ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В течение каждогодня в хранилище поступает случайное количество продукции X. ВеличиныX независимы и одинаково распределены:X0123P0,10,10,50,3При заполнении хранилища избыток поступившей продукциитеряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю двеединицы продукции (или весь запас, если он меньше двух).Для стационарного режима требуется найти: вероятность того, чтопоставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята нахранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться вполном объеме.Решение.
Будем рассматривать состояния хранилища мгновениеспустя после очередной отгрузки. Тогда возможных состояний будет пять:E0 , E1 , E2 , E3 , E4 , где номер состояния соответствует числу находящихся нахранении единиц продукции.В нашем примере g 0 = P(= X =0) 0,1; g1 = P(= X = 1) 0,1; g 2 == P(= X =2) 0,5; g 3 = P(= X = 3) 0,3. Составим переходную матрицу:E0 E1 E2 E3 E4E0 0,7 0,3 000E1 0,2 0,5 0,3 00E2 0,1 0,1 0,5 0,3 0E30 0,1 0,1 0,5 0,3E400 0,1 0,1 0,8В соответствии с переходной матрицей запишем систему уравнений(4.7.1) для вычисления стационарных вероятностей:344u0 = 0,7u0 + 0,2u1 + 0,1u2 ,u1 = 0,3u0 + 0,5u1 + 0,1u2 + 0,1u3 ,u2 = 0,3u1 + 0,5u2 + 0,1u3 + 0,1u4 ,u3 = 0,3u2 + 0,5u3 + 0,1u4 ,u4 = 0,3u3 + 0,8u4 .Вместо любого из уравнений можно взять условие нормировкиu0 + u1 + u2 + u3 + u4 = 1.
Итак, имеем систему уравнений–3u0 + 2u1 + u2 = 0,3u0 – 5u1 + u2 + u3 = 0,3u1 – 5u2 + u3 + u4 = 0,3u2 - 5u3 + u4 = 0,3u3 – 2u4 = 0.Структура уравнений системы такова, что позволяет легко выразитьвсе неизвестные величины через одну из них. Например, из последнегоуравнения имеем2u3 = u4 .(4.7.7)3Подставляя найденное выражение для u3 в предыдущее уравнение,получаем7u2 = u4 .(4.7.8)9С учетом (4.7.7) и (4.7.8) из третьего уравнения находим, что8u1 = u4 .(4.7.9)27Из первого уравнения и соотношений (4.7.7) –– (4.7.9) следует, что37u0 = u4 .(4.7.10)81Воспользуемся теперь условием нормировки37872u0 + u1 + u2 + u3 + u4 = u4 + u4 + u4 + u4 + u4 =812793259æ 37 8 7 2 ö= u4 ç ++ + + 1÷ = u4=1,81279381èø81откуда u4 =. Подставляя найденное значение u4 в равенства (4.7.7) ––259(4.7.10), получаем37246354u0 =, u1 =, u2 =, u3 =.259259259259Поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята нахранение, если в хранилище, после очередной отгрузки, останется не более345трех единиц продукции (вероятность чего равна u0 + u1 + u2 + u3 ), или вхранилище останется четыре единицы продукции, но до очереднойотгрузки поступит не более двух единиц продукции (вероятность чегоравна g 0 + g1 + g 2 ).
Поэтому вероятность полного приема продукции равнаP = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 ( g 0 + g1 + g 2 ) » 0,906.Математическое ожидание количества теряемой продукции прикаждом ее поступлении равно811 × u4 × g 3 =× 0,3 » 0,09 ед. прод.259Вероятность того, что отпуск продукции будет производиться вполном объеме (в количестве двух единиц), равнаu2 + u3 + u4 + u1 ( g1 + g 2 + g 3 ) + u0 ( g 2 + g3 ) » 0,962.Заметим, что M ( X ) = 1 × 0,1 + 2 × 0,5 + 3 × 0,3 = 2.
В среднем поступаетстолько, сколько должно тратиться за день. Но за счет неравномерностипоступления продукции в хранилище возникают и неполные поставки ипотери продукции из-за переполнения склада.Ответ. 0, 906; 0,962.Задача 4.37. Хранилище имеет емкость K единиц хранения (длянечетных вариантов K = 5 , в четных вариантах K = 6 ). В течение каждогодня в хранилище поступает случайное количество продукции X. ВеличиныX независимы и одинаково распределены. При заполнении хранилищаизбыток поступившей продукции теряется.
В конце каждого дня изхранилища отпускается потребителю m единиц продукции (или весь запас,если он не превосходит m).Для стационарного режима найдите: вероятность того, чтопоставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята нахранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться вполном объеме. (См.
