ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Время обслуживанияраспределено показательно с параметром n. Каждое требование припоступлении в систему начинает обслуживаться немедленно, если естьхотя бы один свободный прибор. Если требование застает все n приборовобслуживания занятыми, то оно получает отказ и теряется. Такую системуназывают системой с потерями. Примером такой системы может служитьтелефонный узел.313Замечание. Пусть время обслуживания имеет показательноераспределение с функцией распределения F ( x) = 1 – exp{-nx} и пустьобслуживание уже продолжалось время х. Из характеристическогосвойства показательного распределения следует, что оставшаяся частьвремени обслуживания имеет то же самое распределение. Поэтомувероятность того, что обслуживание завершится за последующее время DхравнаF (D=x) – F (0) 1 – exp{– nD=x} – [1 – exp{0}] 1 – exp{– nD=x}= 1 – (1 – nDx + (nDx) 2 / 2!-=K) nDx + o(Dx).Под состоянием Еk можно полагать то состояние системы, прикотором в ней находится (обслуживается) k требований.
Тогда системаможет находиться только в состояниях Е0 , Е1 , Е2 ,K, Еn . Вероятностьперехода из состояния Еk в состояние Еk +1 при k < n равна lDх + o(Dx ).Если в системе находится k требований, то интенсивность обслуживанияравна kn и вероятность перехода из Еk в Еk -1 за малое время Dx равнаk nDx + о(Dx). Мы имеем дело с процессом гибели и размножения, длякоторого l k= l при k < n и l k = 0 при k ³ n, n k = k n при 1 £ k £ n и n k = 0при k > n. Если ввести обозначение r = l / n, то формула (4.3.4) даетвероятности состояний системы при 0 £ k £ n :1 krk!Рk =.(4.3.11)1 2 1 31 n1+ r + r + r + . . .
rn!2!3!Формулы (4.3.11) называют формулами Эрланга, который их впервыевывел в 1917 г. В последующем оказалось, что для систем с потерямиформулы Эрланга сохраняют свою структуру при любом распределениидлительности обслуживания, лишь бы среднее время обслуживанияравнялось 1 / n.При k = n формула (4.3.11) дает вероятность того, что все приборызаняты обслуживанием и, следовательно, поступившее в такой моменттребование получит отказ. Поэтому вероятность потери требования равна1 nrn!Рn =.(4.3.12)11 n1 + r + + ... + rn!2!Пример 4.27. В систему массового обслуживания, состоящую изчетырех каналов обслуживания, поступает простейший поток требованийинтенсивности l = 1.
Времена обслуживания требований независимы икаждое имеет распределение с функцией плотности вероятности314ì x exp(- x) при x ³ 0,f ( x) = íî0 при x < 0.Требование, заставшее все каналы обслуживания занятыми, теряется.Необходимо найти вероятность потери требования и среднее числозанятых обслуживанием каналов.Решение. Пусть V –– время обслуживания требования. Вычислимсреднее время обслуживания¥M (V ) = ò x × xe- x =dx {=x 2u=, du = 2 xdx=, dv e - x dx, v-e - x } =0¥¥= - xe | +2 ò xe dx =2 ò xe- x dx =-x ¥0-x0= {x u , du=-x0dx, dv= e dx, =v-x-e } = 2{= xe-x ¥0¥+ ò e - x dx} = 2.0В формулах Эрланга r =l / n .
