ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это означает, что частобудут реализовываться малые интервалы между требованиями и редко ––большие. Для наблюдателя это будет выглядеть как локальные сгущениятребований и локальные разряжения. Тем самым подтверждаетсябытующее представление о «полосе везения» и «полосе невезения».Действительно, случайные события, даже будучи независимыми, имеютсвойство группироваться во времени.Задача 5.1 (о времени ожидания). Отметим одну особенностьпростейшего потока, связанную с «парадоксом времени ожидания».Предположим сначала, что к остановке с равными интервалами подходятавтобусы (поток автобусов детерминированный).
Пассажир в случайныймомент времени приходит на остановку и ожидает ближайшего по времениавтобуса. Каково среднее время ожидания пассажира?Решение. Пусть интервал между автобусами равен t. Так какравновозможно любое значение времени ожидания Х в пределах от 0 до t,то среднее время ожидания равноttt11 x2М ( X ) = ò x dx== .tt 2 0 20(5.1)Пусть теперь моменты прибытия автобусов на остановку образуютпростейший поток интенсивности l. Так как интервалы междупоследовательно приходящими автобусами имеют показательный законраспределения, то средний интервал между прибытиями автобусов будетравен¥M (X ) =ò xl exp(-lx)dx.0Интеграл можно взять по частям.
Поэтому¥¥11+ ò e-lx dx = - e-lx = .(5.2)00ll0Плотность вероятности того, что момент прихода пассажирапридется на интервал между автобусами длины х, имеет видM ( X ) = -x e-lx ¥357xle -lxxle -lx= =¥1-lxxledxòlxl 2 e-lx .0Согласно (5.1) при интервале между автобусами длиной х среднеевремя ожидания равно x / 2 . Поэтому среднее время ожидания в случаепростейшего потока равно¥1xM ( X ) = ò xl 2e -lx dx =2l0(последний интеграл дважды берется по частям). Итак, при регулярномпотоке среднее время ожидания равно половине интервала междуприбытиями автобусов. При чисто случайном потоке автобусов среднеевремя ожидания совпадает со средним интервалом между автобусами.Заметим, что среднее время ожидания пассажира может бытьзначительно больше среднего интервала между автобусами.
Например,пусть автобусы приходят по расписанию, но такому, что сначала подряд синтервалами в две минуты проходят пять автобусов, а шестой приходитчерез50минут.Тогдасреднийинтервалбудетравен(2 × 5 + 50) / =6 10 мин.Пассажир может с вероятностью 1/5 попасть на череду короткихинтервалов между автобусами и среднее время ожидания для него будетравно 1 мин. На большой интервал можно попасть с вероятностью 5/6 итогда среднее время ожидания будет 25 мин. Поэтому среднее времяожидания равно 1 × 1 / 6 + 25 × 5 / 6 126= / 6 21= мин. Минимальным среднеевремя ожидания будет при регулярном потоке автобусов при равныхинтервалах между ними.Проведем рассмотрение в общем случае. Момент, начиная скоторого мы начинаем наблюдать поток событий, можно считатьслучайной точкой t на оси времени t.
Пусть в потоке событий интервалымежду соседними событиями независимы и имеют одинаковые функцииплотности вероятности f (t ) (такие потоки называют потоками Пальма).Найдем плотность вероятности f * (t ) длины того интервала Т * , накоторый попала случайная точка t. Понятно, что шансы точкой попасть вдлинный интервал больше, чем в короткий. Поэтому сам факт попаданияслучайной точки t на интервал меняет его распределение.
РассмотримP{T * Î [t , t + dt )} » f * (t )dt.(5.3)Чтобы вычислить эту вероятность, предположим, что имеем дело сбольшой серией из n интервалов. Среднее число интервалов, имеющихдлину в пределах от t до t + dt , равно n f (t )dt , а средняя длина суммы358таких интервалов равна tn f (t )dt. Средняя же длина всех n интервалов¥равна nmt = n ò t f (t )dt . Поэтому0nt f (t ) dt t f (t )=dt .nmtmtПри n ® ¥ получается точное равенство, из которого следует:t f (t )f * (t ) =.mtСредняя длина интервала, в который попала точка, равна¥1M (T 2 )*M (T ) = ò tt f (t ) dt =.mt 0mtf * (t )dt »(5.4)Так как D(T ) = M (T 2 ) – (mt )2 , тоD(T ) + (mt )2D(T )M (T ) = =mt +.mtmtНапример, для показательного закона распределения интервалов (дляпростейшего потока событий интенсивности l) mt= M=(T ) 1 / l,*tl e -l tD(T )= 1 / l , поэтому f (t ) = =l 2te -lt и M (T * ) = 2 / l .1/ lГрафик этой функции плотности вероятности f * (t ) изображен нарис.
