ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Даны два случайных процессаX (t ) = bU cos t + V sin t и Y (t ) = U cos t – bV sin t ,где случайные величины U и V независимы и имеют равные дисперсииD (U ) = D (V ) = D. Найдите взаимную корреляционную функцию этихпроцессов. (См. пример 4.5, b –– номер варианта.)Пример 4.6. Даны два случайных процесса X (t ) = Ut и Y (t ) = U + Vt ,где U и V независимы, имеют M (U ) = M (V ) = 0 и D (U ) = D (V ) = D.Требуется найти взаимную корреляционную функцию этих процессов.Решение. Так как M [ X (t )] = M (Ut ) = tM (U ) = 0 и M [Y (t )] =oo= M [U + Vt ] M=(U ) + tM (V ) = 0, то Rxy (t1 , t2 ) = M [( X (t1 ) Y (t 2 )] == M [(Ut1 )(U + Vt 2 )] t1M=(U 2 ) + t 2 M (UV ) = t1D.Ответ. Rxy (t1 , t2 ) = t1D.Задача 4.6. Даны два случайных процесса X (t ) = Ut + aV иY (t ) = bU + Vt , где U и V независимы, имеют M (U ) = M (V ) = 0 иD (U ) = D (V ) = D.
Найдите взаимную корреляционную функцию этихпроцессов. (См. пример 4.6, a –– номер варианта, b = a + 1 .)269Пусть X (t ) и Y (t ) –– две случайные функции, а случайная функцияZ (t ) равна Z (t ) = X (t ) + Y (t ) . Выразим характеристики Z (t ) черезхарактеристики X (t ) и Y (t ) .Математическое ожидание суммы двух случайных функций равносумме математических ожиданий этих функций:mz (t ) = mx (t ) + my (t ).oЗаметим, что Z (t ) = M ( Z (t ) - mz (t )) = M [ X (t ) + Y (t ) - mx (t ) - m y (t )] =oo= M [ X (t ) - mx (t )] + M [Y (t ) - m y (t )]= X (t ) + Y (t ).ooooooПоэтому K z (t1 , t2 ) = M [ Z (t1 )=Z (t 2 )] M {[ X (t1 ) + Y (t1 ) ][ X (t2 ) + Y (t 2 )]} =oooooooo= M [ X (t1 ) X (t2 )] + M [Y (t1 ) Y (t2 )] + M [ X (t1 )Y (t2 )] + M [Y (t1 ) X (t2 )] == K x (t1 , t2 ) + K y (t1 , t 2 ) + Rxy (t1 , t2 ) + Ryx (t1 , t2 ).(4.1)Легко видеть, что для процесса Z (t ) = X (t ) – Y (t ) корреляционнаяфункция имеет вид:K z (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ) + K y (t1 , t 2 ) – Rxy (t1 , t2 ) – Ryx (t1, t2 ).(4.2)Пример 4.7.
Случайный процесс X (t ) = sin(t + a ) , а Y (t ) = a sin t , гдеa –– случайная величина с равномерным законом распределения на [-p, p].Необходимо найти корреляционную функцию случайного процессаZ (t ) = X (t ) + Y (t ) .Решение. Прежде всего вычислим математические ожиданияслучайных процессов. Случайная величина a равномерно распределена на[-p, p] с плотностью вероятности равной 1/2p. Поэтомуp1M [ X (t )] =ò sin(t + a) da=2p -p-1cos(t + w)2pp-p= 0,psin tsin t é p2 p2 ùM [Y (t )] == a da- ú = 0.2p -òp2p êë 22ûВычислим величины необходимые для использования формулы (4.1):p1K x (t1 , t2 )= M [sin(t1 + a ) × sin(t2 + a)] = ò sin(t1 + a)sin(t2 + a) da=2p -pp11=[cos(t1 - t2 ) - cos(t1 + t 2 + 2a)] da=cos(t1 – t2 );ò4p - p2K y (t1 , t2 )= M [ a sin t1 × a sin t2 ] sin t1 sin= t2 M ( a 2 )270p2sin t=1 sin t2 ;3p1Rxy (t1 , t2 )= M [sin(t1 + a) × a sin t=2 ] sin t2 ×ò a sin(t1 + a) da=2p -ppù1 ép= sin t2ê - a cos(t1 + a ) -p + ò cos(t1 + a) da ú =2p ë-pû1 é-p cos(t1 + p) - p cos(t1 - p) + sin(t1 + a= )2p ëАналогично, Ryx (t1 , t2 ) = sin t1 cos t2 .
По формуле (4.1)= sin t 2p-pù sin t2 cos t1.û1p2(,)cos()K z t1 t2 =t1 - t 2 + sin t1 sin t2 + sin t2 cos t1 + sin t1 cos t2 =231p2= cos(t1 – t 2 ) + sin(t1 + t2 ) + sin t1 sin t2 .2321pОтвет. cos(t1 – t2 ) + sin(t1 + t2 ) + sin t1 sin t2 .23Задача 4.7.
Случайный процесс X (t ) = cos(w t + a), а Y (t ) = a sin t , гдеa –– случайная величина с равномерным законом распределения на [-p, p].Необходимо найти корреляционную функцию случайного процессаZ (t ) = X (t ) + Y (t ) в нечетных вариантах и для случайного процессаZ (t ) = X (t ) - Y (t ) в четных вариантах. (См.
пример 4.7, a –– номер варианта.)4.1 Стационарные случайные процессыСлучайный процесс называется стационарным, если все егохарактеристики не зависят от времени.Определение. Случайная функция X (t ) называется строгостационарной (стационарной в узком смысле), если все ее конечномерныезаконы распределения не изменяются от сдвига параметра (времени) напроизвольную величину t0.
