ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Скачок напряжения от прихода очередной партииэлектронов суммируется с остаточным напряжением на аноде, котороемежду поступлениями импульсов убывает по экспоненциальному закону споказателем a. Пусть X (t ) –– напряжение на аноде в момент t. Одна изреализаций случайного процесса приведена на рис. 4.1.11.282Рис. 4.1.11Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционнуюфункцию случайного процесса X (t ) . (См.
пример 4.13. Величины Wiимеют биномиальное распределение: Pn (k ) = Cnk p k (1 - p) n-k , k = 1,2,3,¼, n.Значения n и p возьмите из исходных данных к задаче 2.59.)Стационарная в широком смысле функция X (t ) , представимая вовсей области определения в видеnX (t ) = mx + å (U k cos wk t + Vk sin wk t ),(4.1.7)k =1где Uk и Vk –– центрированные случайные величины, удовлетворяющиеусловиям M [U iU i ] = M [VVM [U iU j ] = M [VVпри i ¹ j ,i i ] = Di ,i j] = 0M [U iV j ]= 0 при всех i и j, называется случайной функцией с дискретнымспектром.Такая случайная функция имеет автокорреляционную функциюk x ( t )=nåDk =1kcos wk t.(4.1.8)Равенство (4.1.7) называют спектральным разложением случайногопроцесса, а равенство (4.1.8) спектральным разложением корреляционнойфункции. Представление (4.1.8) показывает, что дисперсия процессаявляется суммой дисперсий отдельных гармоник на частотах wk( k = 0,1, 2,¼, n ):Dx = k x (0)=nåD .=k 1kГоворят, что стационарная случайная функция X (t ) являетсяслучайной функцией с непрерывным спектром, если существует такаядействительная неотрицательная функция S x (w) , определенная при всехwÎ (-¥; ¥), что283¥k x (t) =ò S x (w)cos wt d w, ,(4.1.9)0¥2S x (w) = ò k x (t)cos wt d t.(4.1.10)p0Функцию S x (w) называют спектральной плотностью, а формулы(4.1.9) и (4.1.10) называют формулами Винера––Хинчина.
Из этих формули свойств корреляционной функции следует, что S x (w) –– функция четная,т.е. S x (w=) S x (-w). Поэтому S x (w) изображают обычно только длянеотрицательных w. Случайные функции, обладающие конечнойдисперсией, имеют спектральные плотности, которые стремятся к нулю набесконечности быстрее, чем 1 / w.В силу четности корреляционной функции стационарного процесса иего спектральной плотности формулы (4.1.9) и (4.1.10) можно записать ввиде:¥1 iwtk x (t) = ò e S x (w) d w,(4.1.11)2 -¥¥1S x (w) = ò e - iwt k x (t) d t.(4.1.12)p -¥Формулы (4.1.11) и (4.1.12) означают, что корреляционная функция испектральная плотность связаны взаимно обратными преобразованиямиФурье.
Выражения вида (4.1.11) называют интегралом Фурье. ИнтегралФурье является обобщением разложения в ряд Фурье для случаянепериодической функции на бесконечном интервале. Это разложениефункции на сумму простых гармонических колебаний с непрерывнымспектром.Заметим, что дисперсию стационарного случайного процесса снепрерывным спектром можно выразить в виде интеграла от спектральнойплотности:¥¥1Dx = k x (0)=ò0 S x (w) d w 2= -¥ò S x (w) d w.Пример 4.14.
Корреляционная функция стационарного случайногопроцесса X (t ) имеет видk x (t) = exp{– | t |}(1+ | t |).Требуется найти спектральную плотность процесса.Решение. В соответствии с формулой (4.1.12)¥0¥111- iwt-|t|- iwttS x (w)=e (1+ | t | ) e d t =e (1 - t ) e d t +e - iwt (1 + t ) e- t d tòòò2p -¥2p -¥2p 0284Вычислим сначала первый интеграл0ìu = 1 - t, =du - d t,ü(1-iw) te(1)dtt=íýò(1-iw) td t, = v e(1-iw) t / (1 - iw) þîdv = e-¥01 - t (1-iw) t 0111(1-iw) t=|-¥ +t=e (1-iw) t |0-¥ =eed2ò1 - iw1 - iw -¥1 - iw (1 - iw)11=+.1 - iw (1 - iw)2Аналогично¥11- iwt-tò0 e (1 + t ) e d t 1 + iw= + (1 + iw)2 .Поэтомуù1 é 1111S x (w)=+++=2p êë1 - iw (1 - iw)2 1 + iw (1 + iw)2 úû=ù1 é 222 + w2.+=2p êë1 + w2 (1 + w2 )2 úû p(1 + w2 ) 22 + w2Ответ.
