ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для получения единственного нужного нам решениявместо любого из уравнений запишем условие нормировкиP1 + P2 + P3 + P=1. Решая систему, например, по формулам Крамера4получим P1 = P ( AB) = 48 / 102 , P2 = P( AB ) = 19 / 102, P3 = P( AB ) = 20 / 102,P4 = P( AB ) = 15 / 102.Ответ. P ( E1 ) = 48 / 102 , P ( E2 ) = 19 / 102, P ( E3 ) = 20 / 102,P ( E4 ) = 15 / 102.Задача 4.32. Автоматическая станция для мониторинга окружающейсреды состоит из двух блоков, каждый из которых контролирует своюгруппу параметров. Каждую единицу времени (например, раз в месяц) настанцию приезжает мастер для проверки исправности блоков станции.Если блок неисправен, то мастер либо ремонтирует блок на месте(практически мгновенно), либо забирает блок для ремонта в мастерской, ивозвращает на место при следующем посещении станции.Пусть Ai означает безотказную работу i-го блока.
Вероятностьбезотказной работы i-го блока между проверками рана Pi. Вероятностьтого, что неисправность блока незначительная и устранима на месте равнаpi .Найдите предельные значения вероятностей событий: E1 = A1 A2 ;E2 = A1 A2 ; E3 = A1 A2 ; E4 = A1 A2 . Найдите вероятности этих состояний натретьем шаге, если в начале оба блока были исправны. (См. пример 4.32 иисходные данные.)Указание.Привычислении переходных вероятностейвнимательно учитывайте все возможности. Например, переход E1 ® E1состоится, если:1) оба блока сохранят свою работоспособность (вероятность чегоравна P1 P2 );2) первый блок выйдет из строя и будет отремонтирован на месте(вероятность чего равна (1 – P1 ) p1 ), а второй блок сохранит своюработоспособность (с вероятностью P2),3) первый блок сохранит свою работоспособность (с вероятностьюP1), а второй блок выйдет из строя и будет отремонтирован на месте(вероятность чего равна (1 – P2 ) p2 ),4) оба блока выйдут из строя и будут отремонтированы на месте(вероятность чего равна (1 – P1 )(1 – P2 ) p1 p2 ).Поэтому вероятность перехода E1 ® E1 равнаp11 =P1 P2 + (1 – P1 ) p1 P2 +P1 (1 – P2 ) p2 + (1 – P1 )(1 – P2 ) p1 p2 .332Исходные данные к задаче 4.32.№ P1 P2 p1 p2 № P1 P21 0,8 0,9 0,4 0,5 11 0,8 0,92 0,9 0,85 0,5 0,6 12 0,85 0,93 0,8 0,95 0,6 0,3 13 0,9 0,84 0,8 0,9 0,5 0,4 14 0,8 0,95 0,85 0,9 0,6 0,5 15 0,8 0,96 0,9 0,8 0,3 0,6 16 0,9 0,857 0,8 0,9 0,4 0,6 17 0,8 0,958 0,8 0,95 0,5 0,7 18 0,8 0,99 0,9 0,85 0,5 0,6 19 0,9 0,8510 0,8 0,95 0,4 0,7 20 0,8 0,95p10,30,60,60,30,60,40,30,40,50,6p20,60,40,30,50,50,60,70,60,70,7№ P1 P2 p1 p221 0,9 0,8 0,3 0,422 0,8 0,9 0,6 0,323 0,85 0,9 0,3 0,524 0,9 0,8 0,6 0,525 0,8 0,9 0,4 0,626 0,8 0,9 0,3 0,727 0,9 0,85 0,4 0,628 0,8 0,95 0,5 0,729 0,8 0,9 0,6 0,730 0,85 0,9 0,3 0,6Пример 4.33.
