ОТЦ лекции (1274753), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Исследуя выражения напряжений на индуктивности и емкости на экстремум, получим следующие формулы для частот:fC max = f 0 1 −12Q 2иf L max =f011−2Q 2.При больших добротностях можно считать, что максимумы напряжений на индуктивности и емкости совпадают с резонансной частотой.На рис. 8.10 приведены графики зависимости тока, напряжений на индуктивности и емкости, а также индуктивного и емкостного сопротивленийот частоты для контура с параметрами L = 20 мГн, С = 10 нФ, R = 800 Ом.Из графиков следует, что при отходе от резонансной частоты влево токвблизи резонанса изменяется медленно, а сопротивление емкости растет значительно быстрее, следовательно, напряжение на емкости, равное произведению тока на сопротивление, становится больше чем U CP = QE .Основы теории цепей.
Конспект лекций-77-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИЧастотные характеристики последовательного колебательного контураUL, UC, ВXC =2,412πfCUCXL = 2π2πfLUL1,81,2Е=1ВI0,60f0fC max 106fL max15 f, кГцРис. 8.10При дальнейшем уменьшении частоты ток уменьшается быстрее, чемувеличивается сопротивление конденсатора, и напряжение на емкости начинает уменьшаться, стремясь к напряжению источника ЭДС.При отходе от резонансной частоты вправо сопротивление индуктивности растет быстрее, чем уменьшается ток, и напряжение на индуктивностисначала увеличивается, становясь больше U LP = QE , а затем уменьшается довеличины напряжения источника ЭДС.Очевидно, что чем меньше добротность контура, тем дальше отстоятмаксимумы напряжений на L и C от резонансной частоты.В радиотехнике часто приходится иметь дело с малыми расстройкамисигнала от резонансной частоты контура ω0.
Тогда⎛ ω ω0 ⎞ XQ⎜−⎟ = = ξ,ωω⎝ 0⎠ Rгде ξ – обобщенная расстройка.Действительно,ω ω0 ω2 − ω02 (ω + ω0 )(ω − ω0 ) (ω + ω0 )ΔωΔω−===≈2, ∆ω = ω – ω0 – абсоω0 ωωω0ωω0ωω0ω0Δω1 (ω ≈ ω0)лютная расстройка, приω0Основы теории цепей. Конспект лекций-78-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИЧастотные характеристики последовательного колебательного контураξ=Q2Δω1, φ(ξ) = arctg ξ.и n ( ξ) =2ω01+ ξГрафики этих функций с большой точностью совпадают с графиками⎛X⎞⎛X⎞n ⎜ ⎟ и ϕ ⎜ ⎟ в полосе частот около резонансной частоты.⎝R⎠⎝R⎠Входные частотные характеристики последовательного контура.Комплексное входное сопротивление контура выражается формулой⎡1 ⎞ρ ⎛ ω ω0 ⎞ ⎤⎛1Z ВХ = R + jX = R + j ⎜ ωL −=R+j− ⎟ ⎥ = R [1 + jξ] .⎢⎜⎟ωC ⎠Rωω ⎠⎦⎝0⎝⎣ZВХZВХZ′ВХR0ωω0Рис.
8.11Зависимость модуля комплексного входного сопротивления от частотыназывается входной амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость фазы от частоты – входной фазочастотной характеристикойконтура.Входная АЧХ Z ВХ = R 1 + ξ2 (рис. 8.11).Входная ФЧХ φ = arctg ξ. В области малых расстроек2⎛Δω ⎞′ ≈ R 1 + ⎜ 2QZ ВХ⎟ .ω0 ⎠⎝Основы теории цепей. Конспект лекций-79-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИПолоса пропускания последовательного контура.Полосой пропускания контура называют интервал частот, на границах1от резонансного значениякоторого амплитуда тока снижается до уровня2(рис. 8.12).n (ξ) =11+ ξ2=12ξ = ±1 ,⎛ω⎛ωω ⎞ω ⎞откуда Q ⎜ В − 0 ⎟ = 1, Q ⎜ Н − 0 ⎟ = −1 ,⎝ ω0 ωВ ⎠⎝ ω0 ωН ⎠n(ω)11202ΔωωωH ω0 ωBφ(ω)90°45°0ωωH ω0 ωB–45°–90°Рис.
8.12⎛dd2ωВ = ω0 ⎜ + 1 +⎜24⎝где d =⎞⎛ dd2⎟ , ωН = ω0 ⎜ − + 1 +⎟⎜ 24⎠⎝⎞⎟,⎟⎠1ω, 2Δω = ωВ − ωН = ω0 d = 0 .QQОсновы теории цепей. Конспект лекций-80-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИПолоса пропускания последовательного контураНа границах полосы пропускания ξ = ±1 и φ(±1) = ±45º, т. е. в пределахполосы пропускания ФЧХ изменяется от –45º на ω = ωH до +45º на ω = ωB.Передаточные функции последовательного контура.Комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напряжении на емкости (рис.