5.1. Если для показательного закона распределения наиболее вероятнымалые значения, то для f * (t ) вероятности смещены в сторону большихзначений.2*Рис. 5.1Пусть F ( x) и f ( x) соответственно функция распределения ифункция плотности вероятности интервала X между моментами появлениясоседних событий. Предположим, что с момента появления последнегособытия уже прошло время t. Найдем распределения оставшейся частиинтервала, которую обозначим через R:359P ( X < t + r , X ³ t)=P ( X ³ t)F (r + t) - F (t)=,1 - F (t)dF (r , t) f (r + t)откуда f (r / t ) ==.dr1 - F ( t)P(R < r )F (r / t )F (r=/ X ³ t )P(t £ X < t + r )=P ( X ³ t)Задача 5.2 (о наилучшем выборе).
Имеется n однородных предметовразличного качества, причем заранее о предметах ничего не известно.Предметы можно выбирать наугад по одному и обследовать. Если качествопредмета нас не устраивает, то выбираем очередной предмет, но котвергнутому предмету вернуться нельзя. Какой стратегии следовать,чтобы вероятность выбрать наилучший предмет была наибольшей? (Этузадачу называют еще задачей о разборчивой невесте. К невестепоследовательно сватаются n женихов. Жених, получивший отказ,повторно не сватается.)Решение. Поскольку качество этих предметов нам неизвестно, то дляначала необходимо получить представление о том, чего следует ожидать.Рассмотрим следующий порядок действий: Просмотрим m ( m < n )предметов и отвергнем их, не взирая на качество.
Затем остановим свойвыбор на первом предмете, который окажется лучше всех ранеепросмотренных.Вычислим вероятность выбрать наилучший предмет при такомобразе действий, а затем определим оптимальное значение m.Обозначим через Ak –– событие, состоящее в том, что наилучшимявляется (k + 1) -й предмет и при этом наилучший из первых k предметовнаходится среди первых m предметов (последнее условие гарантирует нам,что дело дойдет до выбора (k + 1) -го предмета.). Тогдаn -1P (выбрать наилучший предмет) = å P ( Ak ) =k =mæ того, что наилучший средиöæ того, что наилучшим окажется ö ç= å Pç× P ç первых k предметов находится ÷÷ =÷k = m è ( k - 1)-й по счету предметø ç среди первых m предметов÷èøn -1n -11 m m1=å × = å .n k =m kk =m n kВыберем число s между 0 и 1 и пусть m = [ns] –– наибольшее целоечисло, меньшее, чем ns.
Определим при n ® ¥ наилучшее значение s(наилучшее в смысле максимизации исследуемой вероятности). Заметим:n -1360=nm n -1 1 [ns] n -1 11P ( s) = = ås ò dx - s ln s.»=ån k =m kn k =[ ns ] kxnsНайдем максимальное значение функции P ( s)= - s ln s . Понеобходимому условию экстремума P ¢( s )= – ln= s – 1 0 Þ ln=s –1 ÞÞ s= 1 / e –– критическая точка. В этой точке функция имеет максимумтак как в этой точке P ¢¢( s ) s =1/ e = -1 /=s s =1/ e -e < 0.Итак, оптимальная стратегия рекомендует просмотреть примернотреть предметов (точнее, [n / e] ) и затем остановить свой выбор на первомпредмете лучшем, чем все ранее просмотренные. Не исключено, чтолучший предмет уже был просмотрен в первой трети предметов, иотвергнут.
Тогда придется остановиться на последнем из предметов. Ещераз подчеркнем, что предлагаемая стратегия не гарантирует выборнаилучшего предмета, но делает его выбор наиболее вероятным.Задача 5.3. Вы принимаете участие в телеигре, и Вам предлагаютвыбрать одну из трех шкатулок, в одной из которых лежат деньги. Вывыбрали некоторую шкатулку (например, шкатулку № 1).
