ОТЦ лекции (1274753), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Конспект лекций-56-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с последовательным соединением RLCПоследнее уравнение представляет собой закон Ома для комплексныхамплитуд.В общем случае второй закон Кирхгофа в комплексной форме можнозаписать в видеnnk =1k =1∑ Z k I k =∑ Ek ,где Z k и I k – комплексное сопротивление и комплексная амплитуда тока вk-й ветви, Ek – комплексная амплитуда ЭДС k-й ветви.Построим векторную диаграмму напряжений для последовательнойRLC-цепи (рис. 6.2).Изображенные на рис.
6.2 напряжения на элементах равны:U R = RI , U L = jωLI , U C =11I =−jI.ωCj ωC11XX = ωL −> 0, ϕ = arctg > 0 , сопротивление цеωCωCRпи имеет индуктивный характер и ток в цепи отстает от входного напряжения на угол φ, зависящий от соотношения сопротивлений индуктивности,емкости и резистора (рис. 6.2, а).11XX = ωL −При ωL << 0, ϕ = arctg < 0 , сопротивление цеωCωCRпи имеет емкостный характер, и ток в цепи опережает входное напряжениена угол φ (рис. 6.2, б).При ωL >Х>0ImImХ<0π2π2φ 0φ 0ψψ–φ0ψ–φ ψ0ReаReбРис.
6.2Основы теории цепей. Конспект лекций-57-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с последовательным соединением RLCImImU p = U L + UCφ>0Ua =0аφ>0Re0бφ<0ReвРис. 6.3Векторы, представляющие действующие в цепи ЭДС и напряжения наэлементах, образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру (треугольник напряжений (рис. 6.3, а).Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию выражения комплексного сопротивления при Х > 0 (рис. 6.3, б)и X < 0 (рис. 6.3, в).Гармонический ток с параллельным соединением RLC.В соответствии с первым законом Кирхгофа для цепи с параллельнымсоединением R, L, C (рис.
6.4) имеем:I = I R + I L + IC =UU++ jωCU = YU .R jωLРис. 6.4Ток в сопротивлении I R совпадает по фазе с напряжением U ; ток в инπдуктивности I L отстает от напряжения на ; ток в емкости I C опережает на2πпряжение на .2Основы теории цепей. Конспект лекций-58-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с параллельным соединением RLC⎛ 1⎞Выражение Y = g − j ⎜− ωC ⎟ = g − jb представляет собой комплекс⎝ ωL⎠ную проводимость цепи; g = 1/R – активная составляющая; b – реактивнаясоставляющая проводимости цепи.Уравнение I = YU выражает закон Ома в комплексной форме.Построим векторную диаграмму токов для параллельной RLC-цепи(рис.
6.5).1При ωL <проводимость цепи имеет индуктивный характер и полωCный ток I отстает от входного напряжения U по фазе (рис. 6.5, а).1При ωL >проводимость цепи имеет емкостный характер и полныйωCток I опережает входное напряжение U по фазе (рис. 6.5, б).ImImπ2π2φφ< 0φ>0ψ–φψψRe0ψ–φRe0абРис.
6.5ImImImφ<00φ>0аRe0φ>0бReRe0вРис. 6.6Активная составляющая тока I A = I R , реактивная составляющаяI P = I L + I C и суммарный ток I образуют треугольник токов (рис. 6.6, а).Основы теории цепей. Конспект лекций-59-ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕГармонический ток с параллельным соединением RLCЕсли стороны треугольника токов поделить на входное напряжение, то1получатся стороны треугольника проводимостей; для случая ωL <ωC1(рис. 6.6, б) и (рис.
6.6, в) для случая ωL >.ωCКонтрольные вопросы1. Что такое комплексное сопротивление цепи?2. При каком характере сопротивления ток в цепи опережает входноенапряжение на угол φ?3. При каком характере сопротивления ток в цепи отстает от входногонапряжения на угол φ?Основы теории цепей. Конспект лекций-60-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКАМгновенная мощность. Активная мощность.
Реактивная мощность.Полная мощность. Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия.Пусть имеем участок цепи R–X (рис. 7.1), находящийся под воздействием гармонического напряжения.Рис. 7.1При напряжении на участке цепи u = Umcos ωt (ψ = 0) в цепи течет токi = Imcos (ωt – φ).Мгновенная мощность.Мгновенная мощность, поступающая в цепь P = ui = U m I mcosωt cos ( ωt − ϕ ) =U I= m m ⎡⎣cos ϕ + cos ( 2ωt − ϕ ) ⎤⎦ состоит из двух составляющих: постоянной ве2U IU Iличины m m cos ϕ и гармонической m m cos ( 2ωt − ϕ ) , колеблющейся с уд22военной частотой.На рис. 7.2 приведены временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности.Основы теории цепей.
Конспект лекций-61-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКАМгновенная мощностьcosφ0Рис. 7.2Сравнивая кривую мгновенной мощности, изображенную на рис. 7.2,с аналогичными кривыми, полученными для цепей с реактивными элементами (рис. 5.7), можно увидеть, что, в отличие от рис. 5.7, площадь, ограниченная положительными ординатами кривой, превышает площадь отрицательных участков. Это свидетельствует о том, что энергия частично расходуетсяв активном сопротивлении R, подобно тому, что наблюдается в цепи с сопротивлением (рис. 5.5). Однако одновременно некоторое количество энергиипериодически то накапливается в магнитном или электрическом полях реактивного сопротивления X, то возвращается к генератору.Выражение для мгновенной мощности может быть также представленов иной формеP = ui = U m I m cos ωt [ cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ] ==UmImU Icos ϕ (1 + cos 2ωt ) + m m sin ϕ sin 2ωt.22Очевидно, что первое слагаемое является мгновенной скоростью расходования энергии в цепи, т.