Заменяя 1 / n на M (V ) = 2 , получаемr lM (=V ) = 2. По формуле (4.3.11) имеем:12Р0 == 3 / 21;Р1 = Р2=6 / 21;234222 2223 241+ 2 + + +1+ 2 + + +2! 3! 4!2! 3! 4!Р3 = 4 / 21 и Р4 = 2 / 21. Вероятность застать все каналы занятыми равнаР4 = 2 / 21. Это и есть вероятность потери требования.Среднее число занятых каналов равно0 × 6 / 21 + 1 × 6 / 21 + 2 × 6 / 21 + 3 × 4 / 21 + 4 × 2 /=21 38 / 21 » 1,81.Ответ. 2/21; 38 / 21 » 1,81.Задача 4.27. В систему массового обслуживания, состоящую из nканалов обслуживания, поступает простейший поток требованийинтенсивности l. Времена обслуживания требований независимы и каждоеимеет распределениеì0 при x £ 1,ïF ( x) = í ( x - 1) / b при 1 < x £ b + 1,ï1 при b + 1 £ x.îТребование, заставшее все каналы обслуживания занятыми, теряется.Найдите вероятность потери требования и среднее число занятыхобслуживанием каналов.
(См. пример 4.27, b –– номер варианта, внечетных вариантах n = 5 , в четных вариантах n = 6 , l –– сумма цифрварианта.)315=Пример 4.28. На многоканальный контактный телефон фирмыпоступает простейший поток звонков интенсивности пять звонков в час.Время разговора с каждым клиентом в среднем занимает 10 минут. Звонки,заставшие все каналы занятыми, теряются. Сколько должно быть каналовдля того, чтобы терялось не более 10% звонков?Решение.
Формулы Эрланга сохраняют свою структуру при любомраспределении времени обслуживания и зависят только от среднегозначения длительности обслуживания. В нашем случае l = 5 , среднеевремя обслуживания равно 1/6 ч. Поэтому r = 5 / 6. Явно решитьнеравенство1 nrn!< 0,1,11 n1 + r + + ... + r2!n!даже при известном значении r, едва ли возможно. Поэтому естественнонайти n простым перебором его значений. Начнем с n = 2 . По формуле(4.3.12) при n = 221 æ5öç ÷2! è 6 ø=25 / 157 » 0,16 > 0,1.Р2 =25 1 æ5ö1+ + ç ÷6 2! è 6 øПо той же формуле при n = 331æ5öç ÷3! è 6 ø» 0,05.Р3 =235 1 æ5ö 1 æ5ö1+ + ç ÷ + ç ÷6 2! è 6 ø 3! è 6 øВычисления показали, что при двух каналах теряется около 16%звонков, а уже при трех каналах потери составят около 5% звонков.Ответ. Достаточно трех каналов.Задача 4.28.
В отдел заказов торгового центра поступает намногоканальный телефон простейший поток заявок интенсивности lзаявок в час. Времена обслуживания заявок независимы и имеют функциюраспределенияì0 при x £ 1 / b,ïF ( x ) = íln bx при 1 / b < x £ e / b,ï1 при e / b < x.î316Заявка, заставшая все каналы занятыми, теряется. Сколько нужноиметь каналов, чтобы доля принятых заявок составляла не менее 90%? (См.пример 4.28 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.28.№ l b № l b № l b № l b № l b № l b1 3 7 6 8 8 11 6 9 16 5 10 21 4 12 26 4 102 4 8 7 9 7 12 7 8 17 6 8 22 5 11 27 5 123 5 9 8 3 9 13 8 7 18 7 9 23 6 7 28 3 84 6 10 9 4 7 14 3 10 19 8 9 24 3 12 29 6 115 7 7 10 5 8 15 4 9 20 3 11 25 4 11 30 3 94.4.
Метод фаз ЭрлангаСлучайная величина X имеет распределение Эрланга порядка k спараметром l > 0 , если ее функция плотности вероятности имеет видlkf k ( x) =x k -1 e -lx , x ³ 0.(k - 1)!На рис. 4.4.1 приведены графики распределения Эрланга призначении параметра l = 1 и разных значениях k.Рис. 4.4.1При k = 1 получается плотность показательного распределения.Метод фаз Эрланга применяется тогда, когда наряду споказательными распределениями в стохастической системе встречаютсяраспределения Эрланга.Математическое описание такой системы возможно с помощьюМарковского процесса.