пример 4.37 и исходные данные; в нечетныхвариантах m = 1 , в четных вариантах m = 2 .)Исходные данные к задаче 4.37. В таблице указаны g i = P( X = i ).№ g0 g1 g2 g3 № g0 g1 g2 g3 № g0 g1 g2 g31 0,4 0,3 0,2 0,1 11 4/9 2/9 2/9 1/9 21 0,5 0,1 0,3 0,12 1/8 1/8 1/2 1/4 12 1/7 1/7 3/7 2/7 22 1/8 2/8 2/8 3/83 1/2 1/6 1/6 1/6 13 0,5 0,2 0,1 0,2 23 5/12 1/4 1/4 1/124 0,1 0,1 0,6 0,2 14 0,1 0,1 0,5 0,3 24 1/8 1/3 3/8 3/85 3/8 3/8 1/8 1/8 15 3/7 2/7 1/7 1/7 25 5/12 1/3 1/12 1/66 0,1 0,2 0,5 0,2 16 0,1 0,2 0,6 0,1 26 1/9 1/9 4/9 3/97 0,3 0,5 0,1 0,1 17 1/2 1/8 1/4 1/8 27 0,2 0,6 0,1 0,18 1/9 1/9 5/9 2/9 18 0,1 0,2 0,4 0,3 28 1/6 1/6 1/6 1/23469100,4 0,4 0,1 0,11/6 1/6 1/3 1/319201/3 5/12 1/6 1/12 290,1 0,3 0,2 0,4 300,2 0,6 0,1 0,11/7 1/7 2/7 3/7Пример 4.38.
Хранилище имеет емкость пять единиц хранения. Втечение каждого дня в хранилище поступает случайное количество Xединиц продукции. Величины X независимы и имеют одинаковоераспределениеX123g1 = 0,5 g 2 = 0,3 g 3 = 0,2PПри заполнении хранилища избыток поступившей продукциитеряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителюслучайное число m единиц продукции (или весь запас, если он непревосходит m). Известно, что P (m = 1)= p1 = 0,3, а P (m = 2)= p2 = 0,7.Для стационарного режима найдите: вероятность того, чтопоставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята нахранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться вполном объеме.Решение.
Если рассматривать состояние хранилища в моменты сразупосле очередной отгрузки продукции, то имеется пять возможныхсостояний: E0 , E1 , E2 , E3 , E4 , где номер состояния соответствует числунаходящихся на хранении единиц продукции. Состояния хранилища вмоменты после очередной отгрузки образуют цепь Маркова. Найдем еепереходные вероятности.Переход E0 ® E0 произойдет, если в пустое хранилище поступитодна единица продукции и она достоверно будет отгружена, или поступятдве единицы продукции и обе будут отгружены.
Поэтомуp00 = P( E0 ® E0 ) = g1 × 1 + g 2 p2 0,5= + 0,3 × 0,7 = 0,71.Переходы E0 ® E1 , E1 ® E2 , E2 ® E3 происходят, если в хранилищепоступает на единицу продукции больше, чем затем отгружается. Поэтомуp01 = p12 = p23 = g 2 p1 + g3p2 0,3= × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,23.Переходы E1 ® E0 , E2 ® E1 , E3 ® E2 происходят, если поступаетодна единица хранения, а отгружаются две. Вероятность этогоp10 = p21 = p32 = g1p2 0,5= × 0,7 = 0,35.Хранилище сохранит свое состояние E2 или E3, если поступитстолько единиц хранения, сколько и будет отгружено. Поэтомуp11 = p22 = g1p1 + g 2 p2 0,5= × 0,3 + 0,3 × 0,7 = 0,38.Переходы E0 ® E2 , E1 ® E3 , E2 ® E4 происходят, если поступит триединицы хранения, а будет отгружена только одна.
Поэтомуp02 = p13 = p24 = g 3p1 0,2= × 0,3 = 0,06.347Для перехода E3 ® E3 необходимо, чтобы поступила одна единицахранения и она была отгружена или поступили две или три единицыхранения и были отгружены две. Вероятность этогоp33 = g1p1 + ( g 2 + g 3 )p2 0,5 × 0,3= + (0,3 + 0, 2)0,7 = 0,5.Переход E3 ® E4 произойдет, если в хранилище поступит две или триединицы продукции, а будет отгружена только одна, вероятность чегоравнаp34 = ( g 2 + g 3 )p1 (0,3 += 0,2)0,3 = 0,15.Если в хранилище четыре единицы продукции, то при любомпоступлении новой продукции хранилище будет заполнено целиком. Тогдадля перехода E4 ® E3 необходима отгрузка двух единиц продукции.Вероятность этогоp43 = ( g1 + g 2 + g 3 )p2 1=×0,7 = 0,7.Хранилище сохранит свое состояние E4, если при поступлениилюбого количества единиц хранения (хранилище тогда будет заполнено)будет отгружена одна единица хранения.
Вероятность этогоp44 = ( g1 + g 2 + g3 )p1 1=×0,3 = 0,3.Итак, переходная матрица имеет вид:E0E1E2E3E4E00,71 0,23 0,0600E10,35 0,36 0,23 0,060E200,35 0,36 0,23 0,06E3000,350,50,15E40000,70,3В соответствии с переходной матрицей запишем систему уравнений(4.7.1) для вычисления стационарных вероятностей:u0 = 0,71u0 + 0,35u1 ,u1 = 0,23u0 + 0,36u1 + 0,35u2 ,u2 = 0,06u0 + 0,23u1 + 0,36u2 + 0,35u3 ,u3 = 0,06u1 + 0,23u2 + 0,5u3 + 0,7u4 ,u4 = 0,06u2 + 0,15u3 + 0,3u4 .Это система линейных однородных уравнений. Вместо любого изуравнений можно взять условие нормировки u0 + u1 + u2 + u3 + u4 = 1.