8.13, а)ω01UE 1 1ω.KC = C = ⋅⋅ ==1 + jξE Z j ωC E⎡⎛ ω ω0 ⎞ ⎤− ⎟⎥jωCR ⎢1 + jQ ⎜⎝ ω0 ω ⎠ ⎦⎣− jQабРис. 8.13ω0ω = n ⎛ ω ⎞ Q ω0 .Передаточная АЧХ K C =⎜ ⎟1 + ξ2⎝ ω0 ⎠ ωπПередаточная ФЧХ ϕC = − − arctg ξ .2Аналогично выражается комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напряжении на индуктивности (рис. 8.13, б)QωUEj ωL1ω0K L = L = ⋅ jωL ⋅ ==,E ZE⎡⎛ ω ω0 ⎞ ⎤ 1 + jξ−R ⎢1 + jQ ⎜⎟⎥ω⎝ 0 ω ⎠⎦⎣jQQАЧХ K L =ωω0⎛ ω⎞ωπ= n⎜ ⎟ ⋅ Q, ФЧХ ϕ L = − arctg ξ .21 + ξ2⎝ ω0 ⎠ ω0Основы теории цепей.
Конспект лекций-81-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИПередаточные функции последовательного контураK LPπ2,πK CP = Q, ϕC = − ,2πjπ= Qe 2 , K LP = Q, ϕ L = .2Графики передаточных АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 8.14.При резонансе K CP = Qe-jφφLωω0ωω0φCωω0абРис. 8.14Из последних соотношений следует, что максимумы КС и КL не совпадают с резонансной частотой, а сдвинуты по оси частот.KCmax получается на частоте ωC max = ω0 1 −K Lmax получается на частоте ωL max =При Q >> 11,2Q 2ω011−2Q 2.1→ 0 и K Lmax = K Cmax = Q .2Q 2Основы теории цепей. Конспект лекций-82-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИВлияние сопротивления генератора и нагрузкина избирательность последовательного колебательного контура.Избирательность – способность контура разделять колебания близкихчастот определяется крутизной резонансной кривой контура.При подключении контура к реальному источнику ЭДС (рис.
8.15) экρρ< Q = , следовательно, увеличениевивалентная добротность QÝ =R + RiRвнутреннего сопротивления генератора ведет к расширению полосы пропускания контура (рис. 8.16).Если к выходным зажимам контура подключить резистор RH, то в этомрезисторе будет рассеиваться энергия, вследствие чего добротность цепиокажется меньше добротности ненагруженного контура.Для определения QH нагруженного контура заменим параллельное соединение RH и С эквивалентным последовательным на частоте ω = ω0(рис. 8.17).Рис.
8.15⎛ Δω ⎞n⎜⎟⎝ ω0 ⎠2Δω2ΔωЭ0,707QЭnЭQn0Δωω0Рис. 8.16Основы теории цепей. Конспект лекций-83-ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИВлияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контураRВНRНабРис. 8.17Условие эквивалентности цепей (рис. 8.17, а, б)Z RHC|| = Z RBHC1RHRHRH2 ω0Cj ωC,===−j221+ωjRC11 + ( ω0 RHC )1 + ( ω0 RHC )0 HRH +j ωCRH ⋅1= ρ при ρ << RH.ω0CRH2ρ21ρ2RHρ.−j 2 =− jρ = RBH − j, RBH =Z RHC|| =2RHω0CRH RH⎛ RH ⎞⎜ ρ ⎟ρ2⎝⎠Добротность нагруженного контура QН =ρ=R + RВНρ< Q , а полосаρ2R+RНпропускания нагруженного контура становится шире полосы ненагруженного контура и его избирательность ухудшается.Контрольные вопросы1. Какой режим цепи называется резонансом токов?2.
Каковы входные частотные характеристики параллельного колебательного контура?3. Каковы передаточные частотные характеристики параллельного колебательного контура?4. Как влияет внутреннее сопротивление генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура?Основы теории цепей.
Конспект лекций-84-ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙКОНТУРВходные частотные характеристики параллельного колебательногоконтура. Передаточные функции параллельного колебательного контура.Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура. Влияниевнутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура.Параллельным колебательным контуром называется цепь (рис. 9.1), составленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключенных параллельно к выходным зажимам источника.Рис. 9.1Если на входных зажимах действует источник с Ri = 0, то E = U K и согласно первому закону Кирхгофа I = I L + I C ,EE., IC =1RL + jωLRC +j ωCНа практике контуры составлены из индуктивностей и конденсаторов,1.имеющих большие добротности, т.