Эта возможность основана на том, что случайнуювеличину, имеющую распределение Эрланга порядка k с параметром l,можно представить в виде суммы k независимых показательнораспределенных случайных величин с параметром l. Например,длительность обслуживания, имеющую распределение Эрланга порядка k,317можно считать состоящей из k независимых «фаз», каждая из которыхимеет одно и то же показательное распределение.Оказывается, что многие функции распределения допускаютхорошую аппроксимацию с помощью линейной комбинации функцийраспределения Эрланга.Пример 4.29 (система Энгсета с потерями). Система обслуживаниясостоит из одного прибора. Из n независимых источников поступаюттребования.
Время обслуживания любого требования имеет распределениеЭрланга 3-го порядка с параметром μ. Из каждого источника поступает наобслуживание простейший поток заявок, интенсивности l. Интервалымежду приходами требований из данного источника назовем паузами. Еслитребование застает прибор свободным, то начинает сразу обслуживаться.Пока происходит это обслуживание, из данного источника новыхтребований не поступает. После завершения обслуживания начинаетсяотсчет новой паузы на данном источнике. Требуется найти долю времени,в течение которой прибор будет занят.Решение. Выделим состояния системы: Е0 –– прибор свободен; Еi ––прибор занят i-й фазой обслуживания. Граф состояний системы изображенна рис. 4.4.2.Рис.
4.4.2Для вероятностей состояний системы в момент времени t можносоставить систему уравнений:P0¢(t ) = - n lP0 (t ) + mP3 (t ),P1¢(t ) = nlP0 (t ) - mP1 (t ),P2¢(t ) = mP1 (t ) - mP2 (t ),P3¢(t ) = mP2 (t ) - mP3 (t ).Тогда для стационарных вероятностей ( Pi (t ) ¾¾¾® Pi ) получаем системуt ®¥– nlP0 + mP3 = 0,nlP0 - mP1 = 0,mP1 - mP2 = 0,mP2 - mP3 = 0,318mæ möP3 , P1 = P2 = P3. Из условия нормировки P3 ç+ 3 ÷ = 1.lnè lnømnlПоэтому P3 = P1 = P2 =, P0 =. Вероятность того, что системаm + 3nlm + 3nl3nlзанята равна P1 + P2 + P3 =..m + 3nl3nlОтвет..m + 3nlиз которой P0 =Задача 4.29.1.
В одноканальную систему массового обслуживанияпоступает простейший поток требований на обслуживание интенсивностиλ. Времена обслуживания независимы и имеют распределение Эрлангапорядка k с параметром μ (в четных вариантах k = 2 , в нечетных k = 3 ).Требование, заставшее обслуживающий прибор занятым, теряется. Каковавероятность потери требования? Решите задачу в общем виде, а затемвычислите искомую вероятность при λ равном сумме цифр Вашеговарианта, а μ возьмите равным l / 2.
(См. пример 4.29.)Задача 4.29.2. Интервалы между приходами требований водноканальную систему массового обслуживания имеют распределениеЭрланга k-го порядка с параметром λ («входящий поток Эрланга k-гопорядка»). Времена обслуживания независимы и имеют показательноераспределение с параметром μ. Требование, заставшее обслуживающийприбор занятым, теряется. Какова вероятность потери требования? Решитезадачу в общем виде, а затем вычислите искомую вероятность при λравном сумме цифр Вашего варианта, а μ возьмите равным l / 2.
(См.пример 4.29.)Задача 4.29.3. Для вариантов 1–16: На обслуживающий приборпоступает поток требований, интервалы между моментами приходакоторых независимы и имеют распределение Эрланга порядка k спараметром l. Времена обслуживания независимы и имеют распределениеЭрланга порядка m с параметром m. Требование, заставшее приборзанятым, получает отказ и теряется (в символике Кендалла имеется в видусистема массового обслуживания Ek | Em |1| 0 ). Найдите долю временипростоя системы и долю потерянных требований.Для вариантов 17–30. Система обслуживания состоит из одногоприбора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