В зоне обслуживания бригады ремонтников находитсятри прибора, работающих в автоматическом режиме. В конце каждогомесяца ремонтники проводят профилактический осмотр приборов и, вслучае обнаружения неисправных, забирают их для ремонта или замены нановые. Отремонтированный (или новый) прибор возвращают на место приочередном профилактическом осмотре, т.е. через месяц. Вероятностьвыхода из строя в течение месяца работающего прибора равна 1/3.Требуется найти стационарное распределение вероятностей числаисправных приборов в начале каждого месяца.Решение. Рассмотрим марковскую цепь, состояния которой будемразличать по числу работоспособных приборов. Пусть Ei –– означает, чтоработоспособны i приборы. Всего имеется четыре возможных состояния:E0, E1, E2, E3.Составим переходную матрицу этой цепи.
Если на данном шаге цепьнаходится в состоянии E0, то на очередном шаге будут доставлены триработоспособных прибора и цепь с вероятностью 1 перейдет в состояниеE3. Поэтому p00 = p01 = p02 = 0 , а p03 = 1 .Если на данном шаге цепи имеется только один работоспособныйприбор, то следующем шаге будет поставлено два новых прибора ивероятность перехода E1 ® E3 равна вероятности того, что имеющийся вналичии прибор сохранит свою работоспособность, т.е. p13 = 2 / 3 .Вероятность же перехода E1 ® E2 равна вероятности выхода из строяимеющегося прибора, т.е.
p12 = 1 / 3 , а p10 = p11 = 0 .При наличии на данном шаге двух годных приборов в соответствии сформулой Бернулли, имеем переходные вероятности:p23 = P( E2 ® E3 ) =P2 (0) =C20 (1 / 3)=0 (2 / 3) 2 4 / 9;333p22 = P( E2 ® E2 )P2 (1) C21 (1= / 3)1 (2 / 3)14/=9;p21 = P ( E2 ® E1 ) P2=(2) (1 /=3)2 1 / 9;=p20 = P( E2 ® E0 ) = 0.Наконец, при трех годных приборах на данном шагеp33 = P ( E3 ® E3 ) P3 (0) C30 (1/= 3)0 (2 / 3)3 8 / 27;=p32 = P( E3 ® E2 ) P3 (1) C31 (1= / 3)1 (2 / 3) 2 12 /=27;p31 = P ( E3 ® E1 ) P3 (2) C32 (1= / 3) 2 (2 / 3)1 6 / 27;=p30 = P ( E3 ® E0 ) = (1 / 3)3 .Запишем переходную матрицу:001 öæ 0ç 001/ 32 / 3 ÷÷ç.ç 01/ 94/94/9 ÷ç÷è1 / 27 6 / 27 12 / 27 8 / 27 øЭтой переходной матрице соответствует система уравнений (4.5.2)для вычисления стационарных вероятностей:u0 = u3 ×1 / 27;u1 = u2 × 1 / 9 + u3 × 6 / 27;u2 = u1 × 1 / 3 + u2 × 4 / 9 + u3 × 12 / 27;u3 = u0 × 1 + u1 × 2 / 3 + u2 × 4 / 9 + u3 × 8 / 27.Решая эту систему уравнений, с учетом условия нормировкиu0 + u1 + u2 + u3 = 1 , получаемu0 = 1 / 64, u1 9= / 64, u2 27= / 64, u3 27= / 64.Ответ.
P ( E1 ) = 1 / 64, P ( E2 ) = 9 / 64, P ( E3 ) = 27 / 64, P ( E4 ) = 27 / 64.Задача 4.33. В некоторой фирме имеется n однотипных устройств(например, ксероксов, принтеров и т.п.). Устройства эксплуатируются сперегрузкой и поэтому часто выходят из строя.
В конце каждой неделифирма подает заявку на поставку новых устройств для замены вышедшихиз строя. Время исполнения заявки –– одна неделя. Вероятность выхода изстроя в течение недели для каждого работающего устройства равна p.Найдите стационарное распределение числа пригодных к работе устройствв начале недели. (См. пример 4.33 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.33.№ n p № n p № n p № n p № n p № n p1 3 1/4 6 5 1/2 11 4 1/5 16 3 1/7 21 5 2/5 26 4 1/92 4 1/3 7 3 1/5 12 5 1/6 17 4 1/8 22 3 2/7 27 5 3/73 5 1/5 8 4 1/4 13 3 2/5 18 5 1/7 23 4 2/5 28 3 3/84 3 1/2 9 5 1/4 14 4 1/6 19 3 1/8 24 5 2/7 29 4 2/7334====54 1/2 103 1/6 155 1/5 204 1/7 253 3/7 305 0,14.6. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретныммножеством состоянийПусть переходы процесса из состояния в состояние происходят подвоздействием каких-то потоков событий (поток отказов, восстановлений ит.д.).
