ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Под динамическойсистемой понимается любое радиотехническое устройство, прибор,прицел, система автоматического управления, автопилот, вычислительноеустройство и т.д.На вход системы непрерывно подаются некоторые данные, системаих перерабатывает и выдает результат этой переработки. Иногда входящиев систему данные называют «воздействием» или «сигналом», данные навыходе называют «реакцией» или «откликом» на воздействие. Обычновместе с полезным сигналом поступают и случайные помехи, которые тожеперерабатываются динамической системой и влияют на отклик. Поэтому вобщем виде ставится формальная задача о переработке динамическойсистемой некоторого случайного процесса X (t ) .
На выходе тожеполучается случайный процесс Y (t ). Схема описанной системы приведенана рисунке 4.2.1.Рис. 4.2.1Естественно возникает вопрос: как по характеристикам X (t ) , сучетом особенностей динамической системы, найти характеристикисигнала на выходе?С формальной точки зрения, каждая динамическая система задаетнекоторое соответствие между сигналами на входе и откликами на выходе.Правило, по которому функция X (t ) на входе преобразуется вфункцию Y (t ) на выходе, называется оператором. Символически этозаписывают в виде: Y (t ) = A{ X (t )}.Оператор L называется линейным однородным оператором, если онобладает следующими свойствами:1. L{ X 1 (t ) + X 2 (t )} L={ X 1 (t )} + L{ X 2 (t )};2.
L{CX (t )} = CL{ X (t )}, где C –– постоянная величина.289Примерами линейных операторов могут служить операторыttd, ... dt , L{ X (t )} = j(t ) X (t ), L{ X (t )} = ò X (t ) j(t ) dt ,dt ò00где j(t ) –– некоторая функция.Оператор называют линейным неоднородным, если он состоит излинейной части с прибавлением некоторой определенной функции:L%{ X (t )} = L{ X (t )} + j(t ).Если случайная функция X (t ) с математическим ожиданием m X (t ) икорреляционной функцией K X (t1 , t2 ) преобразуется линейным однороднымоператором L в случайную функциюY (t ) = L{ X (t )},то для нахождения математического ожидания mY (t ) нужно применитьэтот оператор к m X (t ) , т.е.mY (t ) = L{m X (t )}.(4.2.1)А для нахождения корреляционной функции KY (t1 , t2 ) необходимоприменить этот оператор к корреляционной функции K X (t1 , t2 ) сначала поодному аргументу, а затем по другому:KY (t1 , t2 ) = L(t1 ) L(t2 ){K X (t1 , t2 )}.(4.2.2)dНапример, если линейный оператор дифференцированияdtприменяется к случайному процессу X (t ) с математическим ожиданиемdm X (t ) и корреляционной функцией K X (t1 , t2 ) , то для Y (t ) =X (t )dtdX (t )математическое ожидание mY (t ) =, а корреляционная функцияdt¶ 2 K X (t1 , t2 )KY (t1 , t2 ) =.¶ t 1 ¶ t2Пример 4.18.
Задана k x (t) –– корреляционная функциястационарногослучайногопроцессаX (t ) .Требуетсянайтикорреляционную функцию процессаdX (t )Y (t ) = X (t ) +.dtРешение. Воспользуемся формулой (4.1) для корреляционнойфункции суммы случайных процессов. Вычислим необходимые для этоговеличины.290Так как процесс X (t ) стационарен, то его математическое ожиданиеи математическое ожидание его производной равны нулю.
ПоэтомуooRXX& (t1 , t2 ) = M [ X ¢(t1 ) X (t2 )] = M [ X ¢(t1 ) X (t 2 ) ] =M [ X (t + D t ) X (t2 ) ] - M [ X (t1 ) X (t2 ) ]éùX (t1 + Dt ) - X (t1 )X (t2 ) ú lim = 1= M ê limDtDtë Dt ®0û Dt ®0K (t + D t , t2 ) - K X (t1 , t2 ) ¶K (t1 , t2 )= lim X 1=.Dt ®0Dt¶ t1¶K (t1 , t2 ) ¶ k (t) ¶t ¶ k (t)¶ k (t)Но так как t t=2 - t1 , то=×=× (-1) - =.¶ t1¶ t ¶t1¶t¶tАналогично,éX (t + Dt ) - X (t2 ) ùRXX& (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) X ¢(t2 )] M ê X (t1 ) lim = 2úDt ®0DtëûM [ X (t1 ) X (t2 + Dt )] - M [ X (t1 ) X (t 2 )]K (t , t + Dt ) - K X (t1 , t2 )= lim=lim X 1 2=Dt ®0Dt ®0DtDt¶K (t1 , t2 ) ¶ k (t) ¶t ¶ k (t)¶ k ( t)==×=× (1)= .¶ t2¶ t ¶ t2¶t¶t¶t¶tТак как k x (t) = K x (t1 , t2 ) , где t t=2 - t1 , то= -1, а= 1.
