух функций:Y1′( p ) = A2 p + Y2′ ( p ) .Поступая аналогично, находимZ 2′ ( p ) =1Y2′ ( p )= A3 p + Z 3′ ( p ) .Повторяя подобные преобразования n раз, получимZ ( p ) = A1 ( p ) +1A2 ( p ) +.1A3 ( p ) +1A4 ( p ) + … +1An ( p )Очевидно, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис.
37.2),еслиA1(p) = Z1(p), A3(p) = Z3(p), ..., An–1(p) = Zn–1(p),A2(p) = Y2(p), A4(p) = Y4(p), ..., An(p) = Yn(p).Основы теории цепей. Конспект лекций-376-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВМетоды реализации двухполюсника по заданной входной функцииОписанный процесс деления и обращения (инверсии) идентичен методу проверки полиномов Гурвица.Возможен второй вариант разложения в непрерывную дробь по пара1метру , при котором устраняется полюс функции в точке p = 0.
Разделивp1числитель и знаменатель функции F(p) на pn и обозначив = q , получимpF (q) =an + an−1q + an−2q 2 + … + a1 p n−1 + a0q n.bm q n−m + bm−1q n−m+1 + … + b1q n−1 + b0 q nЕсли F(q) = Z(q) − сопротивление, то разложение в цепную дробь даетZ ( q ) = B1 ( q ) +1B2 ( q ) +.1B3 ( q ) +1B4 ( q ) + … +1Bn ( q )Как и в первом варианте, двухполюсник эквивалентен приведеннойсхеме (рис. 37.2) приB1 ( q ) =B1BB= Z1 ( p ) , B3 ( q ) = 3 = Z 3 ( p ) , …, Bn−1Bn−1 ( q ) = n−1 =ppp= Z n−1 ( p ) =B2 ( q ) =Bn−1= Z n−1 ( p ) ,pB2BB= Y2 ( p ) , B4 ( q ) = 4 = Y4 ( p ) , …, Bn ( q ) = n = Yn ( p ) .pppСоответствующие двум вариантам разложения цепные схемы называютсяпервойивторойканоническимисхемамиКауэра.Основы теории цепей.
Конспект лекций-377-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников.Выше было показано, что функция входного сопротивления двухполюсника без потерь (LC) записывается в видеZ ( p ) = F0 + pT0 +V0V= pT0 + 0 ,ppF0 ≡ 0 − энергетическая функция, характеризующая потери в сопротивлениях.VНули сопротивления Z(p) p = ± j 0 находятся на мнимой оси.T0Учитывая, что p = σ + jω, получимZ ( p ) = ( σ + jω) T0 +V0σV ⎞⎛= ⎜ σT0 + 2 0 2 ⎟ +σ + jω ⎝σ +ω ⎠ωV ⎞⎛j ⎜ ωT0 − 2 0 2 ⎟ =σ +ω ⎠⎝= R ( σ, ω) + jX ( σ, ω) .Наибольший интерес представляет случай p = jω (σ = 0)Z(jω) = jX(ω), R(σ,ω) = 0.Аналогично для функции входной проводимости Y(p) = 1/Z(p) при p = jω:Y(p) = G(σ,ω) + jB(σ,ω) = jB(ω).Таким образом, входные функции LC-двухполюсников являются реактансными, т.
е. имеющими нули и полюсы только на мнимой оси.Одним из важнейших свойств входных функций является положительный наклон графиков их частотных зависимостей. Действительно, на основании условий Коши – Римана необходимыми и достаточными условиями того,чтобы функция u + jv = f(x + jy) была аналитической, являются∂u ∂v= ,∂x ∂y∂u∂v=− ,∂y∂xи чтобы эти частные производные в рассматриваемой области были непрерывны.Для Z(p) = R(σ,ω) + jX(σ,ω)Основы теории цепей. Конспект лекций-378-ЛЕКЦИЯ 37.
СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников∂R ( σ, ω) ∂X ( σ, ω)=,∂σ∂ω∂X ( σ, ω)dX ( ω) d ⎛ωV0 ⎞V0==ωT−=T+> 0.0⎜ 0⎟dωdω ⎝∂ω σ=0σ2 + ω2 ⎠ σ=0ω2Из монотонного нарастания X(ω) и B(ω) следует, что нули и полюсыфункций Z(p) и Y(p) чередуются. Это свойство называется разделительным.Простые и сопряженные полюсы и нули на мнимой оси обусловленысомножителями в числителе и знаменателе Z(p) или Y(p) вида p 2 + ωk2 и p.()Кроме того, независимо от вида и сложности LC-цепь ведет себя как одиночная индуктивность или как одиночная емкость на очень низких и очень высоких частотах, а это значит, что функции Z(p) и Y(p) всегда имеют полюсили нуль при p = 0 и p = ∞. Следовательно, высшая и низшая степени полиномов числителя и знаменателя входных функций двухполюсника должныотличаться на единицу.Таким образом:((p 2 + ω12⎧⎪ Z ( p ) ⎫⎪F ( p) = ⎨⎬=H ⋅ 2p + ω22⎪⎩ Y ( p ) ⎪⎭)( p)( p) ,+ ω )…2+ ω32 …224где ω1 ω3,...
− нули: ω2,... − полюсы − 0 ≤ ω1 < ω2 < ω3 < ω4 ...Если полином M(p) − четный, то полином N(p) − нечетный, и наоборот,если N(p) − четный, то M(p) − нечетный.Следует отметить, что в зависимости от наличия внешних нулей и полюсов возможны четыре варианта входных функций двухполюсника (рис. 37.3).а) − степень M(p) меньше степени N(p), в числителе сомножитель p;б) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в числителе;в) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в знаменателе;г) − степень M(p) меньше степени N(p), сомножитель p в знаменателе.Х(ω)Х(ω)Основы теории цепей.
Конспект лекций-379-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-никовω00аХ(ω)ωбХ(ω)0ω0вωгРис. 37.3Наиболее простыми цепями, реализующими заданную входную реактанстную функцию, являются канонические цепи Фостера и Кауэра.Первая цепь Фостера получается при разложении входного сопротивления на сумму простых дробей, число которых определяется числом полюсов Z(p):k0 q 2 k k pZ ( p) = H ⋅ p + + ∑ 2.p k =1 p + ωk2Коэффициенты разложения (вычеты) определяются:(⎡ Z ( p ) p 2 + ωk2Z ( p), k0 = lim ⎡⎣ Z ( p ) ⋅ p ⎤⎦ , 2kk = 2lim 2 ⎢H = limp →∞p →0p →−ωk ⎢pp⎣) ⎤⎥ .⎥⎦Суммированию простых дробей Zk(p) соответствует последовательноесоединение реализующих простых элементов L, C0 и параллельных контуров.Полная реализация двухполюсника в этом случае имеет вид, показанный на рис. 37.4.Основы теории цепей.
Конспект лекций-380-ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВСвойства и реализация входных функций LC-двухполюс-никовНL1 =1k0С1 =Z(p)2k1Lq =ω1212k1Сq =2k qω2q12k qРис. 37.4Наличие внешних нулей и полюсов функции Z(p) определяет наличие вцепи индуктивности L = H и емкости C0 = 1/k0. Если Z(p) имеет два внешнихнуля (частотная характеристика вида – рис. 37.3, а), то в цепи отсутствуютиндуктивности L = H и емкости C0, если имеет два внешних нуля (частотнаяхарактеристика (рис. 37.3, в), то индуктивность L = H и емкость C0 в цепиимеются. При наличии одного внешнего нуля и полюса у Z(p) (частотные характеристики (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