Тогдаполучится система линейных неоднородных уравнений. Решая эту системулюбым способом (по формулам Крамера, по методу Гаусса и т.д.) получим,чтоu0 = 0, 242; u1 = 0,200; u2 = 0,207; u3 = 0,206; u4 = 0,145.348Вероятность потери поступающей продукции из-за переполнениясклада равна u4 ( g 2 + g 3 ) = 0,0725 , т.е. потери составят около 7%.Вероятность полного приема на хранение равна 1 - 0,0725 = 0,9275.Вероятность отгрузки в требуемом объеме равнаu1 + u2 + u3 + u4 + u0 ( g1p1 + g 2 + g 3 ) = 0,9153.Ответ. 0,9275; 0,9153.Задача 4.38. Хранилище имеет емкость K единиц хранения (внечетных вариантах K = 4 , в четных вариантах K = 5 ).
В течение каждогодня в хранилище поступает случайное количество X единиц продукции.Величины X независимы и имеют одинаковое распределениеX0123Pg0g1g2g3При заполнении хранилища избыток поступившей продукциитеряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителюслучайное число m единиц продукции (или весь запас, если он непревосходит m). Известно, что P (m = 1)= p1 , а P (m = =2) p 2 .Для стационарного режима найдите: вероятность того, чтопоставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята нахранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться вполном объеме.Величины gi, i = 0,1,2,3, возьмите из исходных данных задачи 4.46. Внечетных вариантах P (m = 1)= p1 = 0,9, а P (m = 2)= p2 = 0,1.
В четныхвариантах P (m = 1)= p1 = 0,1 , а P (m = 2)= p2 = 0,9. (См. пример 4.38.)4.8. Полумарковские процессыСлучайный процесс конечным числом состояний называетсяполумарковским процессом (ПМП), если время пребывания процесса вкаждом из состояний случайно и зависит только от этого состояния и оттого, в какое состояние затем перейдет процесс.Пусть Е1 , Е2 ,K, Еn –– возможные состояния процесса. Чтобы задатьПМП необходимо указать:1) матрицу вероятностей переходов || Pij ||, i, j = 1,2,3,K, n;2) матрицу функций распределения || Fij ( x ) || , где Fij ( x ) –– функцияраспределения времени пребывания процесса в состоянии Еi при условии,что следующим состоянием будет Еj;3) начальное распределение {Pi (0)} (например, Р1 (0) = 1 , Рi (0) = 0при i ¹ 1 –– это означает, что процесс начинается из состояния Е1).349Заметим, что марковский процесс с непрерывным временем иконечным числом состояний можно считать ПМП, у которого времяпребывания в каждом состоянии распределено показательно.
Марковскуюцепь можно рассматривать в непрерывном времени как ПМП, у котороговремя пребывания в каждом состоянии равно 1.Практический интерес представляют многие характеристики ПМП:1) среднее время достижения состояния Еi из начального состояния;2) среднее число попаданий в состояние Еi за время t;3) стационарные вероятности того, что процесс находится всостоянии Еi.Рассмотрим способы вычисления некоторых характеристик процесса.Если обозначить функцию распределения времени пребывания в состоянииnЕi через Fi (t ) = å Pij Fij (t ), тоj =1¥mi = ò t dFi (t )0¥nå P=ij ò t dFij (t )j =10nå P= m ,j =1ijij(4.8.1)где mi –– среднее время пребывания в состоянии Еi, а mij ––математическое ожидание, соответствующее распределению Fij (t ).Обозначим через Lij –– среднее время до первого попадания изсостояния Ei в состояние Еj.
Легко видеть, чтоLij = Pij mij + å Pik (mik + Lk j )k¹ jилиLij = å Pik Lk j + å Pik mik + Pij mij .k¹ jk¹ jОткуда в силу (4.8.1) получаем систему уравнений для определения LijLij = å Pik Lk j + mi .(4.8.2)k¹ jАналогично можно провести рассуждения о среднем временипребывания процесса в множестве состояний M. Обозначим через m j ( M )среднее время пребывания процесса в множестве состояний M, если этопребывание началось из состояния Е j Î М . Можно показать, чтоm j ( M ) = å Pik m j (M ) + mi .(4.8.3)jÎMВ заключение приведем частичную формулировку одной из важныхтеорем о ПМП.Теорема Пайка (Pyke). Стационарные вероятности пребыванияпроцесса в состояниях Еj, j = 1,2,K, k равны350Pj =m ju jkåmui =1,(4.8.4)i iгде uj –– финитные вероятности вложенной марковской цепи, mi –– среднеевремя пребывания в состоянии Еi, а Рj –– стационарные вероятностисостояний.Пример 4.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