Будем считать, что переход процесса из состояния Еi в состояние Ejпроисходит под воздействием пуассоновского потока событийинтенсивности lij (t ) , т.е. как только первое событие потока произошло,тотчас произошел и переход Еi ® E j . В этих условиях вероятностьперехода из состояния Еi в состояние Ej за малый промежуток времени Dtравна l ij (t )Dt . Если все потоки событий, переводящих процесс изсостояния в состояние, пуассоновские, то процесс переходов будетмарковским.Суммарный поток событий, выводящих процесс из состояния Еi,nтоже будет пуассоновским с интенсивностьюål=j 1ij(t ),i ¹ j.
Тогдавероятность покинуть состояние Еi за малый промежуток времени Dt равнаnРij = å l ij (t )Dt , i ¹ j ,j =1а вероятность сохранить состояние Еi за малый промежуток времени Dtравна 1 – Рij .Выведем уравнения для вероятностей состояний процесса Рi (t ) . Вмомент t + Dt процесс будет находиться в состоянии Еi (вероятность чегоравна Рi (t + Dt ) ), если в момент t он находился в состоянии Еi (вероятностьчего равна Рi (t ) ) и в течении времени Dt оставался в этом состоянииn(вероятность чего равна 1 – å l ij (t )Dt , i ¹ j ), или процесс в моментj= 1времени t находился в любом другом состоянии (с вероятностью Р j (t ) ) иза время Dt перешел в состояние Еi (вероятность чего равна l ji (t )Dt ,i ¹ j ).
Символическая запись этой длинной фразы имеет видnnj =1j =1Рi (t + Dt ) =Рi (t )[1 – å l ij (t )Dt ] + å Pj (t ) l ij (t ) Dt.Если перегруппировать слагаемые, разделить равенство на Dt , то приDt ® 0 получим систему уравнений335nnj =1j =1Рi¢(t ) = å Pj (t )l ji (t ) - Pi (t )å l ij (t ), =i 1, 2,3,¼, n.(4.6.1)Это система уравнений Колмогорова А.Н. Для решения системынужно задать начальные условия, а вместо одного из уравнений можноиспользовать условие нормировкиnå P (t ) = 1.j =1jПример 4.34. На рис.
4.6.1 дан граф состояний некоторого объекта.Интенсивности переходов из состояния в состояние указаны на этом жерисунке. Записать систему уравнений для вероятностей состояний объекта.При постоянных l, m, n и p найти предельные (финитные) вероятности егосостояний.Рис. 4.6.1Система уравнений Колмогорова (4.6.1) в рассматриваемом случаеимеет видР1¢(t ) = Р2 (t )n(t ) + P3 (t ) p(t ) – P1 (t )l(t ),Р2¢ (t ) = – Р2 (t )[n(t ) + m(t )] + P1 (t )l(t ),Р3¢ (t ) = – Р3 (t )p(t ) + Р2 (t )m(t ).Вместо одного из уравнений (например, вместо второго) можновоспользоваться условием нормировки P1 (t ) + Р2 (t ) + Р3 (t ) = 1.Если l(=t ) l , m(=t ) m , n(=t ) n , то существуют стационарныевероятности, для которых все Рi¢(t ) = 0 и система уравнений принимает вид– lP1 + nР2 + pP3 = 0,lP1 – (n + m) Р2 = 0,P1 + Р2 + Р3 = 1.Эта система имеет решениеP1 = (np + mp) / (np + mp + lp + ml ),P2 = lp / (np + mp + lp + ml),P3 = ml / (np + mp + lp + ml ).Задача 4.34. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
