ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Обозначим через Ek –– состояние системы, когда в нейнаходятся k требований. Если в системе находится 2 + m требований (дватребования обслуживаются и m ожидают в очереди), то вероятностьприсоединения к очереди по условию задачи равна 2(2 + m + 1) 2 /=( m + 3).Это означает, что интенсивность перехода E2+m ® Em +3 равна 2l / (m + 3).Граф состояний системы изображен на рис. 4.3.4.Рис. 4.3.4Составим систему уравнений гибели и размноженияP0¢(t ) = – lP0 (t ) + nP1 (t ),307P1¢(t ) = lР0 (t ) - (l + n) Р1 (t ) + 2nР2 (t ),P2¢(t ) = lР1 (t ) - (2l / 3 + 2n) Р2 (t ) + 2nР3 (t ),P3¢(t ) = 2l / 3Р2 (t ) - (2l / 4 + 2n) Р3 (t ) + 2nР4 (t ),P4¢(t ) = 2l / 4 Р3 (t ) - (2l / 5 + 2n) Р4 (t ) + 2nР5 (t ),P5¢(t ) = 2l / 5 Р4 (t ) - (2l / 6 + 2n) Р5 (t ) + 2nР6 (t ),.......................................Для стационарного режима ( Pn (t ) ¾¾¾® Pn , Pn¢(t ) ¾¾¾® 0 ) получаемt ®¥t ®¥систему однородных линейных алгебраических уравнений– lP0 + nP1 = 0,lР0 - (l + n) Р1 + 2nР=2 0,lР1 - (2l / 3 + 2n) Р2 + 2nР3= 0,2l / 3 Р2 - (2l / 4 + 2n) Р3 + 2nР4= 0,2l / 4 Р3 - (2l / 5 + 2n) Р4 + 2nР5= 0,2l / 5 Р4 - (2l / 6 + 2n) Р5 + 2nР6 = 0,.............................Эту систему естественно дополнить условием нормировкиlP0 + P1 + Р2 + ¼= 1.
Из первого уравнения получаем, что P1 =P0 .nl2Подставляя этот результат во второе уравнение, находим Р2 =P0 . Из2!n 2третьего уравнения, с учетом полученных для P1 и Р2 выражений, имеемl3Р3 =P0 . Продолжая действовать подобным образом, получим3!n3lkРk =Р0 . Обозначим l/n через r. Воспользуемся условием нормировки:k !n kr2r3rkP0 + rP0 + P0 + P0 + K + P0 + K = 1,2!3!k!23kæör rrоткуда P0 ç1 + r + + + K ++ K ÷ = 1 или P0er = 1. В итоге2! 3!k!èø2rk -rr -r-r-rP0 = e , P1 = re , Р2 = e , K , Рk = Рk = e , K ,2!k!где r =l / n, т.е.
стационарное распределение оказалось распределениемПуассона. Используя найденные стационарные вероятности можновычислить разные характеристики системы. Например, при l = 1 и n = 1 / 2вычислим среднее число занятых обслуживающих устройств. Посколькуr = 2 и P0 = e-2 , P1 = 2e -2 , то математическое ожидание числа занятыхприборов равно30820 × e -2 + 1 × 2e-2 + 2(1 - e -2 – 2e-=) 2 – 4e -2 » 1,46.Вероятность того, что требование поступит на обслуживание безожидания в очереди, равна P0 + P1 3= e-2 » 0, 41.
Вероятность наличияочереди в системе равна1 – P0 - P1 – Р2 =1 – 5e -2 » 0,31.rk - rОтвет. Рk = e , k = 1, 2,3,K .k!Задача 4.25. Система массового обслуживания состоит из nобслуживающих устройств. (Например, прачечная-автомат, где посетителисами стирают белье в одной из n машин.) В систему поступает простейшийпоток требований на обслуживание интенсивности l. Временаобслуживания требований независимы и имеют показательный законраспределения с параметром n (n –– интенсивность обслуживания).Требование, заставшее все устройства занятыми, может встать вочередь или покинуть систему. Если в системе находится n + m требований(n –– обслуживаются и m –– ожидают в очереди), то вероятностьприсоединения к очереди пропорциональна числу обслуживающихустройств и обратно пропорциональна числу требований в системе плюсодин, т.е.
