ОТЦ лекции (1274753), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. дейсти постоянным токами ⎜ RI m2 = RI const22⎝⎠вующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R за периодвремени Т, выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.Контрольные вопросы1. Какой процесс называется гармоническим?2. Что такое среднее значение гармонической функции?3. Что такое действующее (эффективное) значение гармоническойфункции?Основы теории цепей.
Конспект лекций-44-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДПредставление гармонических функций с помощью комплексных величин. Гармонический ток в элементах электрической цепи (гармоническийток в сопротивлении, индуктивности и емкости).Представление гармонических функцийс помощью комплексных величин.При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цеписводится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний. В связи сэтим был разработан метод комплексных амплитуд, основанный на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов,которые выражаются аналитически в комплексной форме.
Метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд могут быть представлены как проекции вектора U m на комплексной плоскостивращающегося против часовой стрелки с угловой частотой ω (рис. 5.1) на осикоординат.Imu(t) = Umsin(ωt + ψ)ωt2ωt1ψ0t2 t1 0Re0t1t2u(t) = Umcos(ωt + ψ)Рис. 5.1Основы теории цепей. Конспект лекций-45-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДПредставление гармонических функций с помощью комплексных величинПроекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функциейU(t) = Umcos(ωt + ψ),а на мнимую ось – синусоидальной функциейU(t) = Umsin(ωt + ψ).Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах:алгебраической U m = ReU m + j ImU m , где j = −1 ;показательной U m =| U m | e jψ , гдеU m – модуль; ψ – аргумент;тригонометрической U m =| U m | cos α + j | U m | sin α .Модуль вектора | U m |=аргумент α = arctg( ReU m ) + ( ImU m )22| U m |=( ReU m ) + ( ImU m )22,ImU m.ReU mВ случае гармонического колебания аргумент комплексного числа U mявляется функцией времени α = ω · t + ψ.Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражаетсяв показательной формеU ( t ) = U m e j ψ e j ωt ;в тригонометрической формеU ( t ) = U m cos ( ωt + ψ ) + j U m sin ( ωt + ψ ) .Кроме рассмотренного выше, возможен и несколько иной способ представления гармонических колебаний в виде двух вращающихся навстречувекторов (рис.
5.2).Основы теории цепей. Конспект лекций-46-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДПредставление гармонических функций с помощью комплексных величинImImu(t) = jUmsin(ωt + ψ)jωtω–jωtu(t) = Umcos(ωt + ψ)ωψψRe–ψ–ωjωt0–ψ–ω–jωtRe–jωtРис. 5.2На основании формулы Эйлера:− j ωt +ψ )e j ( ωt +ψ ) + e (u ( t ) = U m cos ( ωt + ψ ) = U m2или*u (t ) =U m j ωt U m − j ωte +e,22*где U m = U me jψ , а U m = U me − jψ – комплексно-сопряженное число.u (t ) = U m sin(ωt + ψ ) = U me j ( ωt +ψ ) − e − j ( ωt +ψ )2jили*⎛⎞1 ⎜ U m jωt U m − jωt ⎟u (t ) =e −e.⎟j⎜ 22⎝⎠Вращение векторов в отрицательном направлении (по ходу часовойстрелки (рис.
5.2) связано с понятием отрицательной частоты, что, конечно,лишено физического смысла, однако позволяет упростить решение многихзадач в радиотехнике и электронике.Таким образом, при рассмотрении напряжений и токов в цепи при гармоническом воздействии может быть построена векторная диаграмма, представляющая собой совокупность радиус-векторов, отображающих комплекс-Основы теории цепей. Конспект лекций-47-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДПредставление гармонических функций с помощью комплексных величинные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω.IUРис.
5.3Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токовв момент времени t = 0.На рис. 5.3 приведено схематическое изображение цепи переменноготока.Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник,состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей.Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I на входедвухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением:Z BX =U.IВеличина, обратная комплексному сопротивлению, называется егокомплексной проводимостьюYBX =1I= .Z BX UУчитывая, что U m = U me jψU и I m = I me jψi , получаем Z BX =U m j( ψU −ψi ).eImUm– полное входное сопротивление (модуль); ψU – ψi –Imсдвиг фаз между напряжением и током.Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:ОтношениеZ BX =| Z BX | e jϕ ,Основы теории цепей. Конспект лекций-48-ЛЕКЦИЯ 5.