S x (w) =.p(1 + w2 )2Задача 4.14.1. Найдите спектральную плотность стационарногослучайного процесса X (t ) , если его корреляционная функция имеет видk x (t) s2 exp{–= a | t |}(1 – a | t |).(См. пример 4.14, a –– номер варианта.)Задача 4.14.2. Корреляционная функция стационарного случайногопроцесса X (t ) имеет видìs 2 (1- | t | / a ), | t |£ a,k x (t) = íî0, | t |> a.Требуется найти спектральную плотность процесса. (См. пример 4.14, a ––номер варианта.)Спектральная плотность производной от случайной функции X (t )связана со спектральной плотностью этой функции S x (w) соотношениемS x& (w) w=2 S x (w) .(4.1.13)Пример 4.15.
Спектральная плотность случайной функции X (t ) имеетвид 1 / (w2 + 4)3 . Требуется найти дисперсию производной этой случайнойфункции.285Решение. Согласно (4.1.13) спектральная плотность производнойX ¢(t ) имеет вид w2 / (w2 + 4)3 . Тогда= d w;ìu = w, duüw2ïïD( X ¢(t )) = ò S x& (w) d w ò 2dw í1 2wdw =ý2=3(w + 4)-¥-¥ïdv = (=w2 + 4)3 , v - 4 (w + 4) ïîþ¥w=24(w + 4)2¥¥¥-¥¥dw1+= ò 24 -¥ (w + 4) 2¥¥1 w2 + 4 - w 2ò (w2 + 4)2 d w =16 -¥w2wdw111=d w = arctg222òò16 -¥ w + 4 16 -¥ (w + 4)322¥-¥¥w21ò (w2 + 4) 2 d w =16 -¥ìu = w, =du d w;ü¥1wdw öïï p 1æ¥|=í- ç+1 2w d w=ý÷=-¥22ò,(4)==w+dvvw+w+32162(4)2422-¥èøïï(w + 4)2îþp 1 æ1w ö p pp=- ç= arctg ¥-¥ ÷= .32 16 è 42 ø 32 64 64Ответ.
D ( X ¢(t )) = p / 64.Задача 4.15. Найдите дисперсию производной от случайной функцииbX (t ) , спектральная плотность которой S x (w) =. (См. пример2(w + a 2 ) 24.15, a –– номер варианта.)Пусть k x (t ) –– автокорреляционная функция стационарного случайногопроцесса X (t ) . Найдем взаимную корреляционную функцию процессов X ¢(t )и X (t ) . Так как процесс X (t ) стационарен, то mx = 0 и mx¢ = 0. ПоэтомуooX (t1 + Dt ) - X (t )éùRx¢x (t1 , t 2 ) = M [ X ¢(t1 ) X (t2 )] M [ X ¢(t1 ) X (t 2 )]= M ê limX (t 2 ) ú=Dtë Dt ®0ûM [ X (t1 + D t ) X (t2 )] - M [ X (t1 ) X (t2 )]K (t + D t , t2 ) - K x (t1 , t2 )= lim=lim x 1=Dt ®0Dt ®0DtDt¶ K x (t1 , t2 ) ¶ k x (t)==.¶ t1¶ t1¶ k (t) ¶t ¶ k x (t)¶ k ( t)Так как t t=2 - t1 , то Rx¢x (t1 , t2 ) = x ×=× (-1) - =x .¶ t ¶ t1¶t¶t¶ K x (t1 , t2 ) ¶ k x (t) ¶t ¶ k x (t)¶ k x (t)Аналогично, Rxx¢ (t1 , t2 ) ==×=× (1)= .¶ t2¶ t ¶ t2¶t¶tПример 4.16.
