ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Но проще составить систему (4.5.3):ì –0,5Р1 + 0,2Р2 + 0,1Р3 = 0,ïí0,5Р1 – 0,9Р2 = 0,ï Р + Р + Р = 1.23î 1Решая систему, например, по правилу Крамера, получим Р1 = 9 / 49 @ 1 / 5,Р2 = 5 / 49 @ 1 / 10, Р3 = 35 / 49 @ 5 / 7 @ 0,7. Эти результаты означают, чтопримерно 20% времени цепь проведет в состоянии Е1, 10% времени ––состоянии Е2, 70% времени –– в состоянии Е3.Ответ. Е2 –– наименее вероятное состояние на третьем шаге;Р1 = 9 / 49 , Р2 = 5 / 49 , Р3 = 35 / 49.Задача 4.30.1. По заданному графу состояний марковской цепинаписатьпереходнуюматрицувероятностей.ПриначальномраспределенииP1 (0)= 1,P2 (0)= P3 (0)= P4 (0)= 0 найти наиболеевероятное состояние на третьем шаге.
Найти предельные (финальные)вероятности состояний цепи. В вариантах 1, 7, 13, 19, 25 использовать граф№ 1; в вариантах 2, 8, 14, 20, 26 –– граф № 2; в вариантах 3, 9, 15, 21, 27 ––граф № 3; в вариантах 4, 10, 16, 22, 28 – граф № 4; в вариантах 5, 11, 17, 23,29 –– граф № 5; в вариантах 6, 12, 18, 24, 30 –– граф № 6. (См. пример 4.30и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.30.1.№ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 № a1 a2 a3 a4 a5 a6 a73261234567891011121314150,80,30,10,40,30,50,70,20,10,40,20,40,80,30,10,20,40,80,20,20,90,20,20,80,10,10,80,30,40,90,50,60,40,40,90,40,60,50,50,50,80,50,70,50,40,40,40,40,50,60,30,50,50,40,50,70,40,30,30,50,50,50,50,60,70,50,30,70,60,80,60,40,60,80,80,30,40,80,50,70,60,50,30,80,60,80,50,50,50,70,60,40,40,80,20,40,50,50,30,90,20,70,50,30,11617181920212223242526272829300,50,30,50,80,40,10,20,30,40,70,40,10,30,40,6граф № 1граф № 2граф № 3граф № 4граф № 5граф № 63270,30,20,90,10,30,90,20,20,80,20,40,90,10,20,90,40,80,40,60,40,50,40,90,50,70,50,30,30,90,40,30,70,60,20,50,40,80,50,50,30,30,50,60,50,70,60,70,40,60,70,70,50,80,30,60,80,80,60,70,60,60,60,30,40,50,80,70,70,40,40,30,70,80,70,20,90,20,40,30,40,20,80,10,40,50,60,20,90,20,3Задача 4.30.2.
Происходит процесс случайного блуждания поцелочисленной решетке E = {0,1, 2,3, 4}. Обозначим через Ek пребываниечастицы в точке с координатой k. Начальное состояние частицы Ek,k = 0,1, 2,3, 4. Каждую единицу времени частица с вероятностью pсдвигается вправо, с вероятностью q –– влево, или остается на месте свероятностью 1 – p – q .Найдите вероятности состояний частицы на третьем шаге.
Найдитестационарные (финальные) вероятности состояний частицы. (См. пример4.30 и исходные данные; k –– остаток от деления номера варианта на 5.Например, для 17 варианта k = 2 , так как 17 = 3 × 5 + 2 .)Исходные данные к задаче 4.30.2.q № pq № pq № pq № pq№ p1 0,2 0,4 7 0,1 0,7 13 0,3 0,1 19 0,5 0,2 25 0,2 0,12 0,3 0,5 8 0,2 0,3 14 0,1 0,5 20 0,6 0,3 26 0,1 0,33 0,4 0,3 9 0,1 0,4 15 1/3 1/4 21 0,3 0,4 27 0,5 0,14 0,2 0,5 10 0,4 0,5 16 0,1 0,3 22 0,7 0,1 28 1/4 1/35 0,6 0,2 11 0,2 0,7 17 0,4 0,2 23 0,5 0,4 29 1/3 1/56 0,3 0,6 12 0,1 0,2 18 0,2 0,6 24 0,7 0,2 30 0,5 0,3Пример 4.31. В городе N каждый житель имел одну из профессий A,B или C. Дети в следующем поколении сохраняли профессию отцов свероятностями соответственно 0,6, 0,2 и 0,4 и с равными вероятностямивыбирали любую из двух других профессий.
