ОТЦ лекции (1274753), страница 49
Текст из файла (страница 49)
39.10, рис. 39.11.С0Z(p)L3L1R1L2′L2С2′RCZ1′ ( p )Z1(p)Z2(p)Z3(p)Рис. 39.10Основы теории цепей. Конспект лекций-407-ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсниковС0R1L2′MLP = L1 + L2С2′Z(p)LPLSRLS = L2 + L3M = L2CРис. 39.11Во втором случае Z1(jω1) = + jx1 можно представить индуктивностьюxL1 = 1 > 0 и выделить pL1 из Z1(p). Функция Z2(p) = Z1(p) – pL1 не будет поω1ложительнойZ1 ( p ) − pL1 =вещественной,посколькупривычитанииM1 ( p )− pL1 получим в числителе Z2(p) члены с отрицательныN ( p)ми коэффициентами.
Однако функция Z2(p) имеет нуль при p = ±jω1, и еслииз обратной функции Y2(p) = 1/Z2(p) выделить полюс при p = ±jω1, в которомположительный вещественный вычет, то получится параллельная ветвь из L2и C (рис. 39.9).2k pОставшаяся функция Z3(p) = 1/Y3(p), где Y3 ( p ) = Y2 ( p ) − 2 2 2 , имеетp + ω1полюс в бесконечности с отрицательным вычетом, выделяя который, можнополучить L3 < 0 (рис. 39.12).L1 > 0L3 > 0L2Z1(p)Z4(p)CZ2(p)Z3(p)Рис. 39.12Основы теории цепей. Конспект лекций-408-ЛЕКЦИЯ 39.
СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВПримеры реализации RLC-двухполюсниковMZ1(p)LPLSZ4(p)CРис. 39.13После выделения L3 остается положительная вещественная функцияZ4(p), к которой может быть применен следующий цикл Бруне. Полученныетри индуктивности, как и в первом случае, могут быть заменены совершенным трансформатором (рис. 39.13).Контрольные вопросы1. Из каких этапов синтеза состоит метод Бруне?2.
Какая функция называется функцией минимального реактивногосопротивления или минимальной реактивной проводимости?3. Какую функцию называют минимальной функцией?4. Что называется предварительной цепью Фостера?5. При каких условиях трансформатор называется совершенным?Основы теории цепей. Конспект лекций-409-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВСвойства передаточных функций четырехполюсников.
СвойстваZ-параметров четырехполюсников. Нули передачи и свойства K12XX. УсловияФиалкова − Герста. Синтез передаточных функций четырехполюсников.Свойства передаточных функций четырехполюсников.Определение передаточных функций четырехполюсниковI1ZГI 2′ZНU2U1UГРис. 40.1U Г = U1 + I1 ⋅ Z Г , U 2 = − I 2′ ⋅ Z H .Передаточная функция по напряжению (рис.
40.1)K12 =− I 2′ ⋅ Z H− I 2′ ⋅ Z HU2==,U Г U1 + I1 ⋅ Z Г Z11I1 + Z12 I 2′ + I1Z Г⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ ,⎨⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ ,K12 =U2=UГ=− Z 21I1.Z H + Z 22Z H Z 21I1=⎛⎞− Z 21I1+ I1 ⋅ Z Г ⎟( Z H + Z 22 ) ⎜ Z11I1 + Z12+ZZ⎝⎠H22Z H Z 21=Z11Z 22 − Z 21Z12 + Z H Z Г + Z 22 Z Г + Z H Z11=− I 2′ ⋅ Z H = Z 21I1 + Z 22 I 2′ , I 2′ =Z H Z 21.Z H Z Г + Z 22 Z Г + Z H Z11 + ZОсновы теории цепей. Конспект лекций-410-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВСвойства передаточных функций четырехполюсниковДля более простых случаев (если четырехполюсник обратимыйZ21 = Z12)Z ( p ) −Y12 ( p )U1.
Z Г = 0, Z H → ∞, K12XX ( p ) = 22XX = 12.=U1Z11 ( p ) Y22 ( p )2. При Z Г = 0, K12 ( p ) =Z12 ( p ) ⋅ Z H ( p ).Z11 ( p ) ⋅ Z H ( p ) + Z3. При ZГ = 0 и ZH = 0 передаточной функцией являетсяI 2′ ( p )= −Y12 ( p ) .U1 ( p )4. Учитывая связь |Z|- и |Y|-параметров, получимY12 ( p ) =Y12 ( p ) ⋅ YH ( p )− передаточная проводимость.Y22 ( p ) + YH ( p )5. При YГ = 0Z12 ( p ) =U 2 ( p ) Z12 ( p ) ⋅ Z H ( p )− передаточное сопротивление.=I1 ( p ) Z 22 ( p ) + Z H ( p )При сопротивлении нагрузки R = 1 OмZ12 ( p ) =Z12 ( p )Y ( p); Y12 ( p ) = 12.Z 22 ( p ) + 1Y22 ( p ) + 1Свойства Z-параметров четырехполюсников.Для четырехполюсника (рис. 40.2) справедливы выражения:⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ ,U = a1U1 + a2U 2 , I1 = a1I , I 2′ = a2 I .⎨′=+,UZIZI⎩ 221 122 2U = a1Z11I1 + a1Z12 I 2′ + a2 Z 21I1 + a2 Z 22 I 2′ .При Z 21 = Z12 , U = a12 Z11I + 2a1a2 Z12 I + a22 Z 22 I .Основы теории цепей. Конспект лекций-411-ЛЕКЦИЯ 40.
СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВСвойства Z-параметров четырехполюсниковU= a12 Z11 + 2a1a2 Z12 + a22 Z 22 − квадратичная форма.IZ(p) – положительная вещественная функция (Z(p) ≥ 0) при Re P ≥ 0.Z ( p) =I1II 2′a1 : 11 : a2U2U1UРис. 40.2Поскольку Z11(p) и Z22(p) – входные функции цепи, то они не имеютполюсов в правой полуплоскости и вычеты на оси jω должны быть простыми. Следовательно, Z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости.Пусть k11, k12 и k22 – вычеты функций Z11(p), Z12(p) и Z22(p) в полюсе jω.Известно, что вычеты Z11(p) и Z22(p) в полюсах на мнимой оси вещественныеи положительные, тогда вычет функции Z(p) в этом полюсе такжеk > 0.k = a12 k11 + 2a1a2 k12 + a22 k22 > 0 .Отсюда очевидно, что при k11 ≥ 0, k22 ≥ 0 k12 – вещественная величина.Из анализа квадратичной формы получается условие вычетовk11k22 − k122 ≥ 0 .Аналогично для вещественных составляющих Z(p)Re Z ( jω) = a12 r11 + 2a1a2 r12 + a22 r22 ≥ 0 .При r11 > 0 r22 > 0 r11r22 − r122 ≥ 0 (Re P ≥ 0).Таким образом, на вещественную составляющую r12 накладывается ограничение, если Z(p) – положительная вещественная функция.Основы теории цепей.
Конспект лекций-412-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВНули передачи и свойства K12XX.K12XX ( p ) =U 22XX Z12 ( p )=.U1Z11 ( p )1. K12XX − рациональная функция с вещественными коэффициентами.2. Нулями передачи являются те нули Z12(p), которые не являются нулями Z11 (p). Полюсы Z11 (p) (частные, которых нет у Z12(p) являются нулямиK12XX.
Так как расположение нулей Z12(p) не ограничено левой полуплоскостью, то K12XX может иметь нули любой кратности по всей плоскости комплексного переменного Р. (Z12(p) не является функцией двухполюсника, поэтому на расположение ее нулей не накладывается ограничений.)3. Полюсы K12XX могут быть только в левой полуплоскости, так как ониявляются нулями Z11(p), или на оси jω (Z12(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости).4. Вычет K12XX в полюсе на оси jω является мнимым.Действительно, при Z11(jω) = 0, r11 = 0 и если r22 ≠ ∞, то из условия вещественных составляющих получаем r12 = 0 и следовательно, Z12(jω) − чистомнимая величина.K12XX ( p ) =Разложим(Z12 ( p )Z= 2 122Z11 ( p )′p + ω1 Z11()( Z11′ ( jω) ≠ 0 ) .⎛ 2k1 pA ⎞Z=+⎜⎟.1222′Zp+ω′p 2 + ω12 Z1111 ⎠⎝1Z12)Вычет K12XX при p = jω1⎡⎤Z12⎢⋅ ( p − jω1 ) ⎥=′⎢ p 2 + ω12 Z11⎥⎣⎦ p = jω1()A ( p − jω1 ) ⎤ ⎪⎫⎪⎧ ⎡ 2k p= ⎨ Z12 ⎢ 2 1+= ( Z12 k1 ) p = jω .⎥⎬1′Z11⎪⎩ ⎣ p + jω1⎪⎦ ⎭ p = jω1Поскольку Z12(jω) − чисто мнимая величина, то вычет K12XX − чистомнимая величина.Основы теории цепей.
Конспект лекций-413-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВНули передачи и свойства K12XX5. K12XX не имеет полюса при Р = 0 и Р = ∞. Действительно, еслиZ11(0) = 0, а Z12(0) ≠ 0, то Z12(0) должна быть постоянной. Однако, если Z12(0)постоянная величина, то при r11 = 0 нарушается условие для вещественныхсоставляющих ( r11r22 − r122 ≥ 0 ).Условия Фиалкова − Герста.Неуравновешенный четырехполюсник (рис. 40.3) может быть замененсхемой замещения (рис. 40.4).I1I 2′U2U1I1Z12U1Рис.