Спектральная плотность случайного стационарногопроцесса X (t ) имеет вид: S x (w) = w2 , если | w |Î [3,6] , и S x (w) = 0 при286остальных w. Требуется найти автокорреляционную функцию этогопроцесса.Решение. Так как функция S x (w) четная, то по формуле (4.1.11)получаем¥6æ - sin wt 6 öiwtk x (t) ò e S x (w) d w= 2 ò w2 cos wt d w= 2w2 ç|3 =÷tèø3-¥2 w22 w2 sin 3t=(sin 3t - sin 6t)=(1 - 2cos3t).tt2 w2 sin 3tОтвет.(1 - 2cos3t).tЗадача 4.16.1. Случайный стационарный процессX (t ) имеетспектральную плотность S x (w) = a 2 , если | wÎ [b,2b] | , и S x (w) = 0 приостальных w.
Требуется найти автокорреляционную функцию этогопроцесса. (См. пример 4.16, a –– номер варианта, b –– первая цифра номераварианта.)Задача 4.16.2. Спектральная плотность стационарного случайногопроцесса X (t ) имеет видS x (w) = a exp{– | w |/ w0 }, a > 0, w0 > 0.Найдите автокорреляционную функцию этого процесса и его дисперсию.(См. пример 4.16, a –– номер варианта.)Пример 4.17.случайного процессаЗаданаспектральнаяплотностьстационарногоS x (w)= 2exp{–bw2}, b > 0.Требуется найти корреляционную функцию этого процесса.Решение. По формуле (4.1.11) получим:¥k x ( t)iwt -bwò e e =d w.2-¥Непосредственно вычислять такой интеграл трудно.
Поэтому воспользуемсяследующим приемом. Продифференцируем обе части равенства:¥¥2iiwt -bw2k ¢x (t) = ò iw e e d w = ò eiwt 2b e -bw wd w.2b -¥-¥2Проинтегрируем по частям: u = ei wt , du = itei wt d w, dv = 2b e-bw w d w,v = -e-bw2.Тогдаk x¢ (t)¥ö2i æ iwt -bw2 ¥|-¥ + it ò e -bw eiwt d w ÷ .ç -e= e2b è-¥ø287Первое=слагаемое в скобке равно нулю, так как e-¥ = 0 , а | eiwt |=| cos wt + i sin wt=|= cos 2 wt + sin 2 t = 1. Интеграл во втором слагаемом совпадает с k x (t) .В итоге обнаружилась возможность найти k x (t) , как решениедифференциального уравненияtk ¢x (t) – k=x ( t).2bЭто уравнение с разделяющимися переменными.
Его общее решение:k x (t) C exp{–= t2 / 4b}.Для определения произвольной постоянной зададим начальноеусловие¥¥1p-bw2-t2k x (0)ed== ò e d=w {замена =w t/ =b}w.òbb-¥-¥¥(Напомним, что интеграл Пуассона-tò e d w = p.)2-¥При таком начальном условии C = p / b . Искомая корреляционнаяфункция имеет вид:pk x (t)exp{–= t2 / 4b}.bЗаметим, что и спектральная плотность, и корреляционная функцияэтого процесса относятся к типу гауссовских кривых.pОтвет. k x (t)exp{–= t2 / 4b}.bЗадача 4.17. Стационарный случайный процесс имеет спектральнуюплотностьS x (w)= W exp{– w2 / b 2 }, W > 0, b > 0.Найдите корреляционную функцию этого процесса. (См. пример 4.17, W ––номер варианта, b –– первая цифра номера варианта.)4.2. Преобразование случайных процессов динамическими системамиДля случайных процессов оказалось целесообразным расширитьтрактовку некоторых понятий математического анализа.Говорят, что случайная последовательность X 1 , X 2 ,¼, X n ,¼ сходитсяк числу b в среднеквадратическом смысле, еслиlim M ( X n - b) 2 = 0.n ®¥с.к.(этот факт записывают кратко X n ¾¾®b ).288Случайный процесс X (t ) называется стохастически непрерывным вточке t = t0 , еслиlim M [ X (t ) - X (t0 )]2 = 0.t ® t0Случайная величина X ¢(t ) называется среднеквадратическойпроизводной случайной функции X (t ) в точке t0 Î[0,T ] , еслиX (t0 + Dt ) - X (t0 ) с.к.¾¾® X ¢(t0 ).DtПусть имеется некоторая динамическая система.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
