ОТЦ лекции (1274753), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. метод узловых напряжений тоже является модификацией метода Кирхгофа. Данный метод имеет преимущества по сравнению с методом контурных токов, когдаколичество узлов меньше числа независимых контуров сложной цепи.Основы теории цепей. Конспект лекций-35-ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод узловых напряженийПриняв потенциал одного из узлов (базисного или опорного) равнымнулю, получим некоторые напряжения остальных узлов относительно базисного, называемые узловыми напряжениями.Определим токи во всех ветвях цепи (рис.
3.4), приведенной в примере 1.IΣ1I1IΣ2R1aUaI5bR2I2IΣ3I4cUb R5R4I6UcR6R3dI3Рис. 3.4Для узлов a, b, с система уравнений, составленных по первому законуКирхгофа, следующая⎧− I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 − I1 − I 2 − I 3 = 0⎪IΣ 2 − I5 − I 4 + I 2 = 0⎨⎪I Σ1 + I1 + I 5 − I 6 = 0⎩для узла а;для узла b;для узла c,где IΣ1, IΣ2, IΣ3 – токи источников тока.Токи, протекающие через сопротивления,I1 =Ua − Uc,R1I5 =I2 =U a − Ub,R2I3 =Ua,R3I4 =Ub,R4Ub − UcU, I6 = c .R5R6Подставив эти значения в последнюю систему уравнений, получим:⎧− I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 − g1 (U a − U c ) − g 2 (U a − U b ) − g3U a = 0;⎪I Σ 2 − g5 (U b − U c ) − g 4U b + g 2 (U a − U b ) = 0;⎨⎪I Σ1 + g1 (U a − U c ) + g5 (U b − U c ) − g 6U c = 0;⎩где gk = 1/Rk.Основы теории цепей.
Конспект лекций-36-ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод узловых напряжений⎧( g1 + g 2 + g3 )U a − g 2U b − g1U c = − I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 ;⎪⎨ − g 2U a + ( g 2 + g 4 + g5 )U b − g5U c = I Σ 2 ;⎪⎩ − g1U a − g5U b + ( g1 + g5 + g 6 )U c = I Σ1.Величины, представляющие собой сумму проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле, называются собственной проводимостью узла, величина, равная проводимости ветви между узлами, входящая со знаком минус всистему уравнений, называется общей проводимостью между узлами.Решив данную систему уравнений, получим узловые напряжения и далее по закону Ома определим токи в ветвях.В общем случае для сложной цепи, содержащей q узлов:I11 = g11U1 + g12U 2 + ...
+ g1,q −1U q −1 ;⎧⎪I 22 = g 21U1 + g 22U 2 + ... + g 2,q −1U q −1 ;⎪⎨⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎪I⎩ q −1,q −1 = g q−1,1U1 + g q −1,2U 2 + ... + g q −1,q −1U q −1.Здесь I11, I22, ..., Iq – 1,q – 1 – алгебраическая сумма токов источников, связанныхс узлами; gii – собственная проводимость i-го узла; gik – общая проводимостьмежду i-м и k-м узлами, входящая со знаком (–) при выбранном направленииузловых напряжений к базисному узлу.Решив систему уравнений с помощью определителей, получим:1 q −1U k = ∑ I ii Δ ik ,Δ i =1где ∆ – определитель системыg11 g12 ...
g1,q−1Δ=g 21 g 22 ... g 2,q −1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅g q −1,1 g q −1,2 ... g q −1,q −1,∆ik – алгебраическое дополнение элемента gik, полученное из определителя ∆вычеркиванием k-го столбца и i-й строки и умножением полученного определителя на (– 1)(1 + k).Основы теории цепей. Конспект лекций-37-ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод узловых напряженийВ развернутом виде:1⎡ I11Δ11 + I 22 Δ 21 + ... + I q −1,q −1Δ q −1,1 ⎤⎦ ,Δ⎣1U 2 = ⎡⎣ I11Δ12 + I 22 Δ 22 + ... + I q −1,q −1Δ q −1,2 ⎤⎦ ,Δ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1U q −1 = ⎡⎣ I11Δ1n + I 22 Δ 2 n + ...
+ I q −1,q −1Δ q −1,q −1 ⎤⎦ .ΔU1 =Из последних уравнений следует, что узловые напряжения определяются алгебраической суммой частных узловых напряжений, обусловленныхдействием каждого источника тока, т. е. как и в методе контурных токов, этиуравнения отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей.Изложенные правила составления узловых уравнений справедливы идля цепей с зависимыми источниками тока, т. е. ИТУН и ИТУТ. В уравнениях появляются дополнительные слагаемые, обусловленные взаимной проводимостью между узлами через зависимые источники.Метод эквивалентного генератора.Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви.
По отношениюк рассматриваемой ветви всю остальную часть цепи независимо от ее структуры можно рассматривать как двухполюсник (рис. 3.5). Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным – в противном случае.Различают два варианта метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод основан натеореме Тевенена, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряженияс ЭДС, равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви,и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивногодвухполюсника со стороны разомкнутой ветви.Основы теории цепей.
Конспект лекций-38-ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод эквивалентного генератораПусть в некоторой сложной цепи требуется найти ток в одной из ееветвей. Такую цепь можно представить в виде активного двухполюсника иподключенной к нему интересующей нас ветвью (рис. 3.5, а).Режим цепи не будет нарушен, если последовательно с сопротивлениемR включить два одинаковых источника ЭДС EЭ1 и EЭ2, имеющих встречныеполярности (рис. 3.5, б) и величину, равную напряжению холостого хода, которое появится на зажимах двухполюсника, если разомкнуть заданную ветвь.Согласно методу наложения будем считать искомый ток состоящим издвух составляющих: I = I1 + I2 (рис.
