ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда уравнение (4.2.9) можно записать в виде( p 2 + 3 p + 2)Y=(t ) ( p + 1) X (t ),илиp +1Y (t ) = 2X (t ).p + 3p + 2Передаточная функция динамической системы имеет видp +1F( p) = 2,p + 3p + 2а ее частотная характеристикаiw + 1iw + 1F(iw)==.2(iw) + 3iw + 2 3iw + (2 - w2 )Спектральная плотность процесса на выходе системы равна,согласно (4.2.7),w2 + 155S y (w) S x (w) | F(i=w) |2=×=.p(1 + w2 ) w4 + 5w2 + 4 p(w2 + 1)(w2 + 4)Дисперсия процесса на выходе равна¥¥¥5dw5 æ 11 ö- 2D (Y ) = ò S y (w) d w = = ò 2ç 2÷ dw =2òpw+w+pw+w+(1)(4)314èø-¥-¥-¥5 æ1w ö= ç arctg w |¥-¥ - arctg |¥-¥ ÷ = 5 / 6.3p è22 ø=295Если динамическая система устойчива, то при достаточно большихзначениях t (после переходного периода) функцию Y (t ) можно считатьстационарной.
Так как X (t ) и Y (t ) стационарны, то математическиеожидания их производных равны нулю. Поэтому переход кматематическим ожиданиям в равенстве (4.2.9) дает-2my (t ) = mx (t ) или my (t ) = – m / 2.Ответ. my (t ) = - m / 2 , D (Y ) = 5 / 6.Задача 4.20. На вход линейной динамической системы, описываемойдифференциальным уравнениемy¢¢(t ) + ay¢(t ) + by (t )= x¢(t ) + сx(t ),поступает стационарный случайный процесс X (t ) с математическиможиданием mx (t ) = m и ковариационной функцией k x (t ) = D exp{– c | t |}.Найдите математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе. (См.пример 4.20 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.20.№ a b с D m № a b с D m № a b с D m1 5 4 3 2 1 11 8 12 2 3 1 21 5 4 3 5 22 5 6 4 4 3 12 9 14 3 2 2 22 5 6 4 3 13 10 16 3 2 1 13 10 16 2 4 1 23 10 16 3 4 14 6 5 2 1 3 14 11 18 4 2 1 24 6 5 2 2 35 6 8 1 3 2 15 7 12 3 4 2 25 6 8 1 4 26 7 6 2 4 1 16 8 15 2 5 1 26 7 6 2 5 37 4 3 2 5 1 17 9 18 4 5 2 27 4 3 2 4 38 8 7 3 4 2 18 9 20 1 4 2 28 8 7 3 2 69 9 8 2 2 1 19 11 24 2 3 4 29 9 8 2 2 710 7 10 4 3 2 20 10 21 2 4 5 30 7 10 4 4 5Пример 4.21.
Пусть X –– случайная величина с D ( X ) = D < ¥.Случайный процесс Y (t ) определяется уравнениемY ¢(t ) + aY (t ) bX ,= Y (0) 0, =(4.2.10)где a и b –– постоянные коэффициенты. Требуется найти дисперсиюпроцесса Y (t ) .Решение. Решим линейное дифференциальное уравнение (4.2.10)методом Бернулли. Будем искать решение в виде Y (t ) = u (t )v (t ) . Тогдауравнение (4.2.10) можно переписать:u¢v +uv¢ + a uv= bX Þ v(u¢ +a u ) + uv¢ = bX .Подберем u (t ) так, чтобы u¢ + au = 0, т.
е. du / dt = – au ÞÞ du / =u – adt Þ ln u= – at Þ u (t ) = exp(– at ). При таком u (t ) получаем296уравнение e- at v¢ = bX . Откуда dv = bXeat dt или v = bX (e at / a + c ). В итогеполучаем общее решение уравнения (4.3.2):Y (t ) = u (t )v(t ) =e - at bX (e at / a + c) bX ( 1=/ a + ce - at ).При начальных условиях Y (0) = 0 имеем 0 = bX (1 / a + c) Þ c = –1 / a.bXЧастное решение уравнения (4.2.10) имеет вид Y (t ) =(1 - e - at ). Поэтомуa- at2- at 2D(Y ) = D[bX= (1 – e ) / a] b (1 - e ) D / a 2 .Ответ. D(Y ) = b 2 (1 – e - at )2 D / a 2 .Задача 4.21.1.