е. RL << ωL и RCωC1можно наблюдатьВ зависимости от соотношения XL = ωL и X C =ωCтри режима работы контура.1EEПри ωL >≈.ток в индуктивной ветви I L =ωCRL + jωL jωLгде I L =Основы теории цепей. Конспект лекций-85-ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР⎛ ωL ⎞ πЭтот ток отстает от напряжения на контуре на угол ϕ L = arctg ⎜⎟ ≈ , поR⎝ L⎠ 2скольку RL << ωL.EТок в емкостной ветви I C =≈ jωCE .1RC +j ωC⎛ 1 ⎞ πТок I C опережает напряжение на контуре на угол ϕC = arctg ⎜⎟ ≈ , поRCω⎝ C⎠ 21.скольку RCωCОчевидно, что ток IC > IL. Ток I в неразветвленной части цепи опережает напряжение на контуре на угол φ, т.
е. реактивная составляющая входного сопротивления имеет емкостный характер.Векторная диаграмма токов и напряжения на контуре для этого режимаприведена на рис. 9.2, а.φ φСφφLаφСφСφLбφLφ=0вРис. 9.21, IC < IL. Ток I в неразветвленной части цепи (рис. 9.2, б)ωCотстает от напряжения на контуре на угол φ, т. е. реактивная составляющаявходного сопротивления имеет индуктивный характер.ПриωL <Основы теории цепей. Конспект лекций-86-ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР1, IC ≈ IL. Ток I в неразветвленной части цепи (рис. 9.2, в)ω0Cсовпадает по фазе с напряжением на контуре, т. е. реактивная составляющаявходного сопротивления равна нулю.
Режим цепи, при котором реактивнаясоставляющая входной проводимости равна нулю, называется резонансомтоков.Резонансная частота с учетом RL и RC находится из условия равенстванулю реактивной составляющей входной проводимостиПри ω0 L =YBХ =где b =ωLRL2+ ( ωL )2−11+= g − jb ,RL + jωL RC + 1/ jωC1/ ωCRC2+ (1/ ωC )2.b = 0 при ω′0 , определяемой из условия22ω′0 L ⋅ ⎡ RC2 + (1/ ω′0C ) ⎤ − 1/ ω′0C ⋅ ⎡ RL2 + ( ω′0 L ) ⎤ = 0 ,⎣⎦⎣⎦откуда ω′0 =1⋅LC( L / C ) − RL2( L / C ) − RC2=ρ2 − RL21⋅.LC ρ2 − RC2При равенстве активных сопротивлений ветвей RL = RC или при RL << ρ,RC << ρ, что выполняется практически во всем интересующем нас диапазоне1частот, ω′0 ≈ ω0 =, т. е. условия резонанса токов совпадают с условиямиLCрезонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех жеUэлементов L и C. На резонансной частоте I L P ≈ I CP ≈ K = I K .ρВ случае идеального контура (RL = RC = 0) токи I L P = I CP в ветвях равны по величине и противоположны по фазе, следовательно, ток в неразветвленной цепи равен нулю.
Контур не потребляет энергию от генератора ипроисходит периодическое колебание энергии между электрическим и магнитным полями конденсатора и индуктивности за счет первоначально внесенной энергии при подключении генератора.Основы теории цепей. Конспект лекций-87-ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУРВходные частотные характеристикипараллельного колебательного контура.Комплексное входное сопротивление контураZ BХ =jωL ) ( RC + 1/ jωC ),RL + RC + j ( ωL − 1/ ωC )( RL +1,ωCпри RL <<ωL и RCZ ВХ =L/Cρ2ρ2,==R + j ( ωL − 1/ ωC ) Z ВХ.
ПОСЛ R (1 + jξ )Z ВХ. ПОСЛ = RL + RC + j ( ωL − 1/ ωC ) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.ρ2= Q ⋅ ρ , при Q = 100–200 иНа резонансной частоте Z ВХР = RЭ =Rρ = 100–1000 Ом, Z ВХР = RЭ = 10 − 200 кОм.Разделив вещественную и мнимую часть комплексного входного сопротивления, получим:Z ВХ =RЭRR ξ= Э 2 − j Э 2 = RВХ − jX ВХ .1 + jξ 1 + ξ1+ ξМодуль входного сопротивления Z ВХ =RЭ2.1+ ξZ ВХ1Амплитудно-частотная характеристика== n ( ξ ) имеет2RЭ1+ ξтакой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХпредставляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
