ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Но при этом Pk¢(t ) ¾¾¾® 0. В результатесистема дифференциальных уравнений (4.3.2) и (4.3.3) превращается всистему однородных линейных алгебраических уравнений– l 0 P0 + n1 P1 = 0,l 0 Р0 – (l1 + n1 ) Р1 + n 2 Р2 = 0,l1Р1 - (l 2 + n 2 ) Р2 + n 3 Р3 = 0,........................l k -1Рk -1 - (l k + n k ) Рk + n k +1Рk +1 = 0,........................Выбрать единственное решение системы позволяет условиенормировки SРi= 1. Для этого выразим все вероятности, например, через301Р0.
Из первого уравнения P1 =получаем Р2 =l 0l1P0 .n1n 2Третье уравнениеl0P0 . С учетом этого, из второго уравненияn1даетравенствоподобные действия, найдем, что Рk =Р3 =l 0 l1 l 2Р0 . Продолжаяn1 n 2 n3l 0l1 Kl k -1Р0 . Тогда по условиюn1n 2 Kn kнормировкиll ll l ll l l ...
l k -1Р0 + 0 P0 + 0 1 P0 + 0 1 2 Р0 + K + 0 1 2Р0 + K = 1;n1n1 n 2n1 n 2 n3n1 n 2 n 3 .. . n kæ löl l l lll l l K l k -1+ K ÷ = 1;Р0 ç1 + 0 + 0 1 + 0 1 2 + K + 0 1 2n1 n1n 2 n1n 2n 3n1n 2n 3 K n kèø-1æ löl l l lll l K l k -1+ K÷ .Р0 = ç1 + 0 + 0 1 + 0 1 2 + K + 0 1n1 n1n 2 n1n 2n3n1n 2 Kn kèøВ итоге получаем, что-1öl l K l k -1 æ l 0 l 0 l1 l 0l1l 2l l l ...l+++ K + 0 1 2 k -1 + K ÷ .Рk = 0 1ç1 +n1n 2 Kn k èn1 n1n 2 n1n 2n 3n1n 2n 3 ...n kø(4.3.4)Замечание.
Если ряд в знаменателе (4.3.4) расходится, то все Рk = 0.Это означает «взрыв» численности, т.е. за конечное время произойдемll lбесконечно много рождений. Сходимость ряда 1 + 0 + 0 1 + K являетсяn1 n1 n 2достаточнымусловиемсуществованияненулевыхвероятностейР0 , Р1 , Р2 ,K . Для сходимости ряда по признаку Даламбера требуется,чтобыullim n = lim n-1 < 1,n ®¥ un ®¥ nn -1nт.е. начиная с некоторого номера n интенсивность гибели должнапревосходить интенсивность рождений.Пример 4.23. Система состоит из основного блока, одного блока в«горячем» резерве (т.е.
работающего одновременно с основным) и одногоблока в «холодном» резерве (т.е. этот резервный блок не работает).Длительность безотказной работы работающего блока распределена попоказательному закону с параметром l. Вышедший из строя блокпрактически мгновенно заменяется блоком из холодного резерва, а302вышедший из строя блок незамедлительно начинают ремонтировать.Время ремонта распределено по показательному закону с параметром n.Система прекращает свою работу, как только остается всего одинработоспособный элемент. Требуется найти вероятность того, что системавыйдет из строя до момента времени t.Решение.
1. Состояния системы будем различать по числу вышедшихиз строя блоков. Обозначим через Ei –– состояние, в котором i блоковвышли из строя. Тогда граф состояний системы имеет вид, изображенныйна рис. 4.3.2.Рис. 4.3.2Происходит переход Ei ® Ei+1 , i= 1, 2, если один из двухработающих блоков выходит из строя. Интенсивность таких переходовравна 2l. При окончании ремонта происходит переход Ei+1 ® Ei синтенсивностью n. Состояние E2 является «поглощающим» –– еслисистема попала в него, то она это состояние не покинет.2. Обозначим через Pi (t ) вероятность того, что в момент времени tсистема будет находиться в состоянии Ei. Нас интересует P2 (t ) ––вероятность того, что в момент времени t система уже вышла из строя.Выход из строя можно считать «рождением» неполадки, а ее устранение ––«гибелью».