Случайный процесс Z (t ) определяется уравнениемZ ¢(t ) + aZ (t ) b( Xt= + Y ), Z (0) = 0,где a и b постоянные коэффициенты, а X и Y –– независимые случайныевеличины с D ( X ) = =D (Y ) D < ¥. Найдите дисперсию Z (t ) . (См. пример4.21, a –– первая цифра варианта, b –– номер варианта.)Задача 4.21.2. Случайный процесс Z (t ) определяется уравнениемZ ¢(t ) + aZ (t ) = bX sin t ,где a и b постоянные коэффициенты, а X –– случайная величина сD ( X ) = D < ¥. Найдите дисперсию Z (t ) . (См. пример 4.21, a –– перваяцифра варианта, b –– номер варианта.)Пример 4.22. На RC –– цепь, схема которой изображена на рис.
4.2.3,подается случайное напряжение X (t ) с математическим ожиданиемmx (t ) = m и ковариационной функцией K x (t1 , t2 ) = exp{– | t1 - t2 |}.Рис. 4.2.3Требуется найти математическое ожидание и дисперсию снапряжения Y (t ) на выходе.Решение. Дифференциальное уравнение, связывающее сигнал навыходе Y (t ) с сигналом X (t ) на входе имеет видdY (t )1+ b Y=(t ) b X (t ), где b= > 0.(4.2.11)dXRC297Решение этого уравнения можно получить, например, методомвариациипроизвольнойпостоянной.ОднородномууравнениюdY (t )t ) 0 соответствует характеристическое уравнение k +b = 0 .+ b Y (=dXПоэтому решение соответствующего однородного уравнения имеет видY1 (t ) = С exp{–b t}.
Вместо произвольной постоянной C подберем такуюфункцию C (t ) , чтобы Y (t ) = C (t )exp{–bt} стало решением уравнения(4.2.11). Тогда при подстановке этого Y (t ) в уравнение (4.2.11) получаемC ¢(t )exp{-b t} – b C (t )exp{–b t} + b C (t )exp{– b t=} b X (t ).Откуда следует, чтоtC ¢(t ) = b exp{bt} X (t ) и C (t ) = b ò eb s X ( s)ds.0Поэтому решение уравнения (4.2.11) имеет видtY (t ) = b exp{–b t}ò ebs X ( s)ds.(4.2.12)0Запись (4.2.12) означает, что Y (t ) является результатом действия наtX (t ) линейного оператора: L( X (t )) = b exp{–b t}ò eb s X ( s) ds.0В соответствии с (4.2.1)tm y (t ) = b exp{–b t}ò ebs mds =m exp{– bt}[exp{bt} – 1] m[1 –= exp{– b t}].0По формуле (4.2.2) при t2 £ t1t1t2K y (t1 , t2 ) = b exp{–b(t1 + t2 )}ò e ds1 ò eb s2 e s2 -s1 ds2 =2b s100t1t200= b2 exp{–b(t1 + t2 )}ò e( b-1) s1 ds1 ò e(b+1) s2 ds2 =b= 2 exp{–b(t1 + t2 )}(e(b-1) t1 - 1)(e( b+1) t2 - 1)b -1Аналогично при t2 ³ t1 :2b2=(e -t1 - e -b t1 )(et2 - e -b t2 ).2b -1b2K y (t1 , t2 ) = 2 (e -t1 - e -b t1 )(et2 - e -b t2 ).b -1Поэтому дисперсияD (Y (t )) = K y (t , t ) =b2(e -t - e -b t )(et - e -b t ).2b -1298b2Ответ.
my (t ) = m[1 – exp{– bt}], D (Y ) = 2 (e - t - e -b t )(et - e-b t ).b -1Задача 4.22. На RC –– цепь, схема которой изображена на рис. 4.2.4,подается случайное напряжение X (t ) с математическим ожиданиемmx (t ) = m и ковариационной функцией K x (t1 , t2 ) = gt1t2 . Сигнал на выходеопределяется уравнениемdY (t )1+ b Y (t ) = X ¢(t ), где b= > 0.dXRCРис.
4.2.4Найдите математическое ожидание и дисперсию напряжения Y (t ) навыходе. (См. пример 4.22, γ –– номер варианта.)4.3. Процессы «гибели и рождения»Пусть некоторый объект может в каждый момент времени можетнаходиться в одном из состояний: Е1 , Е2 , Е3 ,K , Еn ,K, множество которыхконечно или счетно. (Счетным называют множество, все элементыкоторого могут быть занумерованы с помощью натуральных чисел.) Вслучайные моменты времени возможны переходы из состояния всостояние. Особенность этих переходов состоит в том, что за бесконечномалый промежуток времени возможны переходы только в соседниесостояния.Формально это означает следующее. Если в момент времени t объектнаходится в состоянии Еn, то за малый промежуток времени h объект изсостояния Еn может перейти в состояние Еn +1 с вероятностью l n h + o(h), авероятность перехода в состояние Еn-1 равна n n h + o(h ).