40.3Z22 – Z12Z11 – Z12I 2′U2Рис. 40.4Если (Z11 – Z12), (Z22 – Z12) и Z12 − положительные вещественные функции, то в полиномах их описывающих не могут появляться знаки «минус».Тогдаam p m + am−1 p m−1 + … + a1 p + a0Z12 ( p ) =,q( p)bn p n + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0Z11 ( p ) =,q( p)ck p k + ck −1 p k −1 + … + c1 p + c0Z 22 ( p ) =,q( p)все Z − параметры имеют одни и те же полюсы. И так как (Z11 – Z12),(Z22 – Z12) и Z12 не могут содержать отрицательных членов, то ai ≥ 0; bi ≥ai;ci ≥ai − условия Фиалкова − Герста.
m ≤ n или m ≤ k в зависимости от того,что меньше n или k.Z ( p)Поскольку K12XX ( p ) = 12, то все коэффициенты не отрицательны,Z11 ( p )коэффициенты при соответствующих степенях Р в числителе меньше (или покрайней мере, равны) соответствующим коэффициентам знаменателя.Следует отметить, что на вещественной оси выполняется соотношениеОсновы теории цепей. Конспект лекций-414-ЛЕКЦИЯ 40.
СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВУсловия Фиалкова − Герста0 < K12XX(σ) ≤ 1.Для уравновешенной цепи (рис. 40.5)K12XX =U 22′ ( p ) U 21′ ( p ) − U 2′1′ ( p )=,U11′ ( p )U11′ ( p )K12XX =U 21′ ( p ) U 2′1′ ( p )−.U11′ ( p ) U11′ ( p )121′2′Рис. 40.5Для уравновешенного четырехполюсника числитель K12XX может иметьотрицательные коэффициенты. Условия Фиалкова − Герста в этом случаеbi ≥ |ai|; ci ≥ |ai| и –1 ≤ K12XX (σ) ≤ 1.Синтез передаточных функций четырехполюсников.Разница между синтезом только по входной функции (синтезом двухполюсников) и синтезом по передаточной функции состоит в том, что в первом случае задана только одна функция (входная); во втором случае входнуюфункцию (например, Z11(p) реализуют с учетом ограничивающих условий,определяемых передаточной функцией (скажем Z12(p)).Симметричная ненагруженная скрещенная цепь.
Мостовой четырехполюсник (рис. 40.6)⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ , ⎡ Z11⎨⎢⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ , ⎣ Z 211⎡1⎤ZZZZ+−()()baba⎥Z12 ⎤ ⎢ 22=⎢⎥.Z 22 ⎥⎦ ⎢ 11Zb − Z a )Zb + Z a )⎥((2⎣⎢ 2⎦⎥Основы теории цепей. Конспект лекций-415-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВСинтез передаточных функций четырехполюсниковI1ZaU1ZbZbZaI 2′ZbU2ZaРис.
40.6Теорема. Если существует реализация в виде симметричной четырехполюсной цепи, то для нее всегда можно использовать симметричную скрещенную цепь (мостовой четырехполюсник).Иными словами, если заданы Z11, Z12 и Z11 = Z22, удовлетворяющие условиям реализуемости, то всегда существует реализация в виде мостовогочетырехполюсника.Из матрицы [Z]Za = Z11 – Z12 = Z22 – Z12,Zb = Z11 + Z12 = Z22 + Z12.Так как Z(p) − входная функция, положительная вещественная функция, то для вещественных составляющих rik = ReZik(jω) справедливо соотношение r11r22 − r122 ≥ 0 при Rep ≥ 0.Если r11 = r22, то r112 − r122 ≥ 0 , (r11 – r12)(r11 – r12) ≥ 0 или (ReZa)(ReZb) ≥ 0при Rep ≥ 0.Так как r11 > 0, то последнее выражение можно удовлетворить лишьодним образом, ReZa ≥ 0 и ReZb ≥ 0 при Rep ≥ 0.
Это означает, что Za и Zb −положительные вещественные функции.Отсюда следует, что симметричная цепь всегда может быть скрещенной цепью (мостовой).Пример 1. Пусть имеемОсновы теории цепей. Конспект лекций-416-ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВСинтез передаточных функций четырехполюсниковZ11 =3 p 4 + 9 p3 + 7 p 2 + 5 p + 2()2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1)Z12 =p 4 + p3 + p 2 − 3 p − 2()2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1),.Тогда2 p 4 + 8 p3 + 6 p 2 + 8 p + 4Z a = Z11 − Z12 ==(()2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1)) ( ) (p ( p + 1) ( 2 p + 1)=)=p2 p2 + 1 + 4 p p2 + 1 + 2 p2 + 12p2 + 4 p + 2p2==+ .p ( 2 p + 1) 2 p + 1 pZ b = Z11 + Z12 ===(4 p 4 + 10 p 3 + 8 p 2 + 2 p()2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1)=)=2 p 2 p3 + p 2 + 4 p 2 + 2 p + 2 p + 1()2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1)p 2 ( 2 p + 1) + 2 p ( 2 p + 1) + ( 2 p + 1)(=)p 2 + 1 ( 2 p + 1)p2 + 2 p + 1(p2)+1=1+2p(p2)+1=.Реализуем Za и Zb.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