равна n / (n + m + 1) . Это означает, что интенсивность переходаEn + m ® En + m+1 равна ln / (n + m + 1). Найдите:1) стационарные вероятности числа требований находящихся всистеме;2) среднее число занятых устройств обслуживания;3) вероятность того, что требование поступит на обслуживание безожидания в очереди;4) вероятность того, что в очереди будет находиться не менее kтребований.Ответ на первый пункт найдите в общем виде (для произвольных l иn), ответ на последующие пункты дайте для конкретных l и n, указанных висходных данных.
(См. пример 4.25 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.25.№ nlnk№ nlnk№ nlnk13112 11 43 3/4 3 21 62 1/2 2242 1/2 3 12 53 2/3 2 22 32 3/4 335412 13 31 4/5 3 23 4 2,5 12431 1/2 3 14 4412 24 63 2/3 254312 15 53 0,8 3 25 31 0,4 3654 1,2 3 16 31 1/3 4 26 4 3,5 13731 2/3 4 17 44 1,5 3 27 6412843 4/5 3 18 6512 28 31 0,5 430991053311/23/4221920342511,522293046445/43/422Пример 4.26. Система массового обслуживания состоит из одногообслуживающего прибора и одного прибора в холодном резерве.Интенсивность выхода из строя работающего прибора равна l.
При выходеиз строя работающего прибора его практически мгновенно заменяютрезервным, а вышедший из строя прибор начинают ремонтировать.Вышедшие из строя приборы ремонтируются с интенсивностью n впорядке очереди. После отказа устройства ремонт продолжается с прежнейинтенсивностью. При наличии в системе годного к работе прибора системавозобновляет свою работу.Требуется найти долю времени простоя системы из-за выхода изстроя приборов.
Найти наработку на отказ, т.е. среднее время работысистемы между пребываниями в отказных состояниях.Решение. Состояния системы будем различать по числу вышедшихиз строя приборов. Обозначим через Ei состояние системы, в котором iэлементов системы находятся в нерабочем состоянии.
Тогда состояние E2можно назвать отказным состоянием, поскольку оба элемента вышли изстроя. Граф состояний системы изображен на рис. 4.3.5.Рис. 4.3.5Если считать выход из строя прибора рождением неполадки, азавершение ремонта ее гибелью, то система уравнений гибели иразмножения по формулам (4.3.2), (4.3.3) для нашего случая принимает видP0¢(t ) = -lP0 (t ) + nP1 (t ),(4.3.8)P1¢(t ) = lP0 (t ) - (l + n) P1 (t ) + nP2 (t ),P2¢(t ) = lP1 (t ) - nP2 (t ).Это система линейных однородных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами. Любое уравнение системы можнозаменить условием нормировки:P0 (t ) + P1 (t ) + P2 (t ) = 1.t® ¥t® ¥® Рi и при этом Pi¢(t ) ¾¾¾С учетом того, что Рi (t ) ¾¾¾® 0, длястационарных вероятностей состояний получаем систему однородныхлинейных алгебраических уравнений310-lP0 + nP1 = 0,lP0 - (l + n) P1 + nP=20,lP1 - nP2 = 0.Эта система имеет бесконечно много решений.
Для выбораприемлемого для нас решения одно из уравнений, например, второезаменим условием нормировки P0 + P1 + P2 = 1.nИз первого уравнения имеем P0 = P1 , а из третьего уравненияllnlP2 = P1. Тогда по условию нормировки P1 + P1 + P1 = 1, откудаnlnlnrP1 = 2=,2n + ln + l 1 + r + r 2где r = l / n. Тогда1n2l2r2==P0 = 2,P2 = 2.n + ln + l 2 1 + r + r2n + ln + l 2 1 + r + r2Стационарную вероятность P2 можно понимать как долю времени, втечение которой система находится в нерабочем состоянии (оба приборавышли из строя).Для вычисления наработки на отказ сделаем состояние E2поглощающим, т.е. исключим переход E2 ® E1.
Тогда граф состоянийбудет иметь вид, изображенный на рис. 4.3.6.Рис. 4.3.6Этому графу состояний соответствует система уравненийP0¢(t ) = -lP0 (t ) + nP1 (t ),P1¢(t ) = lP0 (t ) - (l + n) P1 (t ),(4.3.9)P2¢(t ) = lP1 (t ).Зададим начальное состояние.