Это в частности означает, что еематематическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционнаяфункции зависит только от разности аргументов.Определение. Случайная функция X (t ) называется стационарной вшироком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, акорреляционная функции зависит только от разности аргументов т.е.mx (t ) = const,K x (t1 , t 2 ) K x (t1 , t1 + t) k=x ( t).=(4.1.1)Так как K x (t , t ) = D ( X ) , то условие (4.1.1) означает и постоянство дисперсии.271Пример 4.8. Дан случайный процесс X (t ) = cos(t + j), где j ––случайная величина, равномерно распределенная в отрезке [0,2p] . Требуетсядоказать, что этот случайный процесс стационарен в широком смысле.Решение. Для доказательства необходимо проверить выполнениеусловий (4.1.1).
Найдем математическое ожиданиеmx (t ) = M= [ X (t )] M [cos(t + j)]= M [cos t cos j – sin t sin j] == cos t × M [cos j] - sin t × M [sin j] = 0,так как2p11M [cos j] = ò cos j d j = sin j 02 p = 02p 02pи2p11M [sin j] = ò sin j d j -= cos j 20 p = 0,2p 02pгде 1/2p –– плотность вероятности случайной величины j. Заметим, чтоoX (t ) = X (t ) - m= x (t )cos(t + j)]= – 0 cos(t + j).
ПоэтомуooK x (t1 , t2 ) = M=[ X (t1 ) X (t2 )] M [cos(t1 + j)cos(t2 + j)] =1= M [cos(t2 + j – t1 - j) + cos(t1 + j + t2 + j)]=211= cos(t2 – t1 ) + M [cos(t1 + t2 + 2j)] = cos(t2 – t1 ),222p11cos(t1 + t2 + 2j) d j = sin(t1 + t2 + 2j) 02=pтак как M [cos(t1 + t2 + 2j)] =ò2p 04p1= [sin(t1 + t 2 + 4p) - sin(tt + t2 )] = 0.4p1Итак, mx (t ) = 0, а K x (t1 , t2 ) = cos(t 2 – t1 ), т.е. зависит только от2разности t2 – t1 = t. Корреляционная функция оказалась независящей отвеличины j, которую в приложениях обычно трактуют как «фазу».Ответ. Процесс стационарен в широком смысле.Задача 4.8.
Докажите, что случайный процесс X (t ) = sin(at + j) , гдеj –– случайная величина, равномерно распределенная в отрезке [-p, p],стационарен в широком смысле. (См. пример 4.8, a –– номер варианта.)Пример 4.9. Значения случайного процесса X (t ) изменяютсяскачками в случайные моменты времени tk, k = 0,1,3,K . Моменты скачковобразуют простейший (пуассоновский) поток событий интенсивности m,т.е. вероятность того, что за время t произойдет k скачков равна272(mt)k -mte .(4.1.2)k!В интервале (tk ,tk +1 ) между двумя скачками X (t ) может приниматьлишь два значения 0 или 1 с вероятностями соответственно 1 - p = q и p.Значения X (t ) в различных интервалах независимы.
(Такой процессназывают фототелеграфным сигналом.)Необходимо найти mx (t ), D[ X (t )], K x (t1 , t2 ), и выяснить, является лиэтот процесс X (t ) стационарным в широком смысле.Решение. В произвольный момент времени t значения процессаимеют распределениеX (t )01PqpПоэтому mx (t ) = M=[ X (t )] 0 × q + 1 × p = p;D[ X (t )] = (0 – p)2 q + (1 –= p) 2 p p 2q + q 2 p= pq ( p + q ) = pq.Заметим, что если между моментами t1 и t2 не было скачков процесса(вероятность чего по формуле (4.1.2) равна e-m|t| , где t | =t1 - t2 | ), тозначения процесса X (t1 ) и X (t2 ) совпадают иoooM [ X (t1 ) X (t2 )] = M [ X (t1 )]=2 D[ X (t =)] pq.Если же между моментами t1 и t2 скачки были, то величины X (t1 ) иooX (t2 ) независимы и M [ X (t1 ) X (t2 )] = 0 .
ПоэтомуooK x (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) X=(t2 )] pqe -m|t| +0 × (1 – e -m|t| ) = pqe -m|t| .Итак, математическое ожидание и дисперсия процесса постоянны, акорреляционная функция зависит только от разности значений аргументов.Это означает, что процесс стационарен в широком смысле.Ответ.
mx (t ) = p,D[ X (t )] = pq,K x (t1 , t2 ) = pqe -m|t| . Процессстационарен в широком смысле.Задача 4.9. Значения случайного процесса X (t ) изменяютсяскачками в случайные моменты времени tk, k = 0,1,3,K . Моменты скачковобразуют простейший (пуассоновский) поток событий интенсивности m. Винтервале (tk ,tk +1 ) между двумя скачками X (t ) имеет биномиальноераспределение с параметрами n и p. Значения X (t ) в различныхинтервалах независимы.Найдите mx (t ), D[ X (t )], K x (t1 , t2 ) и выясните, является ли этотпроцесс X (t ) стационарным в широком смысле. (См. пример 4.9, внечетных вариантах n = 3 , в четных вариантах n = 4 , значение p возьмитеиз исходных данных к задаче 2.76.)273Пример 4.10.
Случайный процесс X (t ) строится следующимобразом. В некоторый случайный момент времени T появляетсяпрямоугольный импульс длительности t0 и случайной амплитудой A1. Вмомент времени T + t0 этот импульс сменяется новым импульсом той жедлительности и случайной амплитуды A2, и т. д. Величины A1 , A2 ,¼независимы, и каждая с равными вероятностями принимает одно из двухзначений «+1» или «–1». Одна из возможных реализаций процесса X (t )показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