Если в данный моментпрофессию A имеет 20% жителей города, профессию B –– 30%, апрофессию C –– 50% жителей, то1) каково распределение по профессиям будет в следующем поколении;2) каким будет распределение по профессиям через много поколений(финальное распределение)?328Решение. Смену поколений будем считать шагом Марковской цепи.Имеем начальное распределение (на нулевом шаге): PA (0)= 0, 2 ,PB (0)= 0,3 , PC (0)= 0,5 .
Переходная матрица имеет вид:ABCA0,60,20,2B0,40,20,4C0,30,30,4В соответствии с формулами (4.5.1) получаем распределениевероятностей на первом шаге (в первом поколении):PA (1) = 0, 2 × 0, 6 + 0,3 × 0, 4 + 0,5 × 0,3 = 0,39;PB (1) = 0, 2 × 0, 2 + 0,3 × 0, 2 + 0,5 × 0,3 = 0, 25;PC (1) = 0, 2 × 0, 2 + 0,3 × 0, 4 + 0,5 × 0, 4 = 0,36.Для вычисления финальных вероятностей составляем системууравнений (4.5.2)PA = PA × 0,6 + PB × 0, 4 + PC × 0,3;PB =PA × 0, 2 + PB × 0, 2 + PC × 0,3;PC = PA × 0, 2 + PB × 0, 4 + PC × 0, 4.Эта система уравнений при условии нормировки PA + PB + PC =1имеет решениеPA = 18 / 39, PB = 9 / 39, PC = 12 / 39.Ответ. PA = 18 / 39, PB = 9 / 39, PC = 12 / 39.Задача 4.31.1.
Каждый житель некоторого города принадлежит кодной из социальных групп (богатые, средний класс, живущие за чертойбедности). По истечении года представитель i-й группы сохраняет свойсоциальный статус с вероятностью Pi, или с равными вероятностямипереходит в одну из двух других групп. Пусть в данный момент a%жителей богаты, b% относятся к среднему классу, c% живут в нищете.В предположении, что описанная социальная динамика остаетсянеизменной на протяжении многих лет, определите финальныйсоциальный состав жителей города. (См.
пример 4.31 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.31.1.abcabc№P1 P2 P3 №P1 P2 P3565 35 0,9 0,5 0,9 16565 35 0,9 0,6 0,9110 65 30 0,8 0,6 0,9 17 10 65 30 0,95 0,7 0,8210 60 30 0,7 0,8 0,9 18 10 60 30 0,9 0,5 0,9315 55 30 0,9 0,6 0,9 19 15 55 30 0,8 0,6 0,9410 70 20 0,95 0,7 0,8 20 10 70 20 0,7 0,8 0,95570 25 0,9 0,5 0,9 21570 25 0,9 0,6 0,9615 65 20 0,8 0,6 0,9 22 15 65 20 0,95 0,7 0,87329891011121314158510101510515706565605570706522 0,7 0,835 0,9 0,630 0,95 0,730 0,9 0,530 0,8 0,620 0,7 0,825 0,9 0,620 0,95 0,70,90,90,80,90,90,90,90,823242526272829308510101510515706565605570706522 0,9 0,535 0,8 0,630 0,7 0,830 0,9 0,630 0,95 0,720 0,9 0,525 0,8 0,620 0,7 0,80,90,90,90,90,80,90,90,9Задача 4.31.2. Перед началом теледебатов зрители разделялись натри равные по численности группы: E1 –– сторонники кандидата A; E2 ––неопределившиеся; E3 –– сторонники кандидата B.Оказалось, что после обсуждения каждого вопроса зрители менялисвое предпочтение в соответствии с матрицей переходаE1E2E3E1P11P12P13E2P21P22P23E3P31P32P33Найдите распределение предпочтений зрителей после обсуждениятрех вопросов.