Система уравнений гибели и размножения (4.3.2) и (4.3.3) внашем случае имеет вид:P0¢(t ) = –2lP0 (t ) + nP1 (t );(4.3.5)P1¢(t ) = 2lP0 (t ) – (2l + n) P1 (t );P2 (t ) = 2lP1 (t ).Любое из уравнений системы можно заменить условием нормировкиP0 (t ) + P1 (t ) + P2 (t ) = 1.Пусть система начинает свою работу из состояния E1, т.е.
имеетначальные условия:P0 (0) = 1, P1 (0)=P2 (0)=0.3. Перейдем в системе (4.3.5) к преобразованиям Лапласа:sP0 ( s ) – 1 = –2lP0 ( s) + nP1 ( s),sP1 ( s ) = 2lP0 ( s ) – (2l + n) P1 ( s ),sP2 ( s) = 2lP1 ( s )или303(2l + s) P0 ( s) – nP1 ( s) =1,2lP0 ( s ) – (s + 2l + n) P1 ( s) =0,(4.3.6)2lP1 ( s) – sP2 (s ) =0.Решение системы (4.3.6), например, по формулам Крамера дает:-n2l + s0D = 2l02l + sD 2=2l0-( s + 2l + n) = 02l-ns[ s 2 + 4ls + 4l 2 + ns ],-s1-( s + 2l + n)= 02l4l 2 ;0D24l 2P2 ( s) =.(4.3.7)=D s [ s 2 + 4ls + 4l 2 + n s ]Остается найти обратное преобразование от P2 (s ). Например, приl = 1 и n = 1 выражение (4.3.7) принимает вид44ABCP2 ( s ) ===++=s [ s 2 + 5 s + 4] s ( s + 4)( s + 1) s s + 4 s + 1A( s + 4)( s + 1) + Bs ( s + 1) + Cs ( s + 4)=.s (s + 4)( s + 1)(Здесь мы пользуемся методом неопределенных коэффициентов дляразложения на простые дроби).
Имея две равные дроби с равнымизнаменателями, приравниваем числители этих дробей4 = A( s + 4)( s + 1) + Bs( s + 1) + Cs( s + 4).Приравнивая в правой и левой частях равенства коэффициенты приравных степенях s, получим A = 1 , B = 1 / 3 , C = -4 / 3 . В итоге имеем114P2 ( s) = +.s 3( s + 4) 3( s + 1)Обращение преобразования Лапласа дает искомую вероятность14P2 (t ) = 1 + e -4 t - e -t .3314Ответ.
P2 (t ) = 1 + e -4 t - e -t .33Задача 4.23. Система состоит из одного работающего устройства иодного устройства в «холодном» резерве. Длительность безотказнойработы работающего устройства распределена по показательному закону спараметром l. Вышедшее из строя устройство практически мгновеннозаменяется устройством из холодного резерва и незамедлительноначинается ремонт. Вышедшие из строя устройства ремонтируются в304порядке их выхода из строя.
Время ремонта распределено попоказательному закону с параметром n. Система прекращает свою работу,как только не останется работоспособных устройств. Требуется найтивероятность того, что система выйдет из строя до времени t. (См. пример4.23, n = 0, N , где N –– номер варианта, l =2n .)Пример 4.24.
На контактном многоканальном телефоне фирмыработает четыре оператора. Каждый свободный оператор независимо отдругих на интервале времени [t , t + Dt ] может с вероятностью lDt + o(Dt )начать отвечать на звонок. Оператор, отвечающий на звонок, свероятностью nDt + o(Dt ) на интервале времени [t , t + Dt ] может завершитьответ и освободиться. Требуется найти предельные вероятности того, чтобудут заняты k операторов.Решение. Состояния контактного телефона будем различать по числузанятых операторов. Пусть Ek –– означает, что заняты k из них. Тогда графсостояний имеет вид, изображенный на рис.