Поэтому¶ t1¶t2по формуле (4.2.1)¶ 2 K x (t1 , t2 ) ¶t é dk x (t) ¶t ù==×=K X& (t1 , t2 ) = k x& (t)¶ t1¶ t2¶ t1 êë d t ¶ t2 úû¶t é dk x (t) ù d 2 k x (t) ¶t d 2 k x (t)=×=× (-1) - k x¢¢(=t).==¶ t1 êë d t úû¶ t1dtdtВ итоге по формуле (4.2)¶ k ( t) ¶ k ( t)k y (t ) = k x (t ) – k x¢¢( t) k x=(t ) – k x¢¢( t).+¶t¶tОтвет. k y (t ) = k x (t ) – k x¢¢(t).Задача 4.18.1. Задана Y (t ) –– корреляционная функция стационарногослучайного процесса X (t ) . Найдите корреляционную функцию процессаdX (t )Y (t ) = X (t ) + a.dt(См.
пример 4.18, a –– номер варианта.)291==Задача 4.18.2. Задана k x (t) –– корреляционная функция стационарногослучайного процесса X (t ) . Найдите корреляционную функцию процессаdX (t ) d 2 X (t )Y (t ) = X (t ) ++.dtdt 2Выведите формулу для корреляционной функции процесса Y (t ) , азатем вычислите эту корреляционную функцию для k x (t=) exp{– at2 } .Вычислите дисперсию процесса Y (t ) . (См.
пример 4.18, a –– номерварианта.)Стационарной линейной динамической системой называетсяустройство, которое можно описать линейным дифференциальнымуравнением с постоянными коэффициентами:a0Y ( n ) (t ) + a1Y ( n-1) (t ) + K + anY=(t ) b0 X ( m ) (t ) + b1 X ( m-1) (t ) + K + bm X (t ), (4.2.3)где a0 , a1 ,K, an , b0 , b1 ,K , bm –– постоянные коэффициенты, X (t ) –– входящийстационарный процесс (воздействие), а Y (t ) –– случайный процесс на выходеиз системы (отклик). Если динамическая система устойчива, то по окончаниипереходного периода процесс Y (t ) тоже стационарен.Найдем характеристики Y (t ) по характеристикам X (t ) . Возьмемматематическое ожидание от правой и левой частей равенства (4.2.3).Таккак X (t ) и Y (t ) стационарные процессы, то их математические ожиданияmx и my постоянны, а производные математических ожиданий равны нулю.Поэтомуban my = bm mx или my = m mx .andd2Обозначим оператор дифференцированиячерез p, оператор 2dtdt2через p и т.д.
Тогда уравнение (4.2.3) можно записать в виде(a0 p n + a1 p n-1 + K + an )=Y (t ) (b0 p m + b1 p m-1 + K + bm ) X (t ),илиb0 p m + b1 p m-1 + K + bmY (t ) =X (t ).(4.2.4)a0 p n + a1 p n-1 + K + anВыражениеb0 p m + b1 p m-1 + K + bmF( p) =(4.2.5)a0 p n + a1 p n-1 + K + anназывают передаточной функцией.Уравнение (4.2.3) в операторной форме кратко записывается в видеY (t ) = F ( p ) X (t ).292Частотной характеристикой линейной динамической системыназывают функцию, которая получается заменой p на iw в передаточнойфункции:b0 (iw)m + b1 (iw)m-1 + ¼+ bm.F(iw) =(4.2.6)a0 (iw)n + a1 (iw)n-1 + ¼+ anДоказано, что спектральные плотности процессов X (t ) и Y (t )связаны соотношениемS y (w) = S x (w) | F (iw) |2 .(4.2.7)Это означает, что для получения спектральной плотности выходногослучайного процесса необходимо умножить спектральную плотностьвходного процесса на квадрат модуля частотной характеристикидинамической системы.Пример 4.19.