3.5, в). Ток I1 вызван действием всех источников активного двухполюсника и источником EЭ1. Очевидно, что I1 = 0,т. е. в этом случае в цепи реализован режим холостого хода.IIEЭ1EЭ2RRбаI2EЭ1I1EЭ2RRвI2EЭ2 = UХХUХХRiЕЭгРис. 3.5дТок I2 (рис. 3.5, г), вызванный действием оставшегося источника EЭ2при отсутствии всех остальных источников в цепи (короткое замыкание источников ЭДС и разрыв источников тока активного двухполюсника), представляет собой искомый токI2 = I =EЭ2U= XX ,Ri + R Ri + RОсновы теории цепей. Конспект лекций-39-ЛЕКЦИЯ 3.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод эквивалентного генераторагде Ri – внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения,равное входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви. Из последней формулы следует, что активный двухполюсник может быть заменен последовательной схемой эквивалентного генератора (рис. 3.5, д).Если сопротивление нагрузки (рис.
3.5, г) замкнуть накоротко, то межEду зажимами генератора будет проходить ток I КЗ = Э .RiОтсюда следует, что внутреннее сопротивление эквивалентного генераторанаходится как отношение напряжения холостого хода к току короткого заUмыкания Ri = XX .I КЗНаряду с заменой активного двухполюсника эквивалентным генератором напряжения, возможна также и замена его эквивалентным источникомтока.Условием эквивалентности источника ЭДС и источника тока являетсяодин и тот же ток и напряжение, вызываемые ими на одной и той же нагрузке(рис. 3.6).RiIIRЕЭUIЭIiRRiаUбРис. 3.6Напряжение эквивалентного генератора (рис.
3.6, а)EЭ = RIi + U или U = EЭ – RiI.Напряжение на нагрузке в схеме с генератором тока (рис. 3.6, б)U = RI = RiIi = Ri (IЭ – I) = RiIЭ – RiI.Таким образом, EЭ – RiI = RiIЭ – RiI или EЭ = RiIЭ.EТок эквивалентного источника тока I Э = Э , т.
е. равен току, возниRiкающему в цепи в режиме короткого замыкания данной ветви.Основы теории цепей. Конспект лекций-40-ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙМетод эквивалентного генератораМетод эквивалентного источника тока. В основе метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрическойцепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключенаданная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.При переходе от эквивалентного генератора напряжения к эквивалентному источнику тока выше было получено:IЭ =EЭ= I КЗ = GiU XX ,Riгде G = 1/Ri – внутренняя проводимость эквивалентного источника тока.После нахождения IКЗ и Ri искомый ток в нагрузке можно найти поформулеI=URRi 1Ri= I КЗ⋅ = I КЗ.RR + Ri RR + RiКонтрольные вопросы1.
Каковы основные недостатки метода расчета электрических цепей,основанных на применении законов Кирхгофа?2. Чем определяется количество уравнений при расчетах цепи методомконтурных токов?3. Каковы преимущества метода узловых напряжений по сравнению сметодом контурных токов?4. Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции?5. Какие теоремы лежат в основе метода эквивалентного генератора?Основы теории цепей. Конспект лекций-41-ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИГармонические колебания. Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции.Гармонические колебания.Колебательный процесс называется гармоническим, если мгновенноезначение напряжения или тока изменяется во времени по законуu = Umcos(ωt + ψ)илиu = Umsin(ωt + ψ´).Гармоническое колебание является периодической функцией времени.На рис.
4.1 отмечены амплитуда Um (максимальное значение) колебания иего период Т = 1/f, где f – частота колебания.Величина θ = ωt + ψ называется текущей фазой колебания и представляет собой некоторый угол, величина которого зависит от времени. Постоянная величина ψ называется начальной фазой, определяющей величину смещения гармонической функции относительно начала координат.Величина ω пропорциональна частоте f; она носит название угловойчастоты и равна 2πf.Угловая частота является скоростью изменения текущей фазы, т. е.dθ2π.ω=, и измеряется в радианах в секунду (рад/с). ω = 2πf =dtTψωUmcosψ0Рис.
4.1Основы теории цепей. Конспект лекций-42-ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИГармонические колебанияПри t = 0 значение функции определяется амплитудой и величиной начальной фазыu(0) = Umcosψ.Среднее и действующее (эффективное) значениягармонической функции.Среднее значение периодической функции за период Т определяется поформулеTFCP1= ∫ f (t )dt .T0В случае гармонического колебания среднее значение за период равновысоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади,ограниченной функцией f(t) и осью абсцисс и равна нулю, так как площадьположительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны. Поэтому под средним значением гармонической функции понимаютсреднее значение за полпериода.Для гармонического напряжения u = UmcosωψU CP2=TT4T2U2∫T U m cos ωtdt = T ωm sin ωt −4T = π U m ≈ 0,637U m .4−4Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функциивычисляется по формулеT1[ f (t )]2 dt .F=∫T0Из этой формулы следует, что величина F2 представляет собой среднеезначение функции [f(t)]2 за период Т, т.
е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [f(t)]2и осью абсцисс за один период.При токе i = ImcosωtОсновы теории цепей. Конспект лекций-43-ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИСреднее и действующее (эффективное) значения гармонической функцииTTT11 2I m2I22I=[i (t )] dt =I m cos ωtdt =(1 + cos 2ωt )dt = m .∫∫∫T0T02T 02Количество теплоты, выделенное гармоническим током за время, равное периоду колебаний,TTT000W = ∫ Pdt = ∫ uidt = ∫ Ri 2 dt =RI m2T.2Выделенная за это же время постоянным током теплота2W = RI constT.Из условия равенства количества теплоты, выделяемой гармоническимIT⎛⎞2T ⎟ , получим I = I const = m , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