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДПредставление гармонических функций с помощью комплексных величинZ BX = RBX + jX BX ,где RВХ – вещественная активная составляющая;XВХ – мнимая реактивная составляющая комплексного сопротивления;Z BX = Z BX cos ϕ + j Z BX sin ϕ .Очевидно,Z BX =22RBX + X BX , ϕ = arctgX BX.RBXГармонический ток в элементах электрической цепи.Гармонический ток в сопротивлении. Если пассивный двухполюсникпредставляет собой активное сопротивление R, то на основании закона ОмаI =т.
е. амплитуда тока I m =UU, I = I me jψi = m e jψU ,RRUm, а разность фаз между током и напряжениемRφ = ψU – ψi.На векторной диаграмме (рис. 5.4) напряжение и ток совпадают по фазе; Z BX = RBX = R, X BX = 0 , проводимость YBX = 1/ R .ImψU = ψiRe0Рис. 5.4Если к сопротивлению подведено напряжение u ( t ) = U m cos ( ωt + ψU ) ,Uто через него потечет ток i = m cos ( ωt + ψU ) .RМгновенная мощность, поступающая в сопротивление,Основы теории цепей.
Конспект лекций-49-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДГармонический ток в элементах электрической цепиPR = ui = U m I m cos 2 ( ωt + ψ ) = UI ⎡⎣1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ ,т. е. PR изменяется с удвоенной частотой (рис. 5.5).0Рис. 5.5Среднее значение мощности за периодTT11 U IPA = ∫ PR dt = ∫ m m ⎡⎣1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ dt = UI = RI 2 .T0T0 2Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью.UI( U = m и I = m – действующие значения напряжения и тока.)22Гармонический ток в индуктивности.
Если пассивный двухполюсник представляет собой индуктивность, тоUL = Ldi.dtИспользуя метод комплексных амплитуд, получимОсновы теории цепей. Конспект лекций-50-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДГармонический ток в элементах электрической цепиUL = L(d I me jψi e jωtdtU Lm = jωLI mejψ i)= jωLI me jψi e jωt = U me jψU e jωt ,= ωLI meπ⎞⎛j ⎜ ψi + ⎟2⎠⎝π⎛jππ⎞, ⎜ j = e 2 = cos + j sin ⎟ .⎜22 ⎟⎠⎝Отсюда следует, что амплитуда напряженияULm = ωLIm = XLIm,где XL = ωL – индуктивное сопротивление, обратная величина bL =1назыωLвается индуктивной проводимостью.Угол сдвига фаз между напряжением и током, т.
е. ϕ = ψU − ψ i =ток отстает по фазе от напряжения наπ(рис. 5.6).2π–2Imπ2ψUψi0ReРис. 5.6Очевидно, что входное сопротивление индуктивности – чисто мнимаявеличинаπZ BXjUI m e jψ i2 = jX ,= = j ωL=jωL=ωLeLjψ iII meлинейно изменяющаяся с частотой.Пусть через индуктивность протекает ток i(t) = Imcos(ωt + ψ).Тогда напряжение на индуктивностиuL = Ldiπ⎞⎛= −ωLI m sin ( ωt + ψ ) = U m cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ .dt2⎠⎝Основы теории цепей. Конспект лекций-51-ЛЕКЦИЯ 5.
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДГармонический ток в элементах электрической цепиМгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет равна:PL = ui = −U m I m sin ( ωt + ψ ) cos ( ωt + ψ ) ==−U m Im2sin ( ωt + ψ ) cos ( ωt + ψ ) = −UI sin 2 ( ωt + ψ ) .20Рис. 5.7Энергия магнитного поля индуктивностиLi 2 LI m2LI 22=cos ( ωt + ψ ) =WL =⎡1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ ,222 ⎣т. е. так же, как и мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой(рис. 5.7), происходит непрерывный обмен энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность,равна нулю.Основы теории цепей. Конспект лекций-52-ЛЕКЦИЯ 5.