Динамическая система задана уравнением3 y¢(t ) + y (t ) =4 x¢(t ) + x (t ).(4.2.8)На вход системы подается стационарный случайный процесс X (t ) скорреляционной функциейk x (t) = 3exp{-2 | t |}. Требуется найтидисперсию процесса на выходе в установившемся режиме.Решение. Вычислим спектральную плотность случайного процессаX (t ) по формуле (4.1.12)¥112- iwttt=S x (w)=ekd().xòp -¥p(w2 + 4)В операторной форме уравнение (4.2.8) имеет вид4 p +1Y (t ) =X (t ).3p +14iw + 1Поэтому частотная характеристика F(iw) =.
По формуле (4.2.7)3iw + 1124iw + 11216w2 + 12S y (w) S x (w) | F= (iw) |= ×=×.p(w2 + 4) 3iw + 1 p(w2 + 4) 9w2 + 1Поэтому¥¥12(16w2 + 1) d wD(Y ) = ò S y (w)d w=22òp(w+4)(9w+1)-¥-¥¥24 (16w2 + 1) d w= ò 2=p 0 (w + 4)(9w2 + 1)¥¥24 é 81 d w1dw ùêú=p ë 5 ò0 w2 + 4 5 ò0 9w2 + 1 û24 é 811ù¥(arctg()arctg(0))(arctg(¥) - arctg(0)) ú » 96,4.êp ë1015ûОтвет. D (Y ) » 96,4.=293=Задача 4.19.1. На вход динамической линейной системы, определяемойуравнениемa0 y¢(t ) + y (t ) b=0 x¢(t ) + b1 x (t ),подается случайный процесс X (t ) с корреляционной функциейk x (t) a exp{–= b | t |}. Найдите дисперсию процесса на выходе вустановившемся режиме. (См.
пример 4.19 и исходные данные, a –– номерварианта, b –– последняя цифра номера варианта плюс 1.)Исходные данные к задаче 4.19.1.№ a0 b0 b1 № a0 b0 b1 № a0 b0 b1 № a0 b0 b1 № a0 b0 b11 2 3 1 7 4 1 1 13 5 2 1 19 5 1 2 25 5 4 02 2 5 1 8 2 1 4 14 3 5 0 20 2 5 0 26 4 2 43 3 2 0 9 3 2 1 15 2 4 0 21 2 4 1 27 2 3 04 4 2 1 10 4 2 3 16 5 3 1 22 3 4 2 28 2 1 55 2 4 2 11 3 5 1 17 4 2 0 23 2 5 1 29 5 2 06 2 1 4 12 2 3 2 18 4 1 2 24 5 3 0 30 2 1 3Задача 4.19.2. Работу электрической цепи (рис. 4.2.2) описываетдифференциальное уравнениеRy¢(t ) + y (t ) = x¢(t ).LРис. 4.2.2На вход поступает низкочастотный белый шум X (t ) , имеющийспектральную плотность S X (w) D= / w0 при w £ w0 и S X (w) = 0 при| w |> w0 . Найдите дисперсию процесса на выходе в стационарном режимеработы цепи.
(См. пример 4.19, w0 равно номеру варианта.)Задача 4.19.3. Работу линейной динамической системы описываетдифференциальное уравнениеy¢(t ) + ay (t ) = x¢(t ).На вход поступает случайный процесс X (t ) , имеющий спектральнуюплотность S X (w) = D / (w2 + a 2 ) при w > 0 и S X (w) = 0 при w £ 0. Найдитедисперсию процесса на выходе в стационарном режиме работы. (См.пример 4.19, a –– номер варианта.)294Пример 4.20. На вход линейной динамической системы, описываемойуравнениемy¢¢(t ) + 3 y¢(t ) + 2 y (t )= x¢(t ) + x(t ),(4.2.9)подается стационарный случайный процесс X (t ) с математическиможиданием mx (t ) = m и корреляционной функцией k x (t) 5exp{–= | t |}.Требуется найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе.Решение. Вычислим спектральную плотность случайного процессаX (t ) . По формуле (4.1.12)¥¥001555- iwt- iwt -|t|- iwt t()S x (w)=ektdt=eedt=eedt+e -iwte- t d t =xòòòòp -¥p -¥p -¥p -¥5æ 11öexp((1 - w)t) |0-¥ +exp(-(1 + iw)t)=|0¥ ÷ç1 + iwp è 1 - iwø5æ 11 ö5= ç+.÷=p è 1 - iw 1 + iw ø p(1 + w2 )dd2Обозначим оператор дифференцированиячерез p, а оператор 2dtdt2через p .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