4.3.3.Рис 4.3.3Составим уравнения для вероятностей Pk (t ). Сопоставим значенияэтих вероятностей в моменты времени t и t + Dt :P0 (t + Dt ) = P0 (t )(1 - 4lt + o( Dt )) + nDt + o( Dt ).Перенос слагаемого P0 (t ) в левую часть, деление правой и левойчастей равенства на Dt , предельный переход при Dt ® 0 приводят кдифференциальному уравнениюP0¢(t ) = -4l 0 P0 (t ) + nP1 (t ).На контактном телефоне в момент времени t + Dt будет занят одиноператор, вероятность чего равна Р1 (t + Dt ) , если в момент t все операторыбыли свободны, вероятность чего равна Р0 (t ) , и за время Dt один изоператоров включился в работу, вероятность чего равна 4lDt + o(Dt ) , или вмомент t был занят только один оператор, вероятность чего равна Р1 (t ) , иза время Dtпереходов не было, вероятность чего равна1 – 3lDt + nDt + o(Dt ) , или в момент t были заняты два оператора,вероятность чего равна Р2 (t ) , и за время Dt один из операторовосвободился 2nDt + o(Dt ) .Символическая запись этой фразы имеет видР1 (t + D=t ) 4lDtР0 (t ) + (1 - 3lDt – nDt ) Р1 (t ) + 2nDtР2 (t ) + o(Dt ).305Перенесем из правой части в левую Рk (t ) и разделим каждоеслагаемое в равенстве на Dt :P1 (t + D t ) - P1 (t )o( D t )= 4lР0 (t ) – (3l + n) Р1 (t ) + 2nР2 (t ) +.DtDtПри Dt ® 0 получаем дифференциальное уравнениеP1¢(t ) = 4lР0 (t ) – (3l + n) Р1 (t ) + 2nР2 (t ).Аналогично выводятся уравненияP2¢(t ) = 3lР1 (t ) – (2l + 2n) Р2 (t ) + 3nР3 (t ),P3¢(t ) = 2lР2 (t ) – (l + 3n) Р3 (t ) + 4nР4 (t ),P4¢(t ) = lР3 (t ) – 4nР4 (t ).С течением времени вероятности состояний стабилизируются иперестают зависеть от времени (от начального состояния), т.е.t ®¥Рk (t ) ¾¾¾® Рk .t ®¥Но при этом Pk¢(t ) ¾¾¾® 0.
В результате система дифференциальныхуравнений превращается в систему однородных линейных алгебраическихуравнений-4lP0 + nP1 = 0,4lР0 - (3l + n) Р1 + 2nР2 = 0,3lР1 - (2l + 2n) Р2 + 3nР3 = 0,2lР2 – (l + 3n) Р3 + 4nР4 = 0,lР3 - 4nР4 = 0.Выбрать единственное решение системы позволяет условиенормировки SРi= 1. Для этого выразим все вероятности, например, через4lР0. Из первого уравнения P1 =P0 . С учетом этого, из второго уравненияn6l 2получаем Р2 = 2 P0 .n4l 3Третье уравнение дает равенство Р3 = 3 Р0 . Продолжая подобныеn4lдействия, найдем, что Р4 = 4 Р0 . Тогда по условию нормировкиn4l6l 24l 3l4P0 +P0 + 2 P0 + 3 Р0 + 4 Р0 = 1.nnnnОбозначим l / n через r.
Тогда11P0 ==.1 + 4r + 6r2 + 4r3 + r 4 (1 + r) 4Откуда306r44r6r24r3, Р3 =, Р4 =.P1 =, Р2 =(1 + r)4(1 + r)4(1 + r)4(1 + r)44r6r24r3r4Ответ. P1 =, Р3 =, Р4 =., Р2 =(1 + r)4(1 + r)4(1 + r)4(1 + r)4Задача 4.24. К линии электропередач подключены n электромоторов,которые работают независимо друг от друга.
Вероятность того, чтонеработающий электромотор в течение малого времени Dt будетподключен к сети, равна aDt + o(Dt ). Вероятность отключенияработающего электромотора в течение малого времени Dt равнаbDt + o(Dt ). Найдите стационарные вероятности числа электромоторов,работающих в данный момент.(См. пример 4.24, в нечетных вариантах n = 5 , в четных n = 6 ,a = 0, k , где k –– первая цифра номера варианта, b –– в два раза больше a.)Пример 4.25.
Система массового обслуживания состоит из двухобслуживающих устройств. В систему поступает простейший потоктребований на обслуживание интенсивности l. Времена обслуживаниятребований независимы и имеют показательный закон распределения спараметром n (n –– интенсивность обслуживания). Требование, заставшеевсе устройства занятыми, может встать в очередь или покинуть систему.Вероятность присоединения к очереди пропорциональна числуобслуживающих устройств и обратно пропорциональна числу требований всистеме плюс один. Это означает, что интенсивность перехода E2+m ® Em +3равна 2l / (m + 3). Требуется найти стационарные вероятности числатребований в системе.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