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДГармонический ток в элементах электрической цепиГармонический ток в емкости. При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет токiC = CdU.dtИспользуя метод комплексных амплитуд, получаемIC = C(d U me jψU e jωtdt)= CU m e jψU jω e jωt = I m e jψi e jωt ,jψijψUI = I me = jωCU me= ωCU meОтсюда следует, что амплитуда тока в емкостиI m = ωCU m = bCU m =π⎞⎛j ⎜ ψU + ⎟2⎠⎝.Um,XC1– емкостное сопротивление.ωCπСдвиг фаз между напряжением и током ϕ = ψU − ψ i = − ,2т. е. ток опережает напряжение на π/2 (рис. 5.8).где bC = ωC – проводимость емкости, X C =Imπ2ψiψU0ReРис.
5.8Следует отметить, что входное сопротивление емкости является чистомнимой отрицательной величинойπZ BXUU me jψU111 - j2= ===−j=e ,ωC ω CIj ωCjωCU me jψUОсновы теории цепей. Конспект лекций-53-ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУДГармонический ток в элементах электрической цепи1 ⎞⎛⎜ XC = −⎟.ωC ⎠⎝Мгновенная мощность, поступающая в емкостьзависящей от частоты источникаπ⎞⎛PС = ui = U m I m cos ( ωt + ψ ) cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ = −UI sin 2 ( ωt + ψ ) .2⎠⎝Энергия электрического поля емкостиCU 2 CU m2CU 22WC ==cos ( ωt + ψ ) =⎡1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ .222 ⎣Как и в индуктивности, мгновенная мощность и энергия в емкости колеблются с удвоенной частотой, причем средняя мощность, поступающая вемкость, равна нулю.Контрольные вопросы1. В каких формах математически может быть представлен символический вектор на комплексной плоскости?2.
Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в сопротивлении?3. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в индуктивности?4. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в емкости?Основы теории цепей. Конспект лекций-54-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с последовательным соединением RLC.
Гармонический ток с параллельным соединением RLC.Гармонический ток с последовательным соединением RLC.Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токовв узле равна нулю. Представляя мгновенные значения токов как вещественные части комплексных функций()()()i1 ( t ) = Re I m1e jωt , i2 ( t ) = Re I m 2e jωt , ... , in ( t ) = Re I mne jωt ,nполучим∑ Re ( I mk e jωt ) = 0 .k =0Так как сумма вещественных частей комплексных функций равна вещественной части суммы функций, то⎛ n⎞Re ⎜ ∑ I mk e jωt ⎟ = 0 .⎝ k =0⎠Это выражение справедливо для любого момента времени, в том числеи для t = 0. Поэтомуn∑ I mk = 0 .k =0Таким образом, сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю.Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме ЭДС, действующихв контуре.Для электрической цепи (рис.
6.1)e ( t ) = Ri + Ldi 1+idt .dt C ∫Основы теории цепей. Конспект лекций-55-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с последовательным соединением RLCРис. 6.1Пусть E = Eme jωt , тогда ток может быть представлен в виде I = I me jωt ,где Em и I m – комплексные амплитуды источника ЭДС и тока в контуре.Тогда последнее уравнение может быть представлено в виде()Re( Eme jωt ) = R ⋅ Re I me jωt + L()()d1Re I me jωt + ∫ Re I me jωt dt .dtCЗаменив операции над действительными частями комплексных функций операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением действительных частей от полученного результата, имеем:d1⎛⎞Re Eme jωt = Re ⎜ RI me jωt + L I me jωt + ∫ I me jωt dt ⎟ .dtC⎝⎠()После операций дифференцирования и интегрирования в правой частиуравнения получим:⎛⎞1Re Eme jωt = Re ⎜ RI me jωt + jωLI m e jωt +I m e j ωt ⎟ .jωC⎝⎠()Проведя деление обеих частей уравнения на eiωt, получим алгебраиче1ское комплексное уравнение Em = RI m + jωLI m +I m , из которого следуj ωCет, что комплексная амплитуда ЭДС источника равна сумме комплексныхамплитуд падений напряжения на элементах Em = U Rm + U Lm + U Cm .Алгебраическое комплексное уравнение может быть представлено и вдругой форме:⎛1 ⎞Em = ⎜ R + jωL +⎟ I m = ZI m ,ωjC⎝⎠где Z – комплексное сопротивление цепи.Основы теории цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