Напомним, чтоo(h) означает величину бесконечно малую более высокого порядкамалости по сравнению с h. Вероятность перехода из Еn в другие состоянияза бесконечно малый промежуток времени h пренебрежимо мала ( o(h) ).Отсюда следует, что вероятность за время h сохранить состояние Еn равна1 – l n h – n n h + o(h).(4.3.1)299Пусть постоянные ln и nn, n = 0,1, 2,3,¼, не зависят от времени t и отспособа прихода объекта в состояние Еn.
Эти предположения позволяютнарисовать следующую схему возможных переходов (см. рис. 4.3.1).Рис. 4.3.1Процесс изменения состояний объекта по приведенной схеменазывается процессом гибели и рождения.Эти процессы могут служить математической моделью дляпопуляции живых организмов. В этом случае под состоянием Еnпонимается наличие в популяции n особей, переход из Еn в состояние Еn +1означает рождение нового члена популяции, а переход из Еn в состояниеЕn-1 соответствует гибели одного из ее членов.В терминах процессов гибели и размножения можно обсуждатьмногие технические задачи. Например, для математической моделитранспортного предприятия под состоянием можно понимать числоавтомобилей, которые пригодны для эксплуатации.
Тогда выход из стояавтомобиля означает переход в состояние с номером на единицу меньше(т.е. «гибель»), а восстановление машины после ремонта –– переход всостояние с номером на единицу больше («рождение»).Обозначим через Рk (t ) вероятность того, что в момент времени tобъект находится в состоянии Еk и выведем уравнения для этихвероятностей. Сначала выведем уравнение при k = 1,2,3,¼ .
Для этогорассмотрим отрезок времени [0, t + h] и учтем возможные изменениясостояния объекта за малый промежуток времени h. Объект в моментвремени t + h будет находиться в состоянии Еk, вероятность чего равнаРk (t + h) , если в момент t он находился в состоянии Еk -1 , вероятность чегоравна Рk -1 (t ) , и за время h произошел переход в состояние Еk, вероятностьчего равна l k -1h + o(h) , или в момент t он находился в состоянии Еk,вероятность чего равна Рk (t ) , и за время h переходов не было, вероятностьчего равна 1 - l k h + n k h + o(h), или в момент t он находился в состоянииЕk +1 , вероятность чего равна Рk +1 (t ) , и за время h произошел переход всостояние Еk, вероятность чего равна n k +1h + o(h).Символическая запись этой фразы имеет видРk (t + h=) l k -1hРk -1 (t ) + (1 – l k h – n k h) Рk (t ) + n k +1hРk +1 (t ) + o ( h ).300Перенесем из правой части в левую Рk (t ) и разделим каждоеслагаемое в равенстве на h:Pk (t + h) - Pk (t )o( h)= l k -1 Рk -1 (t ) – (l k + n k ) Рk (t ) + n k +1Рk +1 (t ) +.hhПри h ® 0 получаем дифференциальное уравнениеPk¢(t ) = l k -1Рk -1 (t ) – (l k + n k ) Рk (t ) + n k +1 Рk +1 (t ) при k = 1,2,3,¼ .
(4.3.2)Уравнение для k = 0 получается из следующих рассуждений. Объектв момент времени t + h будет находиться в состоянии Е0, вероятность чегоравна Р0 (t + h) , если в момент t он находился в состоянии Е0, вероятностьчего равна Р0 (t ) , и за время h переходов не было, вероятность чего равна1 – l 0 h + o(h) , или в момент t он находился в состоянии Е1, вероятностьчего равна Р1 (t ) , и за время h произошел переход в состояние Е0,вероятность чего равна n1h + o(h ) .
Символически эта фраза может бытьзаписана в видеР0 (t + h) (1=– l 0 h) P0 (t ) + n1hP1 (t ) + o ( h ).Перенос слагаемого P0 (t) в левую часть, деление правой и левойчастей равенства на h, предельный переход при h ® 0 приводят кдифференциальному уравнениюP0¢(t ) = – l 0 P0 (t ) + n1 P1 (t ).(4.3.3)Уравнения (4.3.2) и (4.3.3) называют системой уравнений гибели ирождения. В общем виде решение этой системы получить сложно, но вотдельных частных случаях это вполне обозримая работа.Обычно с течением времени влияние начального состояния иссякаети процесс входит в стационарный режим, при котором переходы изсостояния в состояние продолжаются, но сами вероятности состоянийстабилизируются и перестают зависеть от времени (от начальногоt ®¥t ®¥состояния), т.е. Рk (t ) ¾¾¾® Рk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