е. мощностью, потребляемой активным сопротивлением.Второе слагаемое представляет собой мгновенную скорость запасанияэнергии в магнитном или электрическом поле цепи.Активная мощность.Среднее значение мощности за период, равное активной мощностиT1U IPA = ∫ uidt = m m cos ϕ = UI cos ϕ .T02Основы теории цепей. Конспект лекций-62-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКААктивная мощностьВ отличие от цепи, содержащей только активное сопротивление, гдеPA = UI = RI2, теперь PA < UI.Таким образом, активная мощность равна произведению действующихзначений напряжения и тока, умноженному на cos φ, который носит названиекоэффициента мощности.
Чем ближе угол φ к нулю, ближе cos φ к единице,тем большая активная мощность будет передаваться от источника к нагрузкепри заданном напряжении.Реактивная мощность.Мгновенная скорость запасания энергии – реактивная мощность – имеет абсолютное значениеU IQ = m m sin ϕ = UI sin ϕ .2Знак Q свидетельствует о характере запасаемой энергии. Если Q > 0, тоэнергия запасается в магнитном поле; если же Q < 0, энергия накапливается вэлектрическом поле цепи.U IВ отличие от чисто реактивной цепи, для которой Q = m m = UI , в2U m Imсмешанной цепи Q <.2XII m2 X= X , то Q == I2X .Поскольку sin ϕ =Z U2Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАР).Реактивная мощность, подводимая к индуктивности,πLI m22QL = UI sin = ωLI = ω= ωWL max ,22где WL max – максимальное значение энергии магнитного поля, запасаемой виндуктивности.Реактивная мощность, подводимая к емкости,CU m2⎛ π⎞2QC = UI sin ⎜ − ⎟ = −ωCU = −ω= −ωWC max ,2⎝ 2⎠где WC max – максимальное значение энергии электрического поля, запасаемойемкостью.В цепи, содержащей индуктивность и емкость, реактивная мощностьравнаQ=ω(WL–WCmaxmax).Основы теории цепей.
Конспект лекций-63-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКАПолная мощность.Величина, равная произведению действующих значений напряжения итока на зажимах цепи S = UI, называется полной мощностью и измеряется ввольт-амперах (ВА).Поскольку PA = UIcosφ = Scosφ, Q = UIsinφ = Ssinφ, то, очевидно2S = PA2 + Q 2 ;tg ϕ =Q.PAЭнергетический расчет цепи гармонического тока может быть проведен и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следующимприемом.Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z под действиемкомплексной амплитуды напряжения U m = U me jψU протекает ток с комплексной амплитудой I m = I me jψi .Найдем произведение из комплексной амплитуды напряженияU m = U me jψU и комплексного числа, сопряженного с комплексной амплиту*дой тока I m = I me − jψi .Разделив полученное произведение на два, имеемS=U m I m j( ψU − jψi ) U m I m jϕ U m I mU I=cos ϕ + j m m sin ϕ .ee =2222Таким образом, вещественная часть полученного произведения равнаактивной мощности PA, а мнимая часть реактивной мощности Q.На комплексной плоскости соотношение между мощностями можетбыть представлено в виде треугольника мощностей (рис.
7.3), подобного треугольнику сопротивлений.Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на комплексныйток и поделить полученное произведение на два, то получим:*U m I m U m I m j( ψi −ψU ) U m I m − jϕ U m I mU I==cos ϕ − j m m sin ϕ .ee =22222*U m Im= PA − jQ .2Основы теории цепей. Конспект лекций-64-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКАПолная мощностьImφRe0Рис. 7.3Отсюда следует, что активная и реактивная мощности могут быть записаны в виде****1⎛1 ⎛⎞⎞PA = ⎜ U m I m + U m I m ⎟ , Q = ⎜ U m I m − U m I m ⎟ .4⎝4j⎝⎠⎠Для комплексов действующих значений напряжения и тока1⎛ * * ⎞1 ⎛ * * ⎞PA = ⎜ U I + U I ⎟ , Q = ⎜ U I − U I ⎟ .2⎝2j⎝⎠⎠Условие передачи максимума средней мощностиот генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия.Пусть источник ЭДС (рис.
7.4) с внутренним сопротивлениемZ i = Ri + jX i подключен к сопротивлению нагрузки Z H = RH + jX H .ZiЕZНIРис. 7.4Амплитуда тока в цепи I m =Em( Ri + RH )Основы теории цепей. Конспект лекций2+ ( Xi + XH )2.-65-ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКАУсловие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действияСредняя мощность, потребляемая нагрузкой,11RH Em22PA = RH I m =.22 ( Ri + RH )2 + ( X i + X H )2Отсюда видно, что первым условием получения максимума PA являетсяравенство XH = –Xi.В этом случае мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки,PA max =1 RH Em2.2 ( Ri + RH )2Дифференцируя по RH и приравнивая производную к нулю, получимвторое условие, при выполнении которого активная мощность достигаетнаибольшего возможного (максимум максиморум) значения:dPA max 1 Em ( Ri + RH ) − 2 ( Ri + RH ) RH Em== 0.4dRH2+RR( i H)222Отсюда Ri = RH.Em2E2= m .8 Ri 8 RHТаким образом, условия получения наибольшей мощности в нагрузкемогут быть выражены одной формулой RH + jXH = Ri – jXi.Если это условие выполняется, то считается, что генератор и нагрузкасогласованы.На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