Ведущий послеэтого открывает одну из двух других шкатулок (например, шкатулку № 3),показывает, что она пуста, и спрашивает: не желаете ли Вы изменить своерешение и выбрать шкатулку № 2? Следует ли Вам менять свое решениеили нет?Решение. Будем полагать, что ведущий знает, где деньги лежат, ипоэтому открывает именно пустую шкатулку. Насчет шкатулки с деньгамиесть три одинаково вероятных предположения: Bi –– деньги находятся в i-йшкатулке, P ( Bi ) = 1 / 3, ( i = 1, 2,3 ).Событие A состоит в том, что Вы выбрали шкатулку № 1, а ведущийоткрыл шкатулку № 3. При пустой третьей шкатулке в силу симметрииВаши шансы на выигрыш равны 1/2.Если деньги действительно находятся в первой шкатулке, то ведущийс вероятностью 1/2 откроет именно шкатулку № 3.
ПоэтомуP ( A / B1 )= 1 / 2.Если деньги находятся во второй шкатулке, то ведущий свероятностью 1 откроет именно шкатулку № 3 ( P ( A / B2 ) = 1 ).Если деньги в третьей шкатулке, то вероятность выбора ведущимтретьей шкатулки нулевая ( P ( A / B3 ) = 0 ).По формулам БайесаP ( B1 ) P( A / B1 )P ( B1 / A) ==P( B1 ) P ( A / B1 ) + P( B2 ) P ( A / B2 ) + P ( B3 ) P( A / B3 )3611 / 3 ×1 / 2= 1 / 3,1 / 3 ×1 / 2 + 1 / 3 ×1 + 1 / 3 × 0P( B2 ) P( A / B2 )P ( B2 / A) ==P( B1 ) P ( A / B1 ) + P( B2 ) P( A / B2 ) + P ( B3 ) P( A / B3 )1 / 3 ×1== 2 / 3,1 / 3 ×1 / 2 + 1 / 3 ×1 + 1 / 3 × 0P ( B3 / A) = 0.Если ведущий не знает где деньги лежат, то P ( B2 / A) = 1 / 2 и тогдаP ( B1 / A) = P( B2 / A) = 1 / 2.Итак, игроку предварительно следует осведомиться у ведущего, знаетли он где деньги лежат.
При положительном ответе следует изменить свойвыбор. Если ведущий не знает, в какой шкатулке деньги, то менять выборсмысла нет.=Задача 5.4. Производитель некоторой продукции затеял рекламнуюакцию. Объявлено, что в каждый пакет продукта заложен один из nразличных типов жетонов. Покупатель, собравший все n типов жетонов,получает дисконтную карту для длительных скидок на этот продукт.Сколько в среднем пакетов продукта придется купить, чтобы собратьполный комплект из n различных жетонов?Решение. Понятно, что по мере накопления жетонов, шансы найтиновый жетон в очередном пакете убывают.
Обозначим через Xj –– числопакетов, которые придется купить после обретения ( j – 1) -го жетона,чтобы найти j-й жетон. Тогда общее число купленных пакетовN = 1 + X 2 +X 3 + K + X n ,А математическое ожидание этого числа равноM ( N ) = 1 + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + K + M ( X n ).Вероятность того, что для поиска второго жетона придется вскрыть kпакетов, равнаk -1n -1 æ 1 ö× ç= ÷ , k = 1, 2,3,KP( X 2 = k )n ènø(имеется в виду, что (k -1) раз попадутся пакеты с уже обретеннымжетоном и k-й по счету жетон с вероятностью (n - 1) / n будет содержатьжетон нового типа). Соответственноk -1n-2 æ2ö× ç= ÷ , k = 1, 2,3,K;P( X 3 = k )n ènøKKKKKKKKK362k -1n - r +1 æ r -1ö× ç=P( X r = k )÷ , k = 1, 2,3,K;nè n øKKKKKKKKKk -11 æ n -1ö×çP( X n = k )÷= , k = 1, 2,3,K .n è n øИзвестно, что это геометрический закон распределения. Но длягеометрического закона распределения: P ( X = k ) = pq k -1 , k = 1, 2,3,K,q = 1 – p, среднее значение равно¥M ( X ) = å k pq k -1 =k =1= p + 2pq + 3pq + 4pq + 5pq + K p=(1 + 2q + 3q 2 + 4q 3 +5q 4 + K) == p(1 + q + q 2 +q 3 +q 4 +K+ q + q 2 + q3 + q 4 + K234+ q 2 + q3 + q 4 + K+ q3 + q 4 +K+ q 4 + K) =æ 1öqq2q3pp1= pç++++ K÷ =(1 + q + q 2 + q 3 + K) ==.21q1q1q1q1q(1q)pèøn - r +1nВ нашем случае для Xr вероятность p =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