Пусть, например, P0 (0)= 1,P1 (0)= P2 (0)= 0. Обозначим через Pi ( s) преобразование Лапласа от Pi (t ) изапишем систему (4.3.9) в преобразованиях Лапласа:sP0 ( s ) – 1 = nP1 ( s ) – lP0 ( s ),sP1 ( s ) = lP0 ( s ) – (l + n) P1 (s ),sP2 ( s) = lP1 ( s )или311(l + s) P0 ( s) – nP1 ( s) = 1,– lP0 (s ) + ( s + l + n)=P1 ( s) 0,(4.3.10)lP1 ( s ) – sP2 ( s ) = 0.Найдем P2 ( s ) , например, по правилу Крамера. Вычислим определительсистемы (4.3.10):s+l-n0D = -ls+lиD 2=-l0s+l+n= 0l10-ns+l+n=0l– s( s 2 + 2sl + l 2 + ns )-s–l 2 .P2 ( s ) = D 2 / D =Поэтому0= l 2 / s( s 2 + 2 sl + l 2 + ns).Обозначим через F (t ) = 1 – P2 (t ) –– вероятность безотказной работы¥системы до момента t, а через Á( s)ò e=- st¥=F (t ) dt0òe- st[1 - P2 (t )] dt –– ее0преобразование Лапласа.
Тогдаl21s + 2l + nÁ( s) 1 / s – P2 ( s )-= 2==.s s ( s + 2sl + l 2 + sn) s 2 + 2 sl + l 2 + sn¥Заметим, что Á(0)ò [1 =- P (t )]dt = M (T ),2где T –– время достижения0отказного состояния, т.е. время безотказной работы системы.Последний вывод основан на следующих соображениях. Пусть X ––неотрицательная случайная величина с функцией распределения F ( x) .Интегрируя по частям, вычислим¥= ( x ), du - F=¢( x ) dx - f ( x ) dx, üìu = 1 - F[1F(x)]dx=íýò0dv=dx,v=xîþ¥= x[1 - F ( x)] + ò x f ( x) dx = M ( X ).¥002l + n 2 n= 2+ . Первое слагаемоеll l2равно наработке на отказ за счет холодного резервирования, второеслагаемое возникло за счет ремонта.2 nОтвет.
M (T ) = + 2 .l lВ нашем случае M (T ) = Á(0)=312Задача 4.26. Система многопозиционной радиолокации состоит из nработающих радиолокационных станций и m станций в холодном резерве(для нечетных вариантов) или горячем резерве (для четных вариантов)Интенсивность выхода из строя каждой работающей станции равна l.Каждая вышедшая из строя станция ремонтируется с интенсивностью n(для нечетных вариантов). Для четных вариантов вышедшие из строястанции ремонтируются с интенсивностью n в порядке их выхода из строя.Система отказывает, если остается только k работоспособныхстанций. После отказа системы ремонт продолжается с прежнейинтенсивностью.
При наличии в системе k + 1 годных к работе станцийсистема возобновляет свою работу.1. Построить граф состояний системы.2. Составить систему дифференциальных уравнений длявероятностей состояний системы в момент времени t.3. Найти стационарные вероятности состояний системы. Найти долювремени простоя системы.
Вычислить эти характеристики при 1 / l = a ч.,1 / n = b ч.4. Найти среднюю наработку на отказ. Вычислить ее при указанных lи n. Сравнить со средней наработкой при отсутствии ремонта.(См. пример 4.26 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 4.26.№ n m kab № n m kab № n m kab1 2 2 1 100 2 11 4 2 3 80 4 21 2 2 1 80 22 3 2 2 80 4 12 1 2 0 100 4 22 2 2 1 100 23 3 1 1 80 2 13 5 1 3 100 5 23 3 1 1 100 24 2 1 0 100 4 14 6 1 4 50 1 24 3 1 1 80 25 4 1 2 50 1 15 5 2 4 80 2 25 4 1 2 200 46 3 1 1 100 2 16 4 2 3 80 4 26 4 1 2 50 17 2 1 0 200 4 17 6 1 4 50 1 27 2 1 0 100 48 2 2 1 80 2 18 5 2 4 80 2 28 2 1 0 200 49 3 2 2 100 4 19 1 2 0 100 4 29 3 2 2 80 410 2 1 0 100 4 20 5 1 3 100 5 30 3 2 2 100 4Рассмотрим систему массового обслуживания, в которую поступаетпростейший поток требований интенсивности l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