Найдите распределение предпочтений зрителей послеобсуждения достаточно большой серии вопросов. (См. примеры 4.30, 4.31и исходные данные. Недостающие элементы переходной матрицы найдитеиз условия, что переходная матрица является стохастической.)Исходные данные к задаче 4.31.2.№ P11 P12 P21 P22 P31 P32 № P11 P12 P21 P22 P31 P3210,9 0,1 0,1 0,8 00,2 16 0,9 0,1 0,1 0,8 00,220,8 0,2 0,1 0,8 0,1 0,1 17 0,8 0,2 0,05 0,8 0 0,01530,9 0,1 0,05 0,8 0 0,05 18 0,9 0,1 0,1 0,8 00,140,8 0,15 0,1 0,8 00,1 19 0,8 0,2 0,1 0,8 00,250,9 0,05 0,1 0,8 00,2 20 0,9 0,1 0,05 0,9 0 0,0560,9 0,1 0,1 0,8 0 0,05 21 0,8 0,15 0,1 0,8 00,170,8 0,2 0,05 0,9 00,1 22 0,9 0,05 0,1 0,8 00,280,9 0,1 0,1 0,8 00,2 23 0,9 0,1 0,1 0,8 00,290,8 0,15 0,1 0,8 00,2 24 0,8 0,2 0,1 0,8 0,1 0,110 0,9 0,05 0,1 0,8 0,1 0,1 25 0,9 0,1 0,05 0,9 00,111 0,8 0,15 0,05 0,9 00,1 26 0,8 0,15 0,1 0,8 00,212 0,9 0,1 0,1 0,8 0 0,05 27 0,9 0,05 0,1 0,8 00,213 0,8 0,2 0,1 0,8 00,1 28 0,9 0,1 0,1 0,8 0 0,0514 0,9 0,1 0,1 0,8 00,2 29 0,8 0,2 0,1 0,9 00,115 0,8 0,15 0,1 0,9 0 0,05 30 0,9 0,1 0,05 0,8 00,2330Пример 4.32.
Устройство состоит из двух блоков (например,двигатель и ходовая часть). Пусть A означает безотказную работу первогоблока, B –– безотказную работу второго блока. По истечении каждойединицы времени проверяется состояние этих блоков, и в случаенеисправности производится их ремонт. Вероятность безотказной работыблоков в течение единицы времени равны соответственно 0,9 и 0,8. Еслинеисправность блока обнаружена, то вероятность отремонтировать блок втечение единицы времени равна соответственно 0,3 и 0,4.
Найтипредельные вероятности для состояний устройства: E1 = AB; E2 = AB;E3 = AB; E4 = AB.Замечание. В сформулированном примере по умолчанию предполагается,что распределение времени безотказной работы и распределение времениремонта каждого блока не имеют «памяти» о прошлом. Единственнымраспределением такого сорта является показательное распределение. Если,например, время ремонта распределено по показательному закону и ремонтуже продолжается некоторое время, то оставшаяся часть времени ремонтаимеет то же самое распределение, что и в начале ремонта.Решение. Поскольку состояния блоков наблюдаются в конце каждойединицы времени, то моменты наблюдения можно считать шагамиоднородной марковской цепи. Учитывая независимость временибезотказной работы и времени ремонта узлов, определим переходныевероятности:ABABABABAB0,9×0,8 0,9×0,2 0,1×0,8 0,2×0,10,9×0,4 0,9×0,6 0,1×0,4 0,1×0,6AB0,3×0,8 0,3×0,2 0,7×0,8 0,7×0,2AB0,3×0,4 0,3×0,6 0,7×0,4 0,7×0,6ABВ итоге переходная матрица имеет видæ 0, 72 0,18 0,8 0,02 öç 0,36 0,54 0, 04 0,06 ÷÷.|| Pij ||= çç 0, 24 0, 06 0,56 0,14 ÷ç÷è 0,12 0,18 0, 28 0, 42 øСоставим систему уравнений для определения финальных вероятностей:P1 = 0, 72 P1 + 0,36 P2 + 0, 24 P3 + 0,12 P4 ,P2 = 0,18 P1 + 0,54 P2 + 0,06 P3 + 0,18 P4 ,P3 = 0,08 P1 + 0,04 P2 + 0,56 P3 + 0, 28 P4 ,P4 = 0, 02 P1 + 0,06 P2 + 0,14 P3 + 0, 42 P4 .331Это система линейных однородных уравнений, она имеет бесконечномного решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
